空间向量在立体几何中的应用【知识网络】空间向量的定义与运算空间向量运算几何意义空间向量的坐标表示及运算应用空间向量的运算解决立几问题证明平行、垂直求空间角与距离【考点梳理】要点一、空间向量1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

要点诠释：⑴空间的一个平移就是一个向量。

⑵向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

相等向量只考虑其定义要素：方向，大小。

⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2.共线向量（1）定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a//．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb 。

3.向量的数量积（1）定义：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<> 叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅= ||||cos ,a b a b ⋅⋅<> 。

（2）空间向量数量积的性质：①||cos ,a e a a e ⋅=<> ；②0a b a b ⊥⇔⋅=；③2||a a a =⋅ ．（3）空间向量数量积运算律：①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ；②a b b a ⋅=⋅（交换律）；③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）。

4.空间向量基本定理如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++ 。

若三向量,,a b c不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

5.空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；6.空间直角坐标系中的坐标在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．7.空间向量的直角坐标运算律：（1）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

（2）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++ ，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈ ，112233a b a b a b a b ⋅=++，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=；||a ==||b == ．夹角公式：cos ||||a b a b a b ⋅⋅==⋅．（3）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z，则||AB ==或,A B d =。

要点二、空间向量在立体几何中的应用1.立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直问题，一般是利用0a b a b ⊥⇔⋅=进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．2.利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式cos ||||a ba b θ⋅=⋅ 。

要点诠释：平面的法向量的求法：设n =(x,y,z)，利用n 与平面内的两个不共线的向a ，b 垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面α的一个法向量（如图）。

线线角的求法：设直线AB 、CD 对应的方向向量分别为a 、b ，则直线AB 与CD 所成的角为||arccos ||||a b a b ⋅⋅。

（注意：线线角的范围[00,900]）线面角的求法：设n 是平面α的法向量，AB →是直线l 的方向向量，则直线l 与平面α所成的角为||arcsin ||||AB n AB n ⋅⋅ （如图）。

二面角的求法：设n 1，n 2分别是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则121212,arccos ||||n n n n n n ⋅〈〉=⋅就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）3.用向量法求距离的公式设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，则点B 到平面α的距离为||||AB n n ⋅ （如图）。

要点诠释：⑴点A 到平面α的距离：||AB n d n ⋅= ，其中B α∈，n是平面α的法向量。

⑵直线a 与平面α之间的距离：AB n d ⋅= ，其中,A a B α∈∈，n是平面α的法向量。

⑶两平行平面,αβ之间的距离：AB n d ⋅= ，其中,A B αβ∈∈，n是平面α的法向量。

【典型例题】类型一、空间向量的运算【例1】已知AB =（2，2，1），AC=（4，5，3），求平面ABC 的单位法向量。

类型二：向量法证明平行或垂直【例2】如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面,2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点NM A BDO （Ⅰ）证明：直线MN OCD平面‖；（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。

举一反三：如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF.类型三：异面直线所成的角【例3】正方体ABCD-EFGH 的棱长为a，点P 在AC 上，Q 在BG 上，且AP=BQ=a,求直线PQ 与AD 所成的角举一反三：【变式】如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的菱形，侧棱长为2（1）11B D 与1A D 能否垂直？请证明你的判断；（2）当111A B C ∠在[,32ππ上变化时，求异面直线1AC 与11A B 所成角的取值范围。

类型四：直线与平面所成的角【例4】如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上的一点，CP m =。

试确定m ，使直线AP 与平面11BDD B 所成角的正切值为；举一反三：90，PA=1，AB=3，AC=2，PA⊥面ABC．【变式】如图，三棱锥P-ABC中，∠ABC=(1)求直线AB和直线PC所成角的余弦值；(2)求PC和面ABC所成角的正弦值；类型五：二面角【例5】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝22，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝5.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．举一反三：【变式】如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°，AD ，EF=2。

3（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A—EF—C的大小为60°？类型六：空间距离【例5】如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2 3.求点A到平面MBC的距离．=类型七、利用空间向量解决立体几何中的探索问题【例6】在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，AB AD ^，4,2AB AD CD ===，PA ^平面ABCD ，4PA =.（Ⅰ）设平面PAB 平面PCD m =，求证：CD //m ；（Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC所成角的正弦值为3，求PQPB的值．【变式】在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒，EB ⊥平面ABCD ，EF//AB ，=2AB，==1EB EF，=BC ，且M 是BD 的中点.（Ⅰ）求证：EM//平面ADF ；（Ⅱ）求二面角D-AF-B 的大小；（Ⅲ）在线段EB 上是否存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒？若存在，求出BP 的长度；若不存在，请说明理由..CAFEBMD。