（3）如图②，将 ABF 绕点 B 顺时针旋转一个角 a(0 a 180) ，记旋转中 ABF 为 A' BF ' ，在旋转过程中，设 A' F ' 所在的直线与直线 AD 交于点 P ，与直线 BD 交于点
Q ．是否存在这样的 P、Q 两点，使 DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时 DQ 的
ABD ACE(SAS) ，
ABD ACE ， BD CE ，
利用三角形的中位线得， PN 1 BD ， PM 1 CE ，
2
2
PM PN ，
PMN 是等腰三角形，
同（1）的方法得， PM / /CE ， DPM DCE ，
同（1）的方法得， PN / /BD ， PNC DBC ，
SPMN最大
1 2
PM 2
1 2
1 2
MN 2
1 4
(7
2)2 49 ． 2
方法 2：由（2）知， PMN 是等腰直角三角形， PM PN 1 BD ， 2
PM 最大时， PMN 面积最大， 点 D 在 BA 的延长线上， BD AB AD 14 ， PM 7 ，
SPMN最大
1 PM 2 2
MN 最大时， PMN 的面积最大， DE / /BC 且 DE 在顶点 A 上面， MN 最大 AM AN ，
连接 AM ， AN ， 在 ADE 中， AD AE 4， DAE 90 ，
AM 2 2 ，
在 RtABC中， AB AC 10， AN 5 2 ，
MN最大 2 2 5 2 7 2 ，
（2）依题意画出图形，如图①-1 所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别
求出 m 的值；
（3）在旋转过程中，等腰△DPQ 有 4 种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计
算即可．
【详解】
（1）∵四边形 ABCD 是矩形，
S△PMN 最大＝ 49 ． 2
【解析】
【分析】
（1）由已知易得 BD CE ，利用三角形的中位线得出 PM 1 CE ， PN 1 BD ，即可
2
2
得出数量关系，再利用三角形的中位线得出 PM / /CE 得出 DPM DCA，最后用互
余即可得出位置关系；
（2）先判断出 ABD ACE ，得出 BD CE ，同（1）的方法得出 PM 1 BD ， 2
2．已知：如图①，在矩形 ABCD 中， AB 3, AD 4, AE BD ，垂足是 E .点 F 是点 E 关于 AB 的对称点，连接 AF、BF ．
（1）求 AF 和 BE 的长； （2）若将 ABF 沿着射线 BD 方向平移，设平移的距离为 m (平移距离指点 B 沿 BD 方向 所经过的线段长度)．当点 F 分别平移到线段 AB、AD 上时，直接写出相应的 m 的值．
PM / /CE ， DPM DCA ，
BAC 90 ， ADC ACD 90 ， MPN DPM DPN DCA ADC 90， PM PN ， 故答案为： PM PN ， PM PN ；
（2） PMN 是等腰直角三角形．
由旋转知， BAD CAE ，
AB AC ， AD AE ，
PN 1 BD ，即可得出 PM PN ，同（1）的方法由 2
MPN DCE DCB DBC ACB ABC ，即可得出结论；
（3）方法 1：先判断出 MN 最大时， PMN 的面积最大，进而求出 AN ， AM ，即可得
出 MN 最大 AM AN ，最后用面积公式即可得出结论．方法 2：先判断出 BD 最大 时， PMN 的面积最大，而 BD 最大是 AB AD 14 ，即可得出结论．
DPN DCB PNC DCB DBC ，
MPN DPM DPN DCE DCB DBC
BCE DBC ACB ACE DBC
ACB ABD DBC ACB ABC ，
BAC 90 ，
ACB ABC 90 ，
MPN 90，
PMN 是等腰直角三角形；
（3）方法 1：如图 2，同（2）的方法得， PMN 是等腰直角三角形，
【详解】
解：（1） 点 P ， N 是 BC ， CD 的中点，
PN / /BD ， PN 1 BD ， 2
点 P ， M 是 CD ， DE 的中点，
PM / /CE ， PM 1 CE ， 2
AB AC ， AD AE ， BD CE ， PM PN ，
PN / /BD， DPN ADC ，
长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） AF 12 , BF 9 ；（2） m 9 或 m 16 ；（3）存在 4 组符合条件的点
5
5
5
5
P 、点 Q ，使 DPQ 为等腰三角形； DQ 的长度分别为 2 或 25 或 9 10 5 或 85
5 3 10 ． 5
【解析】
【分析】
（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；
1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 2
49 2
．
【点睛】
此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性
质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出
PM 1 CE ， PN 1 BD ，解（2）的关键是判断出 ABD ACE ，解（3）的关键
2
2
是判断出 MN 最大时， PMN 的面积最大．
河南省实验中学数学几何模型压轴题（篇）（Word 版 含解析）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．如图 1，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AD＝ AE，连接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点．
（1）观察猜想：图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD，CE，判断 △PMN 的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD＝4，AB＝10，请直接写出 △PMN 面积的最大值． 【答案】（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）