高等数学下册复习提纲第八章 多元函数微分学本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列):复合函数求导（☆☆☆☆☆）条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆） 无条件极值（☆☆☆☆）曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆）一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算（☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆）1. 多元复合函数高阶导数例 设),,cos ,(sin yx ey x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求xy zx z ∂∂∂∂∂2及.解y x e f x f xz+⋅'+⋅'=∂∂31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f yx zx y z ++++⋅''+-⋅''+'+⋅''+-⋅''=∂∂∂=∂∂∂])sin ([cos ])sin ([33323131222析 1）明确函数的结构(树形图)这里yx ew y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”.2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x yx e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构相同，仍然是yx ey x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为zu vwxx y yy x e f y f yf +⋅''+-⋅''=∂'∂13121)sin (. 所以求导过程中要始终理清函数结构，确保运算不重、不漏.3）f 具有二阶连续偏导数，从而yx zx y z ∂∂∂∂∂∂22,连续，所以y x z x y z ∂∂∂=∂∂∂22. 练 1. 设),,2(22x y x f x z =其中f 具有二阶连续偏导数，求22xz∂∂. 2. 设),sin ()2(22y x y e g y x f z x ++-=其中f 二阶可导，g 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2. 2. 多元函数极值例1. 求函数)2(e ),(22y x y x f yx -=-的极值.解 （1）求驻点.由⎪⎩⎪⎨⎧=---==+-=----0e 4)2(e ),(,0e 2)2(e ),(2222yx y x y yx y x x y y x y x f x y x y x f 得两个驻点 )0,0(，)2,4(--，（2）求),(y x f 的二阶偏导数)242(e ),(22++-=-x y x y x f y x xx ，)422(e ),(22y x x y y x f y x xy ---=-，)482(e ),(22-+-=-y y x y x f y x yy ，（3）讨论驻点是否为极值点在)0,0(处，有2=A ，0=B ，4-=C ，082<-=-B AC ，由极值的充分条件知)0,0(不是极值点，0)0,0(=f 不是函数的极值；在)2,4(--处，有2e 6--=A ，2e8-=B ，2e 12--=C ，0e842>=--B AC ，而0<A ，由极值的充分条件知 )2,4(--为极大值点，2e 8)2,4(-=--f 是函数的极大值.析 1）这是二元函数无条件极值问题.2）解题步骤：第一步是求出驻点---一阶偏导数为零的点；第二步求目标函数的二阶导数；第三步求出驻点的判别式2B AC -，判断是否为极值点以及极大极小. 2. 将正数12分成三个正数z y x ,,之和 使得z y x u 23=为最大. 解：令)12(),,(23-+++=z y x z y x z y x F λ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=.12,0,02,0323322z y x y x F yz x F z y x F z y x λλλ 解得唯一驻点)2,4,6(，故最大值为.691224623max =⋅⋅=u析 1）题目是为了熟悉条件极值的求法---拉格朗日乘数法.这里拉格朗日函数也可写成)12(ln ln 2ln 3),,(-+++++=z y x z y x z y x F λ.2）由于目标函数是乘积形式，而其和为常数，可以利用均值不等式62362233342722433327⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⋅≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=z y y x x x z y y x x x z y x 691224276=⋅⋅=.方法较为简单，但没有拉格朗日乘数具有一般性.3. 求函数22y x z +=在圆9)2()2(22≤-+-y x 上的最大值与最小值.解 先求函数在圆内部可能的极值点.令⎩⎨⎧====02,02y z x z yx 解得点)0,0(，而0)0,0(=z .再求函数在圆周上的最值.为此做拉格朗日函数]9)2()2[(),(2222--+-++=y x y x y x F λ，⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+==-+=.9)2()2(,0)2(22,0)2(2222y x y y F x x F y x λλ 解之得)22,22(),225,225(--，而1)22,22(,25)225,225(=--=z z .比较)22,22(),225,225(),0,0(--z z z 三值可知，在圆9)2()2(22≤-+-y x 上函数最大值为25=z ，最小值为0=z .析 1）在闭域上求函数最值只需找出在开区域和边界上的可疑点，最后比较函数值即可.而不需要判断是否为极值点.2）在求方程组的解时，要注意方程的对称性，必要时也可做换元处理，以简化计算. 3）本题在边界上的最值也可考虑写出圆周的参数方程，将问题转化为一元函数的最值问题.练 1. 求y x xy x y x f 12153),(23--+=的极值.2. 证明函数yy ye x e y x f -+=cos )1(),(有无穷多个极大值，但无极小值.3. 在椭球面1222222=++cz b y a x 的第一卦限求一点，使该点的且平面与三坐标面围成的四面体的体积最小.4. 求抛物线2x y =与直线02---y x 之间的距离.3. 偏导数的几何应用例1. 求曲面2132222=++z y x 平行于平面064=++z y x 的切平面方程. 解 令 2132),,(222-++=z y x z y x F ， 曲面在点),,(z y x 处的法向量为)6,4,2(),,(z y x F F F n z y x ==，已知平面的法向量为)6,4,1(1=n ，而切平面与已知平面平行，所以1//n n，从而有664412zy x ==， （1） 又因为点在切面上，应满足曲面方程2132222=++z y x （2）(1)、（2）联立解得切点为)2,2,1(及)2,2,1(---，所以所求切平面方程为：0)2(6)2(4)1(=-+-+-z y x ，或 0)2(6)2(4)1(=+++++z y x .析 1）由于已经给出平面的法向量，关键是求出切点，直接利用平面的点法式方程即可.2） 法向量的求法:由曲面方程0),,(=z y x F 得 ),,(z y x F F F n =. 如果曲面方程为),(y x f z =,那么),(),,(y x f z z y x F -=,或=),,(z y x F z y x f -),(. 对应的法向量就为 )1,,(y x f f n --= 或 )1,,(-=y x f f n.3）注意不要把 1//n n 写成 1n n=，它们的分量是对应成比例而不一定相等，否则将得出错误结论.4）两个平面要独立写出，千万不要用大括号联立.还有就是万万不可把平面方程写成了直线啊.2. 求曲线6222=++z y x ，0=++z y x 在点)1,2,1(0-P 处的切线及法平面方程. 解 曲线方程为⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x ， 取x 为自变量，则y 和z 看作x 的函数，即)(),(x z z x y y ==.那么曲线的切向量))(),(,1(x z x y ''=τ.方程组两边对x 求导，得⎩⎨⎧='++='+'+016222z y z z y y x ， 解得 zy y x z z y x z y --='--=',. 将点)1,2,1(0-P 代入，得切向量为)1,0,1(-=τ.所以曲线在点)1,2,1(0-P 处的切线为110211--=+=-z y x ， 法平面为0)1()1(=---z x .析 1）曲线方程为参数形式⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(t z z t y y t x x 在点),,(0000z y x P 处对应参数为0t ，那么曲线在0P 处的切向量为))(),(),((000t z t y t x '''=τ.由直线的对称式（点向式）方程可得切线方程为)()()(000000t z z z t y y y t x x x '-='-='-， 法平面方程为0))(())(())((000000=-'+-+'-'z z t z y y t y x x t x .2）若曲线方程是一般式(隐函数形式)⎩⎨⎧==0),,(,0),,(z y x G z y x F ， 则，那么曲线在0P 处的切向量为,,P y xy xz z x zz y z y G G F F G G F F G G F F ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=τ. 由于此公式较为复杂，我们经常从z y x ,,三个变量中选取一个作为参数，剩余两个看作其函数例题中的解法就是如此.练 1. 设曲线⎩⎨⎧==+0,122322z y x 绕y 轴旋转一周得到一旋转曲面，求该曲面在点)2,3,0(指向外侧的单位法向量.2. 求椭球面2132222=++z y x 上某点M 处的切平面π的方程，使π过已知直线2121326:--=-=-z y x L . 3. 在曲线 32,x z x y ==上求点，使该点处的切线平行于平面42=++z y x .4. 求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++04532,03222z y x x z y x 在点)1,1,1(处的切线方程.4. 隐函数(组)导数例1. 设 0e 2e=+---z xyz ，求xz ∂∂ ，y z ∂∂.解 方程两端对x 求偏导数，得0e 2)(e=∂∂⋅-∂∂----x z x z y z xy即 xz ∂∂=zxy y --+-e 2e ； 方程两端对y 求偏导数，得0e 2)(e=∂∂⋅-∂∂----y z y z x z xy即 y z ∂∂=zxy x --+-e2e . 析 当然题目也可用公式法求隐函数的偏导数，那是将),,(z y x F 看成是三个自变量x ，y ，z 的函数，即x ，y ，z 处于同等地位. 方程两边对x 求偏导数时，x ，y 是自变量，z 是x ，y 的函数，它们的地位是不同的.2. 设 ⎩⎨⎧=+-+-=--+01,0222xy v u y x v u ，求y v x v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂,,,. 解 方程组两端对x 求导，得⎩⎨⎧=-+-=-+.0,0222y v u x vv uu x x x x 即⎩⎨⎧=+-=+y v u x vv uu x x x x ,222 则 v u yv x v u y vx xu +-=-=∂∂1122122，vu yux v u yxu x v ++=--=∂∂1122122. 同样方程组两端对y 求导，得v u xv y u 2221+-=∂∂, vu xu y v 2221++=∂∂. 析 1) 方程组确定的隐函数个数等于方程的个数,而每个函数自变量的个数为“方程组中所有变量个数”减“方程的个数”.2) 大家解线性方程组时可以用代入法或直接使用求解公式.练1. 设方程xyz e z=确定隐函数()y x f z ,=，求x z ∂∂和22yz∂∂.2. 设函数 ()y x f z ,=由方程0),(=++x z y y z x F 确定,求x z∂∂和xy z ∂∂∂2.3. 设 ),(t x f y =,而),(y t x x =是由方程0),,(=t y x F 所确定的函数,其中F f ,都具有一阶连续偏导数.求tx d d . 4. 设 ⎩⎨⎧-=+=),,(),,(2y v x u g v y v xu f u ，,其中g f ,都具有一阶连续偏导数.求 y u ∂∂，和y v∂∂. 5. 偏导数及全微分例1. 设)2(ln 22y x y x z -=，求 x z ∂∂，y z ∂∂.解 x z ∂∂)2(2)2(ln 2222y x y x y x y x -+-=， =∂∂y z )2()2(ln 32222y x y x y x y x ----. 析 1) 利用一元函数求导即可.对其中变量求导,其余的自变量都看作常数. 2) 也可利用多元复合函数求导公式求导. 2. 已知)ln(e),(23sin xy x y x f xy +⋅=，求 )0,1(x f .解 )0,(x f x ln 3=.于是xx f x 3)0,(=，3)0,1(=x f . 析 1) 此类题目“先代后求”,或“先求后代”.对于确定一点的一般选后一种方法. 2) 另外分段函数在分界点处要用偏导数定义来求. 3. 设)ln(22y x z +=，求11d x y z==解 设 u y x =+22，则 u z ln =，所以d 12d z z u x x u x u∂∂==⋅∂∂，d 12d z z u y y u y u ∂∂==⋅∂∂， 从而 11d x y z===1111d d x x y y z z x y xy====∂∂+∂∂=d d x y +．练 1. 设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,0,0,),(222222y x y x y x xyy x f ，求(0,0),(0,0)x y f f .2. 求 x y z cosln = 在点)4,1(π处的全微分.3. 求 2sin z u xy e =⋅的全微分.4. 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin )(),(22222222y x y x y x y x y x f 在点)0,0(连续且偏导数存在，但偏导数在)0,0(不连续，而f 在)0,0(可微．6. 方向导数级梯度例 求 32yz xy u += 在)1,1,2(0-P 的梯度及沿)1,2,2(-=l方向的方向导数.解 k zu j y u i x u u ∂∂+∂∂+∂∂=grad , 而2323,2,yz zu z xy y u y x u =∂∂+=∂∂=∂∂ 故 k z u j y u i x u u ∂∂+∂∂+∂∂=grad k yz j z xy i y 2323)2(+++=, 则在)1,1,2(0-P 处的梯度为 k j i u35grad -+=. 又)1,2,2(-=l,故其方向余弦为31cos ,32cos ,32cos -===γβα, 所以 沿l方向的方向导数为38cos cos cos grad 0=∂∂+∂∂+∂∂==∂∂γβαz u y u x u u lul P . 析 1) 熟悉方向导数和梯度概念及求法. 2) 需要注意的是只有在才可用γβαcos cos cos zu y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂求方向导数.如分段函数在分界点常用定义求出方向导数.练 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++++=0,00,),(22222222y x y x y x y x y x y x f求函数在点)0,0(处沿方向)cos ,(cos γα的方向导数．7. 二重极限及累次极限例1. 讨论 2200limy x xyy x +→→ 的收敛性.解 令,kx y =2200limy x xy y x +→→2220lim x k x kx x kxy x +⋅==→,12k k += 其值随k 的不同而变化，故极限不存在． 2. 221lim )sin(lim )sin(lim )sin(lim20202020=⋅=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=→→→→→→→→y xy xy y xy xy x xy y x y x y x y x . 练 1. 讨论二元函数yx y x y x y x f +++-=22),(在点)0,0(的二重极限及两个二次极限. 2. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222242y x y x y x y x y x f 在点)0,0(的连续性.。