§12－4 不确定关系
经典力学的成功之处在于，若已知初始状态，既可以知道物体的运动规律。

如已知t= 0时粒子坐标、动量，既可以求任意t时粒子坐标、动量和粒子的运动轨道。

既经典力学给物体的运动状态给出了决定性的规律。

最初人们很自然地用描写宏观粒子的方法(坐标、动量)去描述微观粒子。

但波动性使微观粒子的坐标和动量(或时间和能量) 不能同时取确定值。

1927年海森伯首先提出了不确定关系，反映微观粒子的基本规律，是物理学中的重要关系。

一、坐标和动量的不确定的关系
1 导出
坐标和动量的不确定的关系可以由电子的单缝衍射实验简单导出。

电子沿向入射缝宽为a的狭缝，电子动量；当电子通过宽为a的单缝时，无法准确说出电子的坐标x是多少，只能说电子在Ox轴上的坐标的不确定度
Δx= a
缝前：P y = P，P x= 0
缝后：电子在屏上出现衍射图形，有一几率分布。

出现了x向分动量；
若衍射角为θ的电子动量为
ΔP x=P sinθ
对于落在衍射第一极小处的电子
ΔP x≈P sinθ1 ①
由单缝衍射公式有
sin2
2 a k
λ
φ=±
1
sin
a x
λλ
θ==
∆
又有德布罗意公式 代入①式
考虑衍射图样的次级条纹，
大部分电子落在中央亮纹范围内，其x 方向动量在0 ~ h /a 范围内，例如，一维自由运动粒子，其动量确定，但其坐标完全不确定。

更一般的理论给出
引入布朗克常量 h =
上面公式写为 2 讨论
1)不确定关系使微观粒子运动失去了“轨道”概念。

不确定关系说明微观粒子的坐标和动量不能同时确定，其根源在于二象性。

微观粒子本应用几率概念描述，不确定关系指明经典力学概念在微观世界的适用程度 2)不确定关系中 h 的重要性
由于h ≠0 ，使得不确定关系在微观世界成为一个重要的规律； 但h 很小，使不确定关系在宏观世界不能得到直接体现。

不确定关系在宏观世界的效果，好象是微观世界里当h →0时的效果，当h → 0时,量子物理→经典物理。

二、其他形式的不确定关系 1 时间与能量的不确定关系
h
p λ
=
x x h p x
x p h
λ
λ∆=
∆∆∆=sin k k
k
a
x x
λ
λ
λ
θ==〉
∆∆x x h
h p k
x x
x p h
λ
λ
λ
λ∆=
〉
∆∆∆∆≥222
x y z h x p h y p h z p ∆∆≥∆∆≥∆∆≥
4x h x p π
∆∆≥
2h
π
∆E⋅∆t≥h/2
如果测量光子的时间精确到∆t，则测得的光子能量就不确定到∆E；
若粒子在能量状态E只能停留∆t时间，则在这段时间内，粒子的能量状态并非完全确定。

2 能级宽度和能级寿命
设体系状态的寿命为τ，因测量只能在时间范围τ内进行，则测得的能量必有宽度为Γ的不确定程度。

满足关系
τ⋅Γ～h
Γ--能级宽度，τ--能级寿命
理论上，计算平均寿命→估计能量的范围
实验上，测量能级宽度→估计不稳态的寿命
三、不确定关系的应用
1 用不确定关系作数量级估算
[例1] 估算被约束粒子的能量。

氢原子半径~ 0.5⨯10-10m，求其中电子动能。

解：∆x约为 0.5⨯10-10m
动量∆P = h/(2π·2·∆x)
= 1.05⨯10-24 kg·m/s
能量E k= p2/2m≈ 6⨯10-9 J 或4 eV
同法可确定，原子核内不可能有电子。

原子核线度~10-15m，若核内有电子，可算出核内电子动能高达10 GeV，这样大的动能足以击碎原子核，电子不可能得到这么大的能量。

电子不能禁锢在核中。

质子、中子在核内的动能只是上面计算值的约百万分之一，可以禁锢在核中。

历史上曾用此法否定了氦原子核是由4个质子和2个电子组成的。

2 波动性的判据
若P>>∆P，粒子可看成经典粒子，轨道概念仍可使用，这可看作是否需要考虑粒子波动性的判据。

[例2] 威尔逊云室是一个充满过饱和蒸气的容器。

射入的高速电子使气体分子原子电离成离子。

以离子为中心过饱和蒸气凝结成小液滴，在强光照射下，可看到一条白亮的带状的痕迹—粒子的径迹。

径迹的线度～10-4cm ，电子位置的不确定程度： ∆x ≈10-4cm 。

动量的不确定程度： ∆P x ≥ h /2∆x ≈ 10-28
kg ⋅m/s 云室中的电子动能： E k ～108 eV ，
因此电子动量： P = (2m E k )1/2≈ 1.8⨯10-23
kg ⋅m/s
显然p >> ∆p x ，此情形下，坐标和动量基本上可以认为是确定的，可以使用“轨道”概念。

例12－3 一电子具有300ms -1的速率, 动量的不确范围为动量的0.01% (这也是足够精确的了) ,求该电子的位置不确定范围。

解： 电子的动量
动量的不确定范围
位置的不确定量范围
例12-4 一颗质量为50g 的子弹，具有300ms -1的速率。

若其动量的不确定范围为动量的0.01% (这在宏观范围是十分精确的),求该子弹位置的不确定量范围。

解：子弹的动量
动量的不确定范围
位置的不确定量范围
31
1
9.110300kg m s
p m --==⨯⨯⋅⋅v 28
1
2.710
kg m s
p --=⨯⋅⋅3210.01% 2.710kg m s p p --∆=⨯=⨯⋅⋅34
2
32
6.6310m 2.410
m
2.710
h
x p
---⨯∆≥
=
=⨯∆⨯1
15kg m s
p m -==⋅⋅v 31
0.01% 1.510kg m s
p p --∆=⨯=⨯⋅⋅34
31
3
6.6310m 4.410
m
1.510
h x p
---⨯∆≥
=
=⨯∆⨯。