多元函数微分学补充题1.已知函数(,)z z x y =满足222z z xy z x y ∂∂+=∂∂，设1111u x v y x z x ϕ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，对函数(,)u v ϕϕ=， 求证0uϕ∂=∂。

2.设(,,)u f x y z =，f 是可微函数，若y x z f f f x y z'''==，证明u 仅为r 的函数，其中r =3.设)(22y x u u +=具有二阶连续偏导数，且满足2222221y x u x ux yu x u +=+∂∂-∂∂+∂∂，试求函数u 的表达式。

4.设一元函数()u f r =当0r <<+∞时有连续的二阶导数，且0)1(=f ，(1)1f '=，又u f =满足0222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u ，试求)(r f 的表达式。

5.函数),(y x f 具有二阶连续偏导数,满足02=∂∂∂yx f，且在极坐标系下可表成(,)()f x y h r =，其中r =),(y x f 。

6.若1)1(,0)0(),(='==f f xyz f u 且)(2223xyz f z y x zy x u'''=∂∂∂∂，求u . 7.设函数)(ln 22y x f u +=满足23222222)(y x yu x u +=∂∂+∂∂，试求函数f 的表达式.8.设二元函数(,)||(,)f x y x y x y ϕ=-，其中(,)x y ϕ在点(0,0)的一个邻域内连续。

试证明函数(,)f x y 在(0,0)点处可微的充要条件是(0,0)0ϕ=。

9.已知点)2,1,Q(3),1,0,1(与-P ,在平面122=+-z y x 上求一点M ,使得||||PQ PM +最小.10.过椭圆132322=++y xy x 上任意点作椭圆的切线, 试求诸切线与坐标轴所围三角形面积的最小值.11.从已知ABC ∆的内部的点P 向三边作三条垂线,求使此三条垂线长的乘积为最大的点P 的位置.12.设函数)(x f 在),1[+∞内有二阶连续导数,1)1(,0)1(='=f f 且)()(2222y x f y x z ++=满足02222=∂∂+∂∂yzx z ,求)(x f 在),1[+∞上的最大值.13.在椭球面122222=++z y x 求一点，使函数222),,(z y x z y x f ++=在该点沿方向j i l-=的方向导数最大.14.设向量j i v j i u34,43+=-=,且二元可微函数在点P 处有6-=∂∂puf ,17=∂∂pvf,求p df .15.设函数),(y x z z =由方程)(2z xyf z y x =++所确定,其中f 可微,试计算yzy x z x∂∂+∂∂并化简. 16.设函数),(y x f z =具有二阶连续偏导数,且0≠∂∂yf,证明对任意常数C , C y x f =),(为一直线的充分必要条件是0222='''+''''-'''x xy xy y x xxy f f f f f f f . 证: 因为C y x f =),(为一直线的充分必要条件为:由C y x f =),(所确定的隐函数)(x y y =为线性函数,即022=dxyd .必要性:因为C y x f =),(为一直线时,y f x f ∂∂∂∂,均为常数,故022222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x f yf x f ,从而等式成立. 充分性: 因为0≠∂∂y f ,在C y x f =),(两边对x 求导,有 ,0='+'dxdyf f y x 两边再对x 求导:,0)()(22='+''+''+''+''dxy d f dx dy dx dy f f dx dy f f y yy yx xy xx又y x f f dx dy''-=,代入上式,有 ,0)()(22222='+''''+''''-''dxyd f f f f f f f f y y yy x y xyx xx由条件0)(2)(22='''+''''-'''x yy xy y x xxy f f f f f f f 得022=dxyd ,所以C y x f =),(为一直线.17.已知锐角ABC ∆,若取点),(y x P ,令||||||),(CP BP AP y x f ++=.证明:在),(y x f 取极值的点0P 处矢量0P 0B P 0C P 所夹的角相等.18.若可微函数),(y x f 对任意t y x ,,满足),(),(2y x f t ty tx f =,)2,2,1(0-P 是曲面),(y x f z =上的一点,且4)2,1(=-'x f ,求曲面在0P 处的切平面方程.19.可微函数),(y x f 满足),(),(y x tf ty tx f =,)2,2,1(0-P 是曲面),(y x f z =上的一点,且4)2,1(=-'x f ,求曲面z 在0P 处的切平面方程.20.若)(x f ''不变号，且曲线)(x f y =在点)1,1(处的曲率圆为222=+y x 则函数)(x f在区间)2,1(内(A)有极值点，无零点. (B)无极值点，有零点. (C)有极值点，有零点. (D)无极值点，无零点. 21.求两直线⎩⎨⎧=+=⎩⎨⎧+==xz x y L x z xy L 3:,12:21之间的最短距离. 22..轴旋转的旋转曲面方程绕111101线z z y x -=-=-求直 23.证明:旋转曲面()22y xf z += (f 可微且0≠'f )的法线与旋转轴的相交.24.设直线⎩⎨⎧=--+=++030:z ay x b y x l 在平面π上,而平面π与曲面22y x z +=相切于点)5,2,1(-,求b a ,的值.25设锥面顶点在原点,准线为⎩⎨⎧==+1422x z y ,求锥面方程.26.求直线11111:--==-z y x l 在平面12:=+-z y x π上的投影直线0l 的方程,确定0l 绕Oy 轴旋转一周所成的曲面方程.27.求曲线⎩⎨⎧<==++)|(|:2222a C C y a z y x c 关于平面0:=++z y x π的投影柱面及投影曲线方程.28.求过两球面的交线⎩⎨⎧=-++-=++1)1()1(5:222222z y x z y x L 的正圆柱面方程. 解： ⎩⎨⎧=+=++35:222z x z y x L ，两球心的连线方程⎩⎨⎧==⇒==0101y z x zy x ，L 的圆心坐标33(,0,)22O ，在L 上任取一点)1,0,2(0M ，圆L 的半径22||0==OM R 。

过L 的圆心O 与3=+z x 垂直的直线方程的方向矢量{}1,0,1=S设),,(z y x M 为正圆柱面上任意一点，则22||||=⨯S S OM{}1)(2||,,22=-+=⨯⇒-=⨯z x y S y z x y S所以正圆柱面方程为1)(222=-+z x y .29.由椭球面1222222=++cz b y a x 的中心)0,0,0(O 引三条相互垂直的射线,分别交曲面于321,,M M M 三点,设11||r OM =,22||r OM =,33||r OM =. 证明:232221111r r r ++ 222111cb a ++=. 证 由条件可设{cos ,cos ,cos }i i i i i OM r αβγ=，1,2,3i =。

以i OM 为新的坐标轴，原点不变，则111112221133311cos cos cos cos cos cos cos cos cos x x x y y A y z z z αβγαβγαβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 其中A 为正交矩阵，从而TAA E =，故222222123123cos cos cos cos cos cos αααβββ++=++222123cos cos cos 1γγγ=++=将i M 的坐标代入椭球面方程：222222222cos cos cos 1i i i i i ir r r a b cαβγ++=， 由此推出 2222222222cos cos cos 1i i i i i ii r r r r a b cαβγ=++，相加可得结论。

30.已知某柱面的准线为抛物线⎩⎨⎧==,02z x y 且母线的方向数为p n m ,,. 求此柱面方程.31.求球心在直线124824-=-+=-z y x 上且过点)6,3,2(-与)2,3,6(-的球面方程. -------------------------------------B1设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数，且满足等式2222241250u u ux x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂.确定a ，b 的值，使等式在变换x a y ξ=+，x by η=+下简化为20uξη∂=∂∂。

B2设)(xy f u =满足22)12(222y x e y x yx u+=∂∂∂，求)(xy f u =，其中)(t f 当0≠t 时有二阶连续导数。

B3设半径为)2(<a 的球面∑的球心在定球面1222=++z y x 上。

问当a 取何值时，球面∑在定球面内部的那部分面积最大。

B4将周长为P 2的矩形绕它的一边旋转构成一圆柱体，问矩形的边长各为多少时圆柱体的体积最大.B5求在已知底半径为R ，高为H 的直圆锥内嵌入的最大体积的直角平行六面体及其体积。

B6 求直线t z y t x 2,1,===绕x 轴旋转的曲面方程（直角坐标形式）。

B7设),(y x f 是定义在122≤+y x 上且具有连续的偏导数的实函数，且|(,)|1f x y ≤。

证明在单位圆内存在一点),(00y x ，使得16)],([)],([22≤'+'y x f y x f y x . B8设()u ϕ为可微函数，证明由方程 222()ax by cz x y z ϕ++=++ （*）所确定的函数(,)z z x y =满足方程()()x y cy bz z az cx z bx ay -+-=-，其中a 、b 、c 为常数，并说明曲面（*）的几何特点。