高三上期末考试数学试题分类汇编数列一、填空、选择题1、（宝山区2019届高三）如果无穷等比数列{}n a 所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则 公比q =2、（崇明区2019届高三）已知数列{}n a 满足：①10a =；②对任意的n ∈*N ，都有1n n a a +>成立. 函数1()|sin ()|n n f x x a n=-，1[,]n n x a a +∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m = 总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是3、（奉贤区2019届高三）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim 3n n n n nS a S a →∞-<+，则q的取值范围 是（ ）A. (0,1)B. (2,)+∞C. (0,1](2,)+∞ D. (0,2)4、（虹口区2019届高三）已知7个实数1、2-、4、a 、b 、c 、d 依次构成等比数列，若成这7个数中任取2个，则它们的和为正数的概率为5、（金山区2019届高三）无穷等比数列{}n a 各项和S 的值为2，公比0q <，则首项1a 的取值范围是6、（浦东新区2019届高三）已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S . 若936S =，则348a a a ++=7、（普陀区2019届高三）某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2010年每月的基础工资为2100元，绩效工资为2000元，从2011年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%， 照此推算，此人2019年的年薪为 万元（结果精确到0.1）8、（青浦区2019届高三）已知无穷等比数列{}n a 各项的和为4，则首项1a 的取值范围是 9、（松江区2019届高三）已知等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++=10、（徐汇区2019届高三）若数列{}n a 的通项公式为*2()111n na n N n n=∈+，则lim n n a →∞=___________.11、（杨浦区2019届高三）在无穷等比数列{}n a 中，121lim()2n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=，则1a 的取值范围 是12、（长宁区2019届高三） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n n a a ++=，若数列{}n S 收敛于常数A ，则首项1a 取值的集合为13、（闵行区2019届高三）等比数列{}n a 中，121a a +=，5616a a +=，则910a a += 14、（闵行区2019届高三）若无穷数列{}n a 满足：10a ≥，当n ∈*N ，2n ≥时，1121||max{,,,}n n n a a a a a ---=⋅⋅⋅（其中121max{,,,}n a a a -⋅⋅⋅表示121,,,n a a a -⋅⋅⋅中的最大项），有以下结论：① 若数列{}n a 是常数列，则0n a =（n ∈*N ）； ② 若数列{}n a 是公差0d ≠的等差数列，则0d <； ③ 若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则1q >；④ 若存在正整数T ，对任意n ∈*N ，都有n T n a a +=，则1a 是数列{}n a 的最大项. 则其中的正确结论是 （写出所有正确结论的序号）参考答案一、填空、选择题1、32-2、(1)2n n n a π-= 3、B 4、47 5、(2,4) 6、127、10.4 8、(0,4)(4,8) 9、12 10、－1 11、11(0,)(,1)2212、⎭⎬⎫⎩⎨⎧31 13、256 14、①②③④二、解答题1、（宝山区2019届高三）如果数列{}n a 对于任意*n N ∈，都有2n n a a d +-=，其中d 为常数，则称数列{}n a 是“间等差数列”，d 为“间公差”．若数列{}n a 满足1235n n a a n ++=-，*n N ∈，()1a a a R =∈．（1）求证：数列{}n a 是“间等差数列”，并求间公差d ；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若n S 的最小值为153-，求实数a 的取值范围； （3）类似地：非零．．数列{}n b 对于任意*n N ∈，都有2n nb q b +=，其中q 为常数，则称数列{}n b 是“间等比数列”，q 为“间公比”。

已知数列{}nc 中，满足()10,c k k k Z =≠∈，11120182n n n c c -+⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，*n N ∈，试问数列{}n c 是否为“间等比数列”，若是，求最大的整数．．．．．k 使得对于任意*n N ∈，都有1n n c c +>；若不是，说明理由．2、（崇明区2019届高三）已知数列{}n a 、{}n b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和，11n n n a b S +=+（n ∈*N ）.（1）若11a =，2n nb =，求4a 的值； （2）若{}n a 是公比为q （1q ≠）的等比数列，求证：数列1{}1n b q+-为等比数列； （3）若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：2a 、3a 、⋅⋅⋅、n a 、⋅⋅⋅ 成等差数列的充要条件是12d =. 3、（奉贤区2019届高三）若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，则称数列{}n a 是“回归数列”.（1）前n 项和为2nn S =的数列{}n a 是否是“回归数列”？并请说明理由；（2）设{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“回归数列”，求d 的值； （3）是否对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“回归数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+ （n ∈*N ）成立，请给出你的结论，并说明理由.4、（虹口区2019届高三）对于n ()n ∈*N 个实数构成的集合12{,,}n E e e e =，记12E n S e e e =+++.已知由n ()n ∈*N 个正整数构成的集合12{,,,}n A a a a =12(,3)n a a a n <<<≥满足：对于任意 不大于A S 的正整数m ，均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m . （1）试求1a 、2a 的值；（2）求证：“1a 、2a 、、n a 成等差数列”的充要条件是“1(1)2A S n n =+”；（3）若2018A S =，求证：n 的最小值为11；并求n 取得最小值时，n a 的最大值.5、（金山区2019届高三）在等差数列{}n a 中，13515a a a ++=，611a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意m ∈*N ，将数列{}n a 中落入区间121(2,2)m m ++内的项的个数记为{}m b ，记数列{}m b 的前m 项和为m S ，求使得2018m S >的最小整数m ；（3）若n ∈*N ，使不等式1111(21)n n n n a n a a a λ+++≤+≤+成立，求实数λ的取值范围.6、（浦东新区2019届高三）已知平面直角坐标系xOy ，在x 轴的正半轴上，依次取点123,,,,nA A A A （n ∈*N ），并在第一象限内的抛物线232y x =上依次取点123,,,,n B B B B （n ∈*N ），使得1k k k A B A -△ （k ∈*N ）都为等边三角形，其中0A 为坐标原点，设第n 个三角形的边长为()f n . （1）求(1)f ，(2)f ，并猜想()f n ；（不要求证明）（2）令9()8n a f n =-，记m t 为数列{}n a 中落在区间2(9,9)m m 内的项的个数，设数列{}m t 的前m 项和为m S ，试问是否存在实数λ，使得2m S λ≤对任意m ∈*N 恒成立？若存在， 求出λ的取值范围；若不存在，说明理由； （3）已知数列{}n b满足：1b =，1n b +=，数列{}n c 满足： 11c =，1n nc +=1()2n n n b f c π+<<.7、（普陀区2019届高三）设数列{}n a 满足135a =，132n n n a a a +=+（n ∈*N ）.（1）求2a 、3a 的值； （2）求证：1{1}n a -是等比数列，并求12111lim()n n n a a a →∞++⋅⋅⋅+-的值；（3）记{}n a 的前n 项和为n S ，是否存在正整数k ，使得对于任意的n （n ∈*N 且2n ≥）均有n S k ≥成立？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.8、（青浦区2019届高三）若存在常数k （k ∈*N ，2k ≥）、c 、d ，使得无穷数列{}n a 满足1n n nn a d ka n ca k +⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩**N N ，则称数列{}n a 为“Γ数列”，已知数列{}n b 为“Γ数列”.（1）若数列{}n b 中，11b =，3k =，4d =，0c =，试求2019b 的值；（2）若数列{}n b 中，12b =，4k =，2d =，1c =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若不 等式43n n S λ≤⋅对n ∈*N 恒成立，求实数λ的取值范围；（3）若{}n b 为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{}n b ，并说明理由.9、（松江区2019届高三）对于给定数列{}n a ，若数列{}n b 满足：对任意n ∈*N ，都有11()()0n n n n a b a b ++--<，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“相伴数列”.（1）若n n n b a c =+，且数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列”，试写出{}n c 的一个通项公式，并说明理由；（2）设21n a n =-，证明：不存在等差数列{}n b ，使得数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列”； （3）设12n n a -=，1n n b b q -=⋅（其中0q <），若{}n b 是{}n a 的“相伴数列”，试分析实数b 、q 的取值应满足的条件.10、（徐汇区2019届高三）已知项数为0n 0(4)n ≥项的有穷数列{}n a ，若同时满足以下三个条件：①011,n a a m ==(m 为正整数)；②10i i a a --=或1，其中02,3,,i n =…；③任取数列{}n a 中的两项,()p q a a p q ≠，剩下的02n -项中一定存在两项,()s t a a s t ≠，满足p q s t a a a a +=+. 则称数列{}n a 为Ω数列.（1）若数列{}n a 是首项为1，公差为1，项数为6项的等差数列，判断数列{}n a 是否是Ω数列，并说明理由；（2）当3m =时，设Ω数列{}n a 中1出现1d 次，2出现2d 次，3出现3d 次，其中*123,,d d d N ∈，求证：1234,2,4d d d ≥≥≥；（3）当2019m =时，求Ω数列{}n a 中项数0n 的最小值.11、（杨浦区2019届高三）记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，n ∈*N .（1）若2cos2n n n a π=+，请写出3b 的值； （2）求证：“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等差数列”的充要条件；（3）若对任意n ，有||2018n a <，且||1n b =，请问：是否存在K ∈*N ，使得对于任意不小于K 的正整数n ，有1n n b b +=成立？请说明理由.12、（长宁区2019届高三）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2a a =. （1）若数列{}n a 是等差数列，且815a =，求实数a 的值；（2）若数列{}n a 满足22n n a a +-=（n *∈N ），且191019S a =，求证：{}n a 是等差数列； （3）设数列{}n a 是等比数列，试探究当正实数a 满足什么条件时，数列{}n a 具有如下性质M ：对于任意的2n ≥（n *∈N ），都存在m *∈N ，使得1()()0m n m n S a S a +--<，写出你的探究过程，并求出满足条件的正实数a 的集合. 13、（闵行区2019届高三）参考答案二、解答题1、解：（1）由1235n n a a n ++=-得12233n n a a n +++=-，……………………2分 作差得22n n a a d +-==，………………………………………………………3分 即数列{}n a 是“间等差数列”，间公差2d =.…………………………………4分（2）由（1）得{}{}212,n n a a -分别以12,33a a a a ==--为首项，公差为2的等差数列，因此，()()21122212221235k ka a k k a a a k k a -=+-=-+⎧⎪⎨=+-=--⎪⎩所以()*121352n n a n k a k N n a n k +- =-⎧=∈⎨-- =⎩，，，，……………………………………6分 又1235n n a a n ++=-，所以，当n 为偶数时，()()()2123413323735222n n n n n n nS a a a a a a --+--=+++++=⨯=， 当18n =时，n S 最小值为18153S =-.……………………………7分当n 为奇数，()()()123421n n n n S a a a a a a a --=++++++233239135117222n n n nn a a -+---=⨯++-=++，…………8分当17n =时，n S 最小值为17136S a =-+，因为n S 的最小值为153-， 因此只需13615317a a -+≥-⇒≥-. ………………………10分（3）由11120182n n n c c -+⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭得12120182nn n c c ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭………………………11分作比得，212n n c c +=，所以数列{}n c 是“间等比数列”. ………………13分 由212n n c c +=得{}{}212,n n c c -分别以122018,c k c k ==为首项，公比为12的等比数列， 又1n n c c +>，所以123c c c >>>，又因为13524624,24c c c c c c ======，所以，由1230k c c c >⎧⎨>>⎩得20182kk k >>，……………………………………16分k <<即最大的整数．．．．．63k =． …………………………………………………………18分 2、解：（1）由11,2n na b ==，知2344,6,8a a a ===.………………………4分 （2）因为11n n n a b S +=+①， 所以当2n ≥时，111n n n a b S --=+②， ①-②得，当2n ≥时，11n n n n n a b a b a +--=③， 所以111111n n n n n n n a a b b b a a q q--++=+=+，………………………3分 所以111111n n b b q q q -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，………………………5分 又因为101n b q+≠-（否则{}n b 为常数数列与题意不符）， 所以1{}1n b q+- 为等比数列。