第八讲 多元函数积分学知识点
一、二重积分的概念、性质
1、 ∑⎰⎰=→∆=n i i i i d D f dxdy y x f 1
0),(lim ),(δηξ ，几何意义：代表由),(y x f ，D 围成的曲顶柱体体积。

2、性质：
（1）=⎰⎰D dxdy y x kf ),(⎰⎰D
dxdy y x f k ),(
（2）[]⎰⎰+D dxdy y x g y x f ),(),(=
⎰⎰D dxdy y x f ),(+⎰⎰D
dxdy y x g ),( （3）、D d x d y D
=⎰⎰
（4）21D D D +=,⎰⎰D dxdy y x f ),(=⎰⎰1),(D dxdy y x f +⎰⎰2
),(D dxdy y x f
(5)若),(),(y x g y x f ≤，则≤⎰⎰D dxdy y x f ),(⎰⎰D
dxdy y x g ),(
（6）若,),(M y x f m ≤≤则MD dxdy y x f mD D
≤≤⎰⎰),(
(7)设),(y x f 在区域D 上连续，则至少存在一点D ∈),(ηξ，使=⎰⎰D
dxdy y x f ),(D f ),(ηξ
二、计算
（1） D:)()(,21x y x b x a ϑϑ≤≤≤≤
⎰⎰⎰⎰=)
()(21),(),(x x b a D dy y x f dx dxdy y x f ϑϑ
（2） D ：)()(,21y x y d y c ϕϕ≤≤≤≤，
⎰⎰⎰⎰=)
()(21),(),(x x d c D dy y x f dy dxdy y x f ϑϕ
技巧：“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和
垂直线的方法确定另一个变量的范围
（3）极坐标下：θθθrdrd dxdy r y r x ===,sin ,cos
⎰⎰⎰⎰=)
(0)sin ,cos (
),(θβαθθθr D rdr r r f d dxdy y x f
三、曲线积分
1、第一型曲线积分的计算
（1）若积分路径为L ：b x a x y ≤≤=),(φ，则
⎰L ds y x f ),(=dx x x x f b
a ⎰'+2))((1))(,(φφ
（2）若积分路径为L ：d y c y x ≤≤=),(ϕ，则
⎰L ds y x f ),(=dy y y y f d
c ⎰'+2))((1)),((ϕϕ
（3）若积分路为L ：⎩⎨⎧==)()
(t y
t x ϕφ，βα≤≤t ，则
⎰L ds y x f ),(=dt t t t t f ⎰'+'β
αϕφϕφ22))(())(())(),((
2、第二型曲线积分的计算
（1） 若积分路径为L ：)(x y φ=，起点a x =,终点b y =，则
⎰=+L dy y x Q dx y x P ),(),([]dx x x x Q x x P b
a ⎰'+)())(,())(,(φφφ
（2） 若积分路径为L ：)(y x ϕ=，起点c y =，终点d y =，则
⎰=+L dy y x Q dx y x P ),(),([]dy y y Q y y y P d c ⎰+')),(()())),((ϕϕϕ
（3） 若积分路为L ：⎩⎨⎧==)()
(t y
t x ϕφ，起点α=t ，终点β=t ，则
⎰=+L dy y x Q dx y x P ),(),([]dt
t t t Q t t t P ⎰'+'β
αϕϕφφϕφ)())(),(()())(),((。