二、平面向量的数量积的运算律：
数量积的运算律：
(1)a b b a (2)(a ) b (a b ) a (b ) (3)( a b ) c a c b c 其中， a、b 、c是任意三个向量， R
∴ a· b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° =2
b
O
B
θ |b|cosθ B1 a
A
的长度 | a |与 b 在a方向上的投影 a b 等于 a
| b | cos 的乘积。
练习： 1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0． √
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0． × 3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 × × 4．若a · b=0，则a ·b中至少有一个为0． 5．若a≠0，a ·b= b ·c，则a=c × 6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a=0 × 时成立． 2 2 7．对任意向量 a 有 a | a | √
a· b=|a| |b| cosθ
|a| cosθ（|b| cosθ）叫 做向量a在b方向上（向 量b在a方向上）的投影。 规定:零向量与任一向量的数量积为0。
向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？
a· b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ ＜ 90°时a· b为正； 当90°＜θ ≤180°时a· b为负。 当θ =90°时a· b为零。
是非零向量， e 是与b 方向相同的 设 a、b 单位向量， 是a与e 的夹角，则 ( 1 ) e a a e | a | cos a b | a || b | cos
B (3)当a与b 同向时，a b | a || b |; b θ A O B1 a 当a与b 反向时，a b | a || b |; 2 2 特别地 a a | a | 或 | a | a a a a b (4) cos ( 5 ) | a b | | a || b | | a || b |
3、用向量方法证明：直径所对的圆周 角为直角。
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量AC 例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a· b＋b2； （2）(a＋b)· (a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)· (a＋b) ＝(a＋b)· a＋(a＋b)· b ＝a· a＋b· a＋a· b＋b· b ＝a2＋2a· b＋b2.
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a· b＋b2； （2）(a＋b)· (a－b)＝a2－b2. 证明：（2）(a＋b)· (a－b)＝(a＋b)· a－(a＋b)· b ＝a· a＋b· a－ a · b－b· b
设a,b为任意向量，λ,μ为 任意实数，则有： ① λ(μa)=(λμ) a ② (λ+μ) a=λa+μa
③ λ(a+b)=λa+λb
已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°） 叫做向量a与b的夹角。
B
θ
O
A
当θ＝0°时，a与b同向；
O
A
B
B
当θ＝180°时，a与b反向； A 当θ＝90°时，称a与b垂直，
注： (a b ) c a (b c )
证明运算律(3)
向量a、b、a + b b 在c上的射影的数量 a a+b 分别是OM、MN、 ON, 则 M O (a + b) · c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a· c + b· c.
记为a⊥b.
O
B
b O a A
我们学过功的概念，即一个物体在力F 的作用下产生位移s（如图）
F
θ
S
力F所做的功W可用下式计算
W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量 “数量积”的概念。
已知两个非零向量a与b，它们的 夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积（或内积），记作a· b
(2)a b a b 0
例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a·b。
解：a· b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120°
=5×4×（-1/2）= －10
例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a· b。
解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
＝a2－b2.
例4、 已知 | a | 6, | b | 4,a 与b 的夹角为 60o , 求（a 2b ) (a 3b ) 。
解:
例5.已知 | a | 3,| b | 4,当且仅当k为何值时， 向量a kb与a kb 互相垂直？
作业：
1、若 | a || b | 1, a b 且2a 3b 与ka 4b 也 互相垂直，求k的值。 2、设a是非零向量，且b c , 求证： a b a c a (b c )
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其 含义
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、 夹角
一般地，实数λ与向量a 的积是一个向 量，记作λa，它的长度和方向规定如下： (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa 的方向与a方向相同； 当λ<0时,λa 的方向与a方向相反；
特别地，当λ=0或a=0时, λa=0