第三章 函数极限教学目的：1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质；2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性；3.掌握两个重要极限和，并能熟练运用；4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。
教学重（难）点：本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。
教学时数：14学时§ 1 函数极限概念 （2学时）教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。
教学要求：使学生逐步建立起函数极限的δε-定义的清晰概念。
会应用函数极限的δε-定义证明函数的有关命题，并能运用δε-语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。
教学重点：函数极限的概念。
教学难点：函数极限的δε-定义及其应用。
一、 复习：数列极限的概念、性质等 二、 讲授新课： （一）时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号: 的意义,的直观意义.定义 ( 和 . )几何意义介绍邻域其中为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义．例1 验证例2 验证例3 验证证……（二）时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4 验证例5验证例6 验证证由=为使需有为使需有于是, 倘限制 , 就有例7 验证例8 验证 ( 类似有（三）单侧极限:1．定义：单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9 验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th类似有:例10 证明: 极限不存在.例11 设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有=§2 函数极限的性质（2学时）教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：我们引进了六种极限: ,.以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证.二、讲授新课：（一）函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性( 不等式性质 ):Th 4 若和都存在, 且存在点的空心邻域, 使，都有证设= ( 现证对有)註: 若在Th 4的条件中, 改“”为“”, 未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质: ( 只证“+”和“”)（二）利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：（注意前四个极限中极限就是函数值）这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1 ( 利用极限和) 例2例3註: 关于的有理分式当时的极限.例4 [ 利用公式]例5例6例7例8例9例10 已知求和补充题:已知求和 ()§ 3 函数极限存在的条件（4学时）教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。
教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。
教学重点：海涅定理及柯西准则。
教学难点：海涅定理及柯西准则运用。
教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。
本节介绍函数极限存在的两个充要条件. 仍以极限为例.一.Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：Th 1 设函数在点的某空心邻域内有定义.则极限存在,对任何且都存在且相等.( 证 )Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为单调趋于. 参阅[1]P70.例1 证明函数极限的双逼原理.例2 证明例3 证明不存在.二.Cauchy准则:Th 2 (Cauchy准则) 设函数在点的某空心邻域内有定义.则存在,,证( 利用Heine归并原则 )Cauchy准则的否定: 不存在的充要条件.例4 用Cauchy准则证明极限不存在.证取例5 设在 [上函数↘. 则极限存在,在[上有界. ( 简证, 留为作业 ).§4 两个重要极限（2时）教学目的：掌握两个重要极限，并能熟练应用。
教学要求：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并能灵活运用。
教学重点：两个重要极限的证明及运用。
教学难点：两个重要极限的证明及运用。
教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。
一．（证）（同理有）例1例2 .例3例4例5 证明极限不存在.二.证对有例6特别当等.例7例8例9§5无穷小量与无穷大量阶的比较（2学时）教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。
会利用它们求某些函数的极限。
教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。
一.无穷小量: 定义. 记法.例1判断: ⑴可怜虫是很小很可怜的虫; ( )⑵无穷小量是很小很小的量. ( )无穷小的性质:性质1 ( 无穷小的和差 )性质2 ( 无穷小与有界量的积 )例2无穷小与极限的关系:Th 1 ( 证 )二. 无穷小的阶: 设时1．高阶（或低阶）无穷小：2．同阶无穷小：三．等价无穷小：Th 2 ( 等价关系的传递性 ).等价无穷小在极限计算中的应用:Th 3 ( 等价无穷小替换法则 )几组常用等价无穷小:（见[2]）例3 时, 无穷小与是否等价?例4四.无穷大量:1.定义:2.性质:性质1同号无穷大的和是无穷大.性质2无穷大与无穷大的积是无穷大.性质3 与无界量的关系.无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果.3.无穷小与无穷大的关系:无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大习题课（2学时）一、理论概述：二、范例讲析：例1 设数集无界.试证明:存在数列{}使例2 设为定义在上的递增函数. 证明: 极限存在的充要条件是函数在上有上界.例3证明: 对其中是Riemann函数.例4设函数定义在内, 且满足条件ⅰ>ⅱ> 对有试证明是内的常值函数.例5求极限{注意=有界}例6求和.解法一又解法二，由且原式极限存在，，即.例7. 求.注意时,且. 先求由Heine归并原则即求得所求极限.例8 求和.并说明极限是否存在.解;可见极限不存在.第四章函数的连续性教学目的：1.使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念；2.熟练连续函数的性质并能加以应用；3.知道所有初等函数都是在其定义域上的连续函数，并能加以证明；4.理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间上连续与这一区间上一致连续的联系与区别。
教学重点、难点：本章重点是函数连续性的概念和闭区间上连续函数的性质；难点是一致连续性的概念与有关证明。
教学时数：14学时§ 1 函数的连续性（4学时）教学目的：使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念。
教学要求：1. 使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述；2. 应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同类型的间断点；3. 明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵。
教学重点：函数连续性概念。
教学难点：函数连续性概念。
一、引入新课：通过生活和科学研究中的实例说明学习连续函数的必要性。
二、讲授新课：（一）函数在一点的连续性：1．连续的直观图解：由图解引出解析定义.2.函数在一点连续的定义: 设函数在点某邻域有定义.定义用例如 [1]P87例1和例2, P88 例3.定义用定义用先定义和定义连续的Heine定义.定义( “”定义.)（注：强调函数在点连续必须满足的三个条件。
）例1 用“”定义验证函数在点连续.例2 试证明: 若则在点连续.3.单侧连续: 定义单侧连续, 并图解.Th ( 单、双侧连续的关系 )例3讨论函数在点的连续或单侧连续性.（二）间断点及其分类: 图解介绍间断点的分类.跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点, 其他情况即或中至少有一个不存在称为第二类间断点.例4讨论函数的间断点类型.例5延拓函数使在点连续.例6举出定义在[0,1]上且仅在点三点间断的函数的例.例7讨论Dirichlet函数和Riemann函数的连续性.（三）区间上的连续函数：开区间上连续，闭区间上连续, 按段连续.§ 2 连续函数的性质（6学时）教学目的：熟悉连续函数的性质并能灵活应用。
教学要求：1. 掌握连续的局部性质（有界性、保号性），连续函数的有理运算性质，并能加以证明；熟知复合函数的连续和反函数的连续性。
能够在各种问题的讨论中正确运用连续函数的这些重要性质；2. 掌握闭区间上连续函数的主要性质，理解其几何意义，并能在各种有关的具体问题中加以运用；3. 理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间上连续与在这一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别。
教学重点：闭区间上连续函数的性质；教学难点：一致连续的概念。
一、复习：连续、间断的含义.二、讲授新课：（一）连续函数的局部性质: 叙述为Th 1—4.1.局部有界性：2.局部保号性：3.四则运算性质：4.复合函数连续性：Th 4 若函数在点连续，函数在点连续, 且, 则复合函数在点连续. ( 证 )註Th 4 可简写为（即在条件满足的前提下，极限运算与函数运算可以交换顺序。
）例1 求极限例2 求极限:⑴⑵例3求极限的连续性见后.（二）闭区间上连续函数的基本性质:1.最值性: 先定义最值.Th 5 ( 最值性 )推论( 有界性 )2. 介值性: 定义介值.Th 6 ( 介值性 )连续函数的值域, 连续的单调函数的值域.推论( 零点定理 )例4证明: 方程在到之间有实根.例5设是正数, 为正整数. 证明方程有唯一正实根. 唯一性的证明用在内的严格递增性.（三）反函数的连续性:Th 7 若函数在上严格递增( 或减 )且连续, 则其反函数在相应的定义域或上连续. ( 证 )关于函数等的连续性 ( [1]P99 E5,6.)（四）函数的整体连续性——一致连续：1．连续定义中对的依赖性：例6考查函数在区间上的连续性.对作限制就有对,取这里与有关,有时特记为.本例中不存在可在区间上通用的, 即不存在最小的( 正数 ).例7考查函数在区间上的连续性.本例中可取得最小的, 也就是可通用的该却与无关, 可记为.2.一致连续性:定义 ( 一致连续 ) 顺便介绍一致连续与连续的关系.用定义验证一致连续的方法: 对, 确证存在. 为此,从不失真地放大式入手, 使在放大后的式子中, 除因子之外, 其余部分中不含有和, 然后使所得式子, 从中解出例8验证函数在内一致连续.例9 验证函在区间内一致连续.证例10若函数在有限区间内一致连续,则在内有界.3.一致连续的否定:否定定义.例11证明函数在区间内非一致连续.证法一 ( 用一致连续的否定定义验证 ) 取取与便有但证法二 ( 用例10的结果 ).4.一致连续的判定:Th8 (Cantor)若函数在闭区间上连续,在上一致连续.§ 3 初等函数的连续性（2学时）教学目的：知道所有初等函数都是在其有定义的区间上连续的函数，并能够加以证明。