2022-2023学年河南省实验中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合*51,N M x x x ⎧⎫=>∈⎨⎬⎩⎭，则M 的非空真子集的个数是（ ）A ．6B ．8C ．14D ．16【答案】C【分析】解分式不等式求集合M ，并确定元素个数，根据元素个数与集合子集的数量关系求M 的非空真子集的个数. 【详解】由题设，5510x x x->⇒<，即()50x x -<，可得05x <<， ∴{1,2,3,4}M =共有4个元素， 故M 的非空真子集的个数42214-=. 故选：C2．下列命题是真命题的是（ ） A ．若ac bc >.则a b > B ．若22a b >，则a b >C ．若a b >，则11a b <D ．若c d >，a c b d ->-，则a b >【答案】D【分析】根据不等式的性质可判断选项A ，D ；通过举反例可判断选项B ，C. 【详解】当0c <时，若ac bc >，则a b <，故选项A 错误； 当5,1a b =-=时，满足22a b >，但a b <，故选项B 错误； 当5,1a b ==-时，满足a b >，但11a b>，故选项C 错误； 若c d >，a c b d ->-，则由不等式的可加性得a c c b d d -+>-+，即a b >，选项D 正确. 故选：D.3．已知函数f （x ）定义域为（0，+∞），则函数F （x ）＝f （x +2） ） A ．（﹣2，3] B ．[﹣2，3]C ．（0，3]D ．（2，3]【答案】A【分析】根据题意列出不等式组，进而解出答案即可.【详解】由题意，20(2,3]30x x x +>⎧⇒∈-⎨-≥⎩.故选：A.4．若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由函数()log ()a f x x b =+的图象可推得，01a <<，且01b <<，可得函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，从而可判断答案.【详解】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，再由图象的平移变换知，()log ()a f x x b =+的图象由()log a f x x =向左平移不超过一个单位，可知01b <<，故函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)12g b <=+<，则符合题意的只有B 中图象 故选：B.5．关于x 的不等式()260Z x x a a -+≤∈解集中有且仅有3个整数，则a 的取值不可能是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】D【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可.【详解】因为x 的不等式()260Z x x a a -+≤∈有解，所以2(6)409a a ∆=--≥⇒≤，即该不等式的解集为：33x ≤因为关于x 的不等式()260Z x x a a -+≤∈解集中有且仅有3个整数，所以1258a ⇒<≤，显然选项ABC 都可能， 故选：D6．已知函数()()343,1log ,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()2,4-B ．[)2,4-C ．(],2-∞-D ．{}2-【答案】B【解析】首先求函数在1x ≥时函数的值域，再根据函数的值域为R ，确定1x <时函数的单调性和端点值的范围，求实数a 的取值范围. 【详解】1x ≥时，3log 0y x =≥， 又()f x 的值域为R ，则1x <时，()()43f x a x a =-+的值域包含(),0∞-，()404130a a a ->⎧∴⎨-⋅+≥⎩ ，解得：24a -≤<.故选：B7．已知函数22()log f x x x =+，则不等式(1)(2)0f x f +-<的解集为A ．(),111)3(,---B ．3,1-（）C ．(,1)(3,)-∞-+∞D ．(1,1)(1,3)-【答案】A【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化求解. 【详解】解：不等式f （x +1）﹣f （2）＜0等价为f （x +1）＜f （2）， ∵f （x ）＝x 2+log 2|x |，∴f （﹣x ）＝（﹣x ）2+log 2|﹣x |＝x 2+log 2|x |＝f （x ）， 则函数f （x ）是偶函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 2+log 2x 为增函数，则不等式f （x +1）＜f （2）等价为f （|x +1|）＜f （2）， ∴|x +1|＜2且x +1≠0， 即﹣2＜x +1＜2且x ≠﹣1，则﹣3＜x ＜1且x ≠﹣1，∴不等式的解集为（﹣3，﹣1）∪（﹣1，1）， 故选A ．【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键． 8．已知4()f x x x=+，2()1g x x ax =-+，若对1[1,3]x ∀∈，2[1,3]x ∀∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,)-+∞ B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞-D ．(,2]-∞【答案】B【分析】将对1[1,3]x ∀∈，2[1,3]x ∀∈，使得()()12f x g x ≥转化为214x ax -+≤对于任意[1,3]x ∈恒成立，利用分离参数法以及函数单调性即可求解. 【详解】∵4()f x x x=+，[1,3]x ∈∴4()4f x x x =+≥，当且仅当4x x =，即2x =时取等号.∴当[1,3]x ∈时，min ()4f x =.∴对1[1,3]x ∀∈，2[1,3]x ∀∈，使得()()12f x g x ≥等价于()4g x ≤对于任意[1,3]x ∈恒成立，即214x ax -+≤对于任意[1,3]x ∈恒成立∴3a x x≥-对任意[1,3]x ∈恒成立 ∵函数3y x x =-在[1,3]上为增函数∴max 3312a x x ⎛⎫≥-=-= ⎪⎝⎭，即2a ≥.故选：B.二、多选题9．若“x k <或3x k >+”是“41x -<<”的必要不充分条件，则实数k 的值可以是（ ） A ．8- B ．5-C ．1D ．4【答案】ACD【分析】由题得34k +≤-或1k ≥，化简即得解.【详解】若“x k <或3x k >+”是“41x -<<”的必要不充分条件， 所以34k +≤-或1k ≥， 所以7k ≤-或1k ≥.故选：ACD10．下列选项中正确的有（ ） A ．不等式2a b ab +≥恒成立 B ．()()()22,13M a a N a a =-=+-，则M N > C ．()101y x x x =+>+的最小值为1 D ．存在a ，使得不等式12a a+≤ 【答案】BD【分析】根据基本不等式的条件即可判断A 、C 、D ；利用作差法即可判断B. 【详解】对于A ，当1,0a b =-=时，1a b +=-，20ab a b =>+，故A 错误；对于B ，()()()()22221323120M N a a a a a a a -=--+-=-+=-+>，所以M N >，故B 正确；对于C ，()111112111111y x x x x x x =+=++-≥+⋅-=+++，当且仅当111x x +=+，即0x =时，取等号，又因0x >，所以111y x x =+>+，故C 错误； 对于D ，当1a =时，12a a +=，所以存在a ，使得不等式12a a+≤成立，故D 正确. 故选：BD.11．如图是三个对数函数的图象，则（ ）A ．1a >B ．01b <<C ．222b c a <<D ．c b <【答案】ABC【解析】根据对数函数的图象可判断出10a c b >>>>，再判断各选项即可得．【详解】由对数函数图象得1,0,1a b c ><<，令1y =，log log 1b c b c ==，由已知图象得b c <，b c a ∴<<；而2x y =是增函数，222b c a ∴<<. 故选：ABC ．12．已知函数()e 2xf x x =+-，()ln 2g x x x =+-，且()()0f a g b ==，则下列结论错误的是（ ）A ．a b >B ．()()0g a f b <<C ．2a b +=D ．()()0g a f b >>【答案】AD【分析】先利用基本函数的单调性判定函数的单调性，进而判定a 、b 的取值范围，再利用函数()f x 和()g x 的单调性及()()0f a g b ==判定()g a 和f b 的大小，再利用指数函数和对数函数的图象的对称性判定2a b +=.【详解】因为e x y =、ln y x =、2y x =-在其定义域内都是增函数，所以()e 2xf x x =+-、()ln 2g x x x =+-在其定义域内都是增函数.因为()00e 0210f =+-=-<，()11e 12e 10f =+-=->，且()0f a =，所以01a <<，又()1ln11210g =+-=-<，()2ln 222ln 20g =+-=>， 且()0g b =，所以12b <<，所以012a b <<<<，即选项A 错误；因为a b <，函数()f x 、()g x 在其定义域内均为增函数， 所以()()()()0g a g b f a f b <==<， 所以()()0g a f b <<， 即选项B 正确，选项D 错误；令()e 20xf x x =+-=，()ln 20g x x x =+-=，则e 2x x =-，ln 2x x =-，由于e x y =，ln y x =的图象都和直线2y x =-相交（如图所示）， 且函数e x y =和函数ln y x =的图象关于直线y x =对称， 直线2y x =-和直线y x =的交点为()1,1， 所以12a b+=，即2a b +=，即选项C 正确.故选：AD.三、填空题13．函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4∞-上递减，则实数a 的取值范围是___________．【答案】(],3-∞-【分析】根据题意分析出二次函数的对称轴()2142a x -=-≥，由此可求出实数a 的取值范围. 【详解】因为函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4∞-上递减，所以()2142a --≥，解得3a ≤-. 故答案为：(],3-∞-.14．设2()f x ax bx =+，且)12(1f -≤≤，2(1)4f ≤≤，则(2)f 的最大值为_________. 【答案】14【分析】分别得出()()1,1f a b f a b -=-=+的范围，进而将()242f a b =+由,a b a b -+来表示，然后求得答案.【详解】由题意，1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，而()242f a b =+，设()()()()42a b x a b y a b x y a y x b +=-++=++-，所以4123x y x y x y +==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，即()()()23f a b a b =-++，所以()2214314f ≤⨯+⨯=. 即(2)f 的最大值为14. 故答案为：14.15．已知常数m ∈R ，若函数()2x m f x -=反函数的图象经过点(4,2)，则m =________ 【答案】0【分析】根据题中条件，得到()2x m f x -=的图象经过点(2,4)，进而可求出结果. 【详解】因为函数()2x m f x -=反函数的图象经过点(4,2)， 所以()2x m f x -=的图象经过点(2,4)，则242m -=，所以0m =. 故答案为：0.16．函数0.5()2log 1xf x x =-的零点个数为__________.【答案】2【解析】求函数()0.52log 1xf x x =-的零点个数⇔求对应方程0.52log 10x x -=即0.51|log |2xx =的根的个数⇔求函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭的交点个数.在同一直角坐标系下画出函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭的图象，确定交点个数，即可. 【详解】令()0.52log 10xf x x =-=，即0.51|log |2xx =画函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭的图象，如下图所示由图象可知，函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭有2个交点所以函数()0.52log 1xf x x =-有2个零点.故答案为：2【点睛】关键点点睛：查函数的零点个数，利用数形结合思想以及转化与化归思想，将函数的零点转化对应方程的根，从而转化为两个函数的交点.属于中档题.四、解答题17．已知集合{22}A xa x a =-≤≤+∣，{1B x x =≤∣或4}x ≥.（1）当3a =时，求RAB ；（2）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{5}Rx x AB =≤≤∣-1；（2）(),1a ∈-∞.【分析】（1）根据题意，结合数轴与补集的运算，即可求解；（2）根据题意，分类讨论A =∅和A ≠∅两种形式，再结合数轴即可求解. 【详解】(1)当3a =时，{5}A xx =≤≤∣-1. 由{1B xx =≤∣或4}x ≥，得{}14R B x x =<<，故{5}Rx x A B =≤≤∣-1.(2)①当A =∅，即22a a ->+，也就是a<0时，A B ⋂=∅；②当A ≠∅，即0a ≥时，由A B ⋂=∅，得2124a a ->⎧⎨+<⎩，解得1a <，故10a >≥.综上，(),1a ∈-∞. 18．计算下列各式的值(1)10220.5312220.0154--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(2)()()248525125log 125log 25log 5log 2log 4log 8++⋅++. 【答案】(1)1615； (2)13.【分析】（1）根据指数幂的运算性质进行求解即可； （2）根据对数的运算性质进行求解即可.【详解】（1）()10220.512220.52312220.13110221211431016;101545⎛⎫⨯- ⎪⎭⨯-⎝--⎛⎛⎫⎛⎫⎫=+⨯- ⎪⎝⎭=+⨯+⨯- ⎪-=⎪⎝⎭⎝⎭（2）()()()()24852512525555222log 125log 25log 5log 2log 4log 813log 5log 5log 5log 2log log 313log 53log 2313.22++⋅++⎛⎫=++⋅++ ⎪⎝⎭=⨯= 19．已知函数()211mx f x x +=+是R 上的偶函数. (1)求实数m 的值；(2)判断函数()f x 在区间(],0-∞上的单调性，并用定义证明； (3)求函数()f x 在区间3,2上的最大值与最小值.【答案】(1)0m =(2)单调递增，理由见解析； (3)()()max min 11,10f x f x ==.【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可； （2）根据单调性的定义进行判断证明即可； （3）根据偶函数的性质，结合单调性进行求解即可. 【详解】（1）因为函数()211mx f x x +=+是R 上的偶函数， 所以有()()2211112011mx mx f x f x mx mx mx x x +-+=-⇒=⇒+=-+⇒=++， 因为x ∈R ，所以0m =；（2）由（1）可知：0m =，即()211f x x =+，该函数单调递增，理由如下： 设12,x x 是(],0-∞上任意两个实数，且12x x <，即120x x <≤， ()()()()()()()()()22212121122222221212121111111111x x x x x x f x f x x x x x x x +++--=-==+++++-+，因为120x x <≤，所以()()()()()()()()212112122212011x x x x f x f x f x f x x x +--=<⇒<++，所以函数()f x 在区间(],0-∞上单调递增；（3）由（2）可知：函数()f x 在区间(],0-∞上单调递增，而函数()f x 是偶函数，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，因为[]3,2x ∈-，111(0)1,(2),(3)14510f f f ===-=+，所以()()max min 11,10f x f x ==. 20．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放k 个(14k ≤≤，且R k ∈)单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中， 它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (分钟)变化的函数关系式近似为()y kf x =，其中()241,04817,4142x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩.若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中洗衣液浓度不低于4克/升时，它才能起到有效去污的作用.(1)若只投放一次k 个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，求k 的值；(2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由.【答案】（1）1k =；（2）12分钟；（3）见详解.【分析】（1）由只投放一次k 个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，根据已知可得，()3kf x =，代入可求出k 的值；（2）由只投放一次4个单位的洗衣液，可得964,048282,414x y x x x ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩，分04x ≤≤、414x <≤两种情况解不等式4y ≥即可求解；（3）令12x =，由题意求出此时y 的值并与4比较大小即可.【详解】（1）因为()241,04817,4142x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升时，可得()3kf x =，即241382k ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，解得1k =；（2）因为4k =，所以()964,0448282,414x y f x x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩，当04x ≤≤时，96448x-≥-，将两式联立解之得04x ≤≤；当414x <≤时，2824x -≥，将两式联立解之得412x <≤，综上可得012x ≤≤，所以若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达12分钟；（3）当12x =时，由题意1242712115282y ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，因为54>，所以在第12分钟时洗衣液能起到有效去污的作用.【点睛】本题主要考查分段函数模型的选择和应用，其中解答本题的关键是正确理解水中洗衣液浓度不低于4克/升时，它才能起到有效去污的作用，属中等难度题.21．设函数()f x 的定义域是()0,∞+，且对任意正实数x ，y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立，已知()21f =，且当1x >时，()0f x >.(1)求12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； (2)判断()y f x =在区间()0,∞+内的单调性，并给出证明；(3)解不等式()()2861f x f x >--.【答案】(1)1-；(2)增函数，理由见解析；(3){|0.751x x <<或3}x >.【分析】（1）利用赋值法，即可求得所求的函数值，得到答案；（2）首先判定函数为增函数，然后利用函数的单调性的定义和所给条件进行证明即可；（3）利用函数的单调性和所得函数值对应的自变量得到函数不等式，得出不等式组，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()f x 对任意的正实数x ，y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立， 令1x y ==，可得(1)(1)(1)f f f =+，所以()10f =， 令12,2x y ==，可得1(1)(2)()2f f f =+，即11()02f +=，解得1()12f =-； （2）函数()f x 为增函数，证明如下：设12,(0,)x x ∈+∞且12x x <， 令211,x x x y x ==，根据题意，可得2121()()()x f x f f x x +=，即2211()()()x f x f x f x -=， 又由1x >时，()0f x >， 因为211x x >，可得21()0x f x >，即21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >， 所以函数()y f x =在(0,)+∞上的单调性；（3）由题意和（1）可得：11(86)1(86)()[(86)](43)22f x f x f f x f x --=-+=-=-， 又由不等式2()(86)1f x f x >--，即2()(43)f x f x >-，可得243430x x x ⎧>-⎨->⎩，解得314x <<或3x >， 即不等式2()(86)1f x f x >--的解集为{|0.751x x <<或3}x >. 【点睛】关键点睛：令211,x x x y x ==，构造大于1的实数是证明单调性的关键.22．已知函数()()()4log 41x f x kx k =++∈R 是偶函数.(1)求实数k 的值；(2)设()44log 23x g x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，若函数f （x ）的图象与()44log 23x g x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭的图象有且仅有一个公共点，求实数a 的取值范围.【答案】(1)12k =-； (2){}()31,-⋃+∞.【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可；（2）利用转化法，根据对数的运算性质，结合换元法分类讨论进行求解即可.【详解】（1）函数4()log (41)x f x kx =++定义域为R ，又()f x 是偶函数，即()()0f x f x --=，则44log (41)[log (41)]0x x kx kx -++-+-=，即有()()4444141log 20log 2020(12)041441x x x x x x kx kx x kx k x --+++=⇒+=⇒+=⇒+=++， 因为x ∈R ，所以11202k k +=⇒=-； （2）因函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，则方程()()f x g x =有唯一解，由（1）知：444414414log (41)log (2)log log (2)2323x xx x x x a a a a ++-=⋅-⇒=⋅-， 即方程142223x x x a ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭有且只有一个根， 令20x t =>，则方程()241103a t at ---=有且只有一个正根， 当1a =时，解得34t =-，此时4203x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，而1202x x +>，不合题意； 当1a >时，()24113y a t at =---开口向上，且过定点()0,1-，符合题意， 当1a <时，()()24Δ410343021a a a a ⎧⎛⎫=-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎨-⎪->⎪-⎪⎩，解得3a =-， 综上：实数a 的取值范围是{}()31,-⋃+∞.【点睛】关键点睛：根据二次函数的性质分类讨论求解是解题的关键.。