x
lim f(x ) A 的 几 何 意 义
x
y
A
A
A
①任意给定
0
Oa
M
②存在 Ma
④ 有 A f(x ) A
x
x
③ 使 当 xM时
注 1.xl im f(x)A与 n l i m xna定 义 比 较
函数 定义域 自变量变化趋势 函数值变化趋势 定义
nli mxn a
y xn
数都可以充当这个角色.
3. 正数 是任意的,一旦给出,它就是确定的常数.
4. 函数极限的几何意义如图, 任给 0,对于坐标
平面上以 y =A为中心线, 宽为2 的窄带,可以找到
0, 使得曲线段
y
yf(x )x , U (x 0 , )
yA
yA
yA
落在窄带内.
O
x0 x 0 x0 x
注：f (x)在 x 0 处有无定义皆可.
lx im 11x2 0.
例5 证明 limsinx0. x x
y sin x x
证 sinx0sinx
x
x
1 x
1 X
,
0,
取
X
1,
则当 xX时恒有
sinx0 , x
故limsinx0. x x
定:义 如l果 im f(x)c,则直 yc线 是函 yf数 (x) x
的图形的. 水平渐近线
Chapt 3 函数极限
观察函 sin x数 当x时的变.化趋 x
一、x趋于时的函数极限
设函数 f (x)定义在 a, y
上,当 x 沿着 x 轴的正向 A 无限远离原点时,函数f (x)
也无限地接近A,我们就称
f (x)当 x 趋于 时以A为
O
极限.
f (x)
x
例如 函数 yarctxa,当nx趋于时,
例6 证明 limx1 2 1. x 1 x1 22
分析 对于任意正数 ,要找到 0,当 0|x1|
时, 使 x 121 1 1 x 1 22 x 1222
x12
22( x12) 22(
x x 1 12)2.(
)
因
x1
x1,
2 2( x1 2)2
只要 x1 ,()式就能成立, 故取 即可.
为一个常数. 若对于任意 0, 存在 M0，当 x M时
f(x)A,
则f称 (x)当 x 时A 以 为极 记为限， limf(x)A或 f(x ) A (x ).
x
例4 求证 lx im 11x2 0.
证 对于任意正数 , 可取 M 1 , 当 xM 时 ,有
1 1x2
0
1 x2
,
所以
证 任给正数, 取 , 当 0xx0时 , x121 x1,
x1 22
这就证明了 limx1 2 1 . x 1 x1 22
例7
证明
limx2
xx0
x02.
分析 要使
x 2 x 0 2 x x 0 x x 0,
可以先限制 xx0 1, 因为此时有
x x 0 x x 0 2 x 0 x x 0 2 x 0
几何解释:
X
y sin x x
A
X
当 xX或 xX时 ,函y数 f(x)图形完全落 直y线 A为中,心 宽2 线 为 的带形. 区域内
从定义1、2 、3 不难得到:
定理 3.1 f (x)定义在的一个邻域内， 则
limf(x)A的充要条件是：
x
lim f(x )lim f(x ) A .
x
x
π
π
例如 lim a r c ta n x ,lim a r c ta n x ,
x
2x
2
则由定理 3.1，limarctaxn不存在. x
二、x趋于x0时的函数极限
定义4 设f(x) 在点x 0 的某空心邻域 U(x0,')
内有定义， A是一个常数. 如果对于任意正数 ,
存在正数 ', 当 x U (x0, ) U (x0, ')时
不是“最佳”的, 但这不影响我们解题的有效性.
例8 求证：(1)x li m x0sinxsinx0; (2)x li m x0cosxcosx0.
证 首先，在右图所示的单位圆内,
当0 x π时, 显然有
y
2
S O A S 扇 DO形 A S D O,AB
例2 证l明 im arcxta.n
x
2
证 任给 0( ),取Mtan().
2
2
因为 arctaxn严格增 当， xM时，
f(x)ππarctanx 22
π(π).
22
这就是说 limarctanxπ.
x
2
定义2 设 f(x ) 定 义 ,b 上 ,A在 是一个常数.
若对于任意 0, 存M 在 0,当 x M (b )时
12 x0 ,
所以 x 2 x 0 2 (1 2 x 0)x x 0,故只要
xx0
12 x0
.
证 0,取min1,12x0,当 0xx0
时, 有 x2x02 .
这就证明了
limx2
xx0
x02.
注 在例6、例7中, 我们将所考虑的式子适当放大,
其目的就是为了更简洁地求出 , 或许所求出的
(即 0|xx0|) f(x)A,
则称 f(x )当 x x 0时A 为 以.极 记为 限
limf(x)A
xx0
f(x ) A (x x 0 ) .
需要注意以下几点：
1. 对于, 我们强调其存在性. 换句话说, 对于固定
的 ,不同的方法会得出不同的 , 不存在哪一个更
好的问题.
2. 是不惟一的, 一旦求出了, 那么比它更小的正
arctxa以nπ 为极限. 2
y
π 2
1
0.5
O
10 20 30 40 x
定义1 设 f为定 a, 义 上 在 的一 . A 为个
定数,若对于任意正数 0，存在正数 M(a)，
使得 当xM时,
f(x)A,
则称函数 f(x)当 x趋于 时A 以 为极限. 记为
limf(x)A 或者 f(x ) A (x ) .
N
limf(x)A
x
(x)A
0, N，nN时， 0,X0，xX时，
有 xn a ,
有f(x)A
注 数列可视为定义在正整数集上的函数.
例1 证明 lim 1 0. x x
证 任给 0,取 M 1 ,当xM时 ,
10 1 ,
x
x
所以(由定义1),
lim 1 0. x x
f(x)A,
则称 f(x)当 x 时 A 以 为极限, 记为 limf(x)A或 f(x ) A (x ) .
x
例3 求证 lim ex 0. x
证 对于任意正数 (01),取 M ln ,
当xln时 ex0ex.
则 limex 0.
x
定义3 设 f(x)定义 的 在 某U 个 ( )内 邻 , A 域