(2) lim(1 − x 2 ) x →1
→
=1
=0
(3) lim sin x
x→0
π
2
π
(4) lim sin x π
x→ 2
=0
=1
(5) lim cos x
x→0
(6) lim cos x
x →π
=1
=-1
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总结： 是定义域为D的初等函数， 总结：若函数f(x)是定义域为D的初等函数，且有限点
y= π 2
y = arctan x
y=−
π , 由图形可知 : lim arctan x = x → +∞ 2 发现问题 没有? 没有 π . 同理可知 : lim arctan x = − x → −∞ 2
那 x →∞ ?
π 2
当x→+∞时,函 → 数趋于π 数趋于π/2; 当x→-∞时, → 函数趋于函数趋于-π/2;
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2、当x→∞时,函数 极限存在的充要条件 、 →∞时 函数f(x)极限存在的充要条件 →∞ 函数
定理 1.1 : lim f ( x ) = A 的充分必要条件是
x→∞ x → +∞
lim f ( x ) = lim f ( x ) = A.
x → −∞
1 的极限存在吗？ 思考题： 思考题：lim (1 + ) 的极限存在吗？ x →∞ x
1、 （1） （2）
x → −∞
lim e
x
0
x → +∞
lim e
x
不存在
lim e x 不存在 x →∞
lim(1) x 0 x → +∞ e
lim(1) x 不存在 lim(1) x 不存在 x → −∞ e x →∞ e
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2、 lim cos x lim cos x lim cos x
x → −∞ x → +∞ x →∞
定义 1 在区间（ 有定义， 设函数 f ( x )在区间（ − ∞ , b )有定义，当 x取负值且绝对值无限
义 定 2 义 定 3
a +∞ （ ,+∞) ) （ ∞,+∞ − +∞
正 \
增大时， 增大时，函数 f ( x )无限趋近于 某个确定的常数 A，则常数 A 称 为函数 f ( x ) 当 x → −∞ 时的极限 .
y = x2 + 1
y
lim+ f ( x), lim− f ( x). x →0 x→0 解 分x > 0和x < 0两种情况分别讨论
求
1
o
x
(1)x从 侧 限 近 0, 从 左 无 趋 x
− 记作x → x0 ;
观察可知: 观察可知:
x→x0
lim f (x) = lim(1− x) = 1 − −
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割圆术： 割圆术： “割之弥细，所 割之弥细， 割之弥细 失弥少， 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 体而无所失矣” ——刘徽 刘徽
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割圆术： 割圆术： “割之弥细，所 割之弥细， 割之弥细 失弥少， 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 体而无所失矣” ——刘徽 刘徽
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一、极限概念的引入
1、 求圆的周长问题
我国古代数学家刘徽用割圆术, 我国古代数学家刘徽用割圆术, 初步解决了这个问题。 初步解决了这个问题。
割圆求周长
思路： 思路：利用圆的内接正多边形近似替代圆的周长 随着正多边形边数的增多，近似程度会越好。 随着正多边形边数的增多，近似程度会越好。 问题：若正多边形边数n无限增大， 问题：若正多边形边数n无限增大， 两者之间的关系如何？ 两者之间的关系如何？
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割圆术： 割圆术： “割之弥细，所 割之弥细， 割之弥细 失弥少， 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 体而无所失矣” ——刘徽 刘徽
目录
割圆术： 割圆术： “割之弥细，所 割之弥细， 割之弥细 失弥少， 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 体而无所失矣” ——刘徽 刘徽
极限不存在（发散） 极限不存在（发散）
（非确定常数） 非确定常数）
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三 x →∞时 f (x)的 限 . , 极
由于数列实际上可以看成是定义域为正整数 域的函数, 所以, 域的函数 所以 可望将数列的极限理论推广到 函数中, 并用极限理论研究函数的变化情形. 函数中 并用极限理论研究函数的变化情形
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2. 数列极限的定义
无限增大时, 定义 1.6 如果 n无限增大时,数列 {an} 的通项 an 的值无 限接近一个确定的常数 A,则称 A是数列 {an} 当 n趋向 于无穷大时的极限, 于无穷大时的极限,或者称数列 xn收敛于 A,记为 ,
liman = A,或: an → A(n →∞)
x0 ∈ D
，则极限
x→x0
lim f ( x) = f ( x0 )
如：
x → x0 x → x0
lim C = C lim x =
x0
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3、单侧极限(左极限和右极限) 单侧极限(左极限和右极限) 例 设 f ( x ) = 12− x , x < 0 x + 1, x ≥ 0
y = 1− x
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通过上面演示观察得: 通过上面演示观察得 若正多边形边数n无限增大， 若正多边形边数 无限增大，则 无限增大 限接近于圆的周长。 正多边形周长无 限接近于圆的周长。
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二、数列极限 1、数列极限定义的引入
例
1 1 1 1 1 1, , , , L , , L; an = 2 3 4 n n
1 1 1 a1 = 1, a2 = , a3 = L an = ,L , . 2 3 n 0
1 Q lim (1 + ) = 1 x → −∞ x 1 lim (1 + ) = 1 x → +∞ x
y
.
1 f (x) = 1+ x
x
1
.
o
1 ∴ lim (1 + ) = 1 . x→∞ x
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趋于无穷时极限是否存在. 例：观察下列函数在x趋于无穷时极限是否存在 观察下列函数在 趋于无穷时极限是否存在
1 .函数的极限与 f ( x ) 在点 x 0 是否有定义无关 2 .极限讨论的是函数值 f ( x )随自变量的变化趋势 .
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1.引例 : 观察函数 f1 ( x ) = x + 1, x2 − 1 f2 ( x) = x −1 当 x → 1 时的变化趋势.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
y = f (x)
.
f ( x)
(4) lim f (x) = A⇐⇒ lim f (x) = lim f (x) = A
x→∞ x→+∞ x→−∞
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. , 四 x → x0 时 f (x)的 限 极
x → x0 时函数的 极限, 是描述当 x 无限 接近 x0 时, 函数 f (x)的变化趋 势.
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2、 x→x0 时函数的极限 →
( 3) 1, 2, 3, L n, L
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解：(1). 1 , 1 , 1 , 1 L , 1n ,L; 2 4 8 16 2
1 an = n 2
1 1 1 1 a1 = , a2 = , a3 = ,L an = ,L , . 2 4 8 n 0
L
1 8
1 4
1 2
1
n →∞,
1 → n 2
0
数列对应着数轴上一个点列. 解：数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取
L
1 1 4 3
1 2
1
对于“无限接近”这种变化趋势，我们给出下面的数学定义： 对于“无限接近”这种变化趋势，我们给出下面的数学定义：
1 通过上面演示观察得: 通过上面演示观察得: 当 n 无限增大时 , an = 无限接近于 0. n
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割圆术： 割圆术： “割之弥细，所 割之弥细， 割之弥细 失弥少， 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 体而无所失矣” ——刘徽 刘徽
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割圆术： 割圆术： “割之弥细，所 割之弥细， 割之弥细 失弥少， 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 体而无所失矣” ——刘徽 刘徽
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§1.2 极 限 学习要求 1.理解极限的概念； 1.理解极限的概念；熟练掌握基本初等函数在 理解极限的概念 自变量的某个过程中的极限。 自变量的某个过程中的极限。 2.掌握函数在一点极限存在的充要条件， 2.掌握函数在一点极限存在的充要条件，会求 掌握函数在一点极限存在的充要条件 分段函数在分段点的极限。 分段函数在分段点的极限。
x →+∞ x →∞ x , 记作 lim f ( x) = A或 →−∞ f ( x) → A
x→−∞
x , 记作 lim f ( x) = A或 →+∞ f ( x) → A
x→+∞
x 记作 lim f ( x) = A或 →∞, f (x) → A
x→∞
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例
根据图形写出反正切函 数当 x → +∞ 、 x → −∞ 时的极限 .
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讨 在 论 x → x0 这 极 过 时 我 不 类 限 程 , 们
必 虑 f (x) 在x = x0有 定 ,只 虑 x 无 考 无 义 考 限
, 接近 x0 时 函数 f ( x) 的变化趋 即 。 势 可
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例：观察并求出下列极限
(1) lim(1 − x )