∴ e= =
9． （2012 年江苏省 5 分）如图，在矩形 ABCD 中， AB = 2 ， BC = 2 ，点 E 为 BC 的中点，
��� � ���� ��� � ��� � 点 F 在边 CD 上，若 AB i AF = 2 ，则 AE i BF 的值是 ▲
．
【答案】 2 。 【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。
f ( x ) < c 的解集为 (m ， m + 6) ，则实数 c 的值为 ▲ ．
【答案】9。 【考点】函数的值域，不等式的解集。 【解析】由值域为 [0 ， + ∞) ，当 x 2 + ax + b =0 时有 V= a 2 − 4b = 0 ，即 b =
2
a2 ， 4
∴ f ( x ) = x 2 + ax + b = x 2 + ax +
3 。 5
【考点】等比数列，概率。
【解析】∵以 1 为首项， −3 为公比的等比数列的 10 个数为 1，－3，9，-27，···其中有 5 个 负数，1 个正数 1 计 6 个数小于 8， ∴从这 10 个数中随机抽取一个数，它小于 8 的概率是
6 3 = 。 10 5
（2012 年江苏省 5 分）如图，在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中， AB = AD = 3cm ， AA1 = 2cm ， 7． 则四棱锥 A − BB1 D1 D 的体积为 ▲ cm3．
3 =15 知应从高二年级抽取 15 名学生。 3+ 3+ 4 11 − 7i （2012 年江苏省 5 分） 设 a， （i 为虚数单位） ， 则 a + b 的值为 ▲ ． 3． b ∈ R ， a + bi = 1 − 2i
由 50 × 【答案】8。 【考点】复数的运算和复数的概念。 【分 析】 由 a + bi =
a
a
c=9。
14． （2012 年江苏省 5 分）已知正数 a ， b， c 满足： 5c − 3a ≤ b ≤ 4c − a ， c ln b ≥ a + c ln c ，则 的取值范围是 ▲ ． 【答案】 [ e， 7] 。 【考点】可行域。 【解析】条件 5c − 3a ≤ b ≤ 4c − a ， c ln b ≥ a + c ln c 可化为：
k 2 − 5k + 4
0 0 －2 －2 0 4
(
⎧x > 0 ⎧x > 0 ⎧x > 0 ⎪ ⎪ ⇒ ⇒ ⇒ 0< x ≤ 6 。 1 ⎨ ⎨ 1 ⎨ 2 ⎩1 − 2log 6 x ≥ 0 ⎪log 6 x ≤ ⎪ 2 ⎩x ≤ 6 = 6 ⎩
6． （2012 年江苏省 5 分）现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项， −3 为公比的等比数 列，若从这 10 个数中随机抽取一个数，则它小于 8 的概率是 ▲ 【答案】 ．
则 a + 3b 的值为 ▲ 【答案】 −10 。 【考点】周期函数的性质。 【解析】∵ f ( x ) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，∴ f ( −1) = f (1) ，即 −a + 1= ．
b+2 ①。 2
1 ⎛3⎞ ⎛ 1⎞ 又∵ f ⎜ ⎟ = f ⎜ − ⎟ = − a + 1 ， 2 ⎝2⎠ ⎝ 2⎠ 1 b+4 ∴ − a + 1= ②。 2 3
作出（ x，y ）所在平面区域（如图） 。求出 y =e x 的切 线的斜率 e ，设过切点 P ( x0，y0 ) 的切线为 y =ex + m ( m ≥ 0 ) ， 则
y0 ex0 + m m ，要使它最小，须 m=0 。 = =e + x0 x0 x0 y 的最小值在 P ( x0，y0 ) 处，为 e 。此时，点 P ( x0，y0 ) 在 y =e x 上 A, B 之间。 x
【答案】6。 【考点】正方形的性质，棱锥的体积。 【解析】 ∵长方体底面 ABCD 是正方形， ∴△ ABD 中 BD =3 2 cm， BD 边上的高是 （它也是 A − BB1 D1 D 中 BB1 D1 D 上的高） 。
3 2 cm 2
1 3 ∴四棱锥 A − BB1 D1 D 的体积为 × 3 2 × 2 × 2=6 。由 3 2
∴ sin(2a +
π π π π⎞ π π⎞ π ⎛ ⎛ )= sin(2a + − )= sin ⎜ 2a + ⎟ cos − cos ⎜ 2a + ⎟ sin 12 3 4 3⎠ 4 3⎠ 4 ⎝ ⎝
= 24 2 7 2 17 i − i = 2。 25 2 25 2 50
（2012 年江苏省 5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x 2 + y 2 − 8 x + 15 = 0 ，若 12． 直线 y = kx − 2 上至少存在一点， 使得以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆 C 有公共点， 则 k 的最大值是 ▲ 【答案】 ．
【答案】
．
17 2。 50
【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。 【解析】∵ α 为锐角，即 0 < α <
π π π π π 2π ，∴ < α + < + = 。 2 6 6 2 6 3
π⎞ 4 π⎞ 3 ⎛ ⎛ ∵ cos ⎜ α + ⎟ = ，∴ sin ⎜ α + ⎟ = 。 6⎠ 5 6⎠ 5 ⎝ ⎝ π⎞ π⎞ π⎞ 3 4 24 ⎛ ⎛ ⎛ ∴ sin ⎜ 2α + ⎟ = 2sin ⎜ α + ⎟ cos ⎜ α + ⎟ =2i i = 。 3 6 6 5 5 25 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ π⎞ 7 ⎛ ∴ cos ⎜ 2α + ⎟ = 。 3 ⎠ 25 ⎝
4 。 3
【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离 【解析】∵圆 C 的方程可化为： ( x − 4 ) + y 2 = 1 ，∴圆 C 的圆心为 (4, 0) ，半径为 1。 ∵由题意，直线 y = kx − 2 上至少存在一点 A( x0 , kx0 − 2) ，以该点为圆心，1 为半径 的圆与圆 C 有 公共点；
2
a2 ⎛ a⎞ =⎜x + ⎟ 。 4 ⎝ 2⎠
a⎞ a a a ⎛ ∴ f ( x ) = ⎜ x + ⎟ < c 解得 − c < x + < c ， − c − < x < c − 。 2 2 2 2⎠ ⎝
∵不等式 f ( x ) < c 的解集为 (m ， m + 6) ，∴ ( c − ) − (− c − ) = 2 c = 6 ，解得 2 2
2
∴存在 x0 ∈ R ，使得 AC ≤ 1 + 1 成立，即 ACmin ≤ 2 。 ∵ ACmin 即 为 点 C 到 直线 y = kx − 2 的距离
4k − 2
，∴
4k − 2
k 2 +1
k 2 +1
≤ 2 ，解得
0≤k ≤
4 。 3
∴ k 的最大值是
4 。 3
（2012 年江苏省 5 分）已知函数 f ( x ) = x 2 + ax + b(a ， 13． b ∈ R )ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的值域为 [0 ， + ∞) ，若关于 x 的不等式
2 年江苏省 5 分） （201 在平面直角坐标系 xOy 中， 若双曲线 8． 2012 则 m 的值为 ▲ ． 【答案】2。 【考点】双曲线的性质。 【解析】由
x2 y2 − 2 = 1 的离心率为 5 ， m m +4
x2 y2 − 2 = 1 得 a = m，b = m 2 + 4，c = m + m 2 + 4 。 m m +4 c a m + m2 + 4 = 5 ，即 m2 − 4m + 4=0 ，解得 m=2 。 m
又∵ BC = 2 ， 点 E 为 BC 的中点，∴ BE = 1 。
��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ∴ AE i BF = AE i BF icos θ = AE i BF icos (α + β ) = AE i BF i( cos α cos β − sin α sin β ) ��� � ��� � ��� � ��� � = AE cosα i BF icos β − AE sinα i BF sin β =BE iBC − ABiCF = 1× 2 − 2
【答案】5。 【考点】程序框图。 【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表： 是否继续循环 循环前 第一圈 第二圈 第三圈 第四圈 第五圈 第六圈 ∴最终输出结果 k=5。 5． （2012 年江苏省 5 分）函数 f ( x ) = 1 − 2 log 6 x 的定义域为 ▲ ． 【答案】 0， 6 ⎤ 。 ⎦ 【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得 是 是 是 是 是 否 k 0 1 2 3 4 5 输出 5
��� � ���� ��� � ���� 【解析】由 AB i AF = 2 ，得 AB i AF icos ∠FAB = 2 ，由矩形的性质，得 ���� AF icos ∠FAB =DF 。
∵ AB = 2 ，∴ 2 i DF = 2 ，∴ DF = 1 。∴ CF = 2 − 1 。
��� � ��� � 记 AE 和BF 之间的夹角为 θ，∠AEB = α , ∠FBC = β ，则 θ = α + β 。