高考数学试题汇编数列重庆文1在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ A ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8重庆理1若等差数列{n a }的前三项和93=S 且11=a ，则2a 等于（ A ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6安徽文3等差数列{}n a 的前n 项和为x S 若＝则432,3,1S a a ==（ B ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．6辽宁文5设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ B ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27福建文2等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅等于（ C ） Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．32福建理2数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于（ B ）A ．1B ．56C ．16D ．130广东理5已知数列{n a }的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ B ） A ．9 B ．8 C. 7 D ．6湖北理5已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111pq n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→（ C ） A ．0 B ．1 C ．p q D ．11p q -- 湖南文4在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，418a =，则该数列的前10项和为（ B ） A ．4122- B ．2122- C ．10122- D ．11122-湖北理8已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是（ D ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5湖南理10设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈、，，，，），都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是（ B ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13辽宁理4设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27宁夏文6已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ B ） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2-宁夏理4已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d =（ D ）Ａ．23- Ｂ．13- Ｃ．13 Ｄ．23陕西文5等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2462,10,S S S ==则等于（ C ） A ．12 B ．18 C ．24 D ．42四川文7等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ B ）A ．9B ．10C ．11D ．12上海文14数列{}n a 中，22211100010012n n n a n n n n⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-⎩，≤≤，，≥， 则数列{}n a 的极限值（ B ） Ａ．等于0 Ｂ．等于1 Ｃ．等于0或1 Ｄ．不存在陕西理5各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S n =2,S 30=14,则S 40等于（ C ） A ．80 B ．30 C ．26 D ．16天津理8设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ B ） Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8重庆理14设{n a }为公比q>1的等比数列，若2004a 和2005a 是方程03842=+x x 的两根，则=+20072006a a _____.18天津理13设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-= ．3全国2文14已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ．(51)2n n +-全国1理15等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ．13宁夏文16已知{}n a 是等差数列，466a a +=，其前5项和510S =，则其公差d = ．12江西理14已知数列{}n a 对于任意*p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若119a =，则36a = ．4江西文14已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=．7广东文13已知数列{n a }的前n 项和29n S n n =-，则其通项n a = ；若它的第k 项满足58k a <<，则k = ． 2n-10 ; 8北京理10若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则此数列的通项公式为 ；数列{}n na 中数值最小的项是第项．211n - 3北京文10若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则此数列的通项公式为．211n -重庆理21已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足1>n S ，且*),2)(1(6N n a a S n n n ∈++= （1）求{n a }的通项公式；（2）设数列{n b }满足1)12(=-n b n a ，并记n T 为{n b }的前n 项和，求证：*2),3(log 13N n a T n n ∈+>+（Ⅰ）解：由)2)(1(611111++==a a S a ，解得a 1＝1或a 1＝2，由假设a 1＝S 1＞1，因此a 1＝2。

又由a n +1＝S n +1- S n ＝)2)(1(61)2)(1(6111++=++++n n n n a a a a ， 得a n +1- a n -3＝0或a n +1＝-a n因a n ＞0，故a n +1＝-a n 不成立，舍去。

因此a n +1- a n -3＝0。

从而｛a n ｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛a n ｝的通项为a n ＝3n -2。

（Ⅱ）证法一：由1)12(=-b n a 可解得133log 11log -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n na b z n z z ； 从而⎪⎭⎫⎝⎛-=+++=133··56·23log 21n n b b b T z n n。

因此23n 2·133··56·23log )3(log 133+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-+n n a T z n z n 。

令23n 2·133··56·23)(3+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n x f ,则 233)23)(53()33(23n 33n ·5323)()1(+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+n n n n n n f n f 。

因079)23)(53()33(22＞+=++-+n n n n ，故)()1(n f n f ＞+.特别的12027)1()(＞=≥f n f 。

从而0)(log )3log(13＞n f a T n n =+-+， 即)3(log 132++n n a T ＞。

证法二：同证法一求得b n 及T n 。

由二项式定理知当c ＞0时，不等式c c 31)1(3++＞成立。

由此不等式有333213115112112log 13⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n T n⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+13315312312log 2n ＞ ＝)3(log )23(log 1323··48·25·2log 222+=+=-+n a n n n 。

证法三：同证法一求得b n 及T n 。

令A n ＝n n 33··56·23 ，B n ＝n n 313··67·43+ ，C n ＝1323··78·45++n n 。

因1323313133+++-n n n n n n ＞＞，因此2233+=n C B A A n n n n ＞。

从而32322log 133··56·322log 13x n A n n T =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+＞)3(log )23(log 2log 222+=+=n n n n a n C B A 。

浙江理21已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -，是关于x 的方程2(32)320k k x k x k -++=的两个根，且212(123)k k a a k -=≤，，，．（I ）求1a ，2a ，3a ，7a ； （II ）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；（Ⅲ）记sin 1()32sin nf n n ⎛⎫=+⎪⎝⎭， (2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n nT a a a a a a a a +-----=++++…， 求证：15()624n T n ∈*N ≤≤．本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分15分． （I ）解：方程2(32)320k k x k x k -++=的两个根为13x k =，22k x =， 当1k =时，1232x x ==，， 所以12a =；当2k =时，16x =，24x =， 所以34a =；当3k =时，19x =，28x =， 所以58a =时；当4k =时，112x =，216x =， 所以712a =．（II ）解：2122n n S a a a =+++ 2(363)(222)n n =+++++++2133222n n n++=+-．（III ）证明：(1)123456212111(1)f n n n nT a a a a a a a a +--=+-++， 所以112116T a a ==，2123411524T a a a a =+=． 当3n ≥时，(1)3456212111(1)6f n n n nT a a a a a a +--=+-++， 345621211116n n a a a a a a -⎛⎫+-++⎪⎝⎭≥2311111662622n⎛⎫+-++⎪⎝⎭≥ 1116626n =+>， 同时，(1)5678212511(1)24f n n n nT a a a a a a +--=--++5612212511124n n a a a a a a -⎛⎫-+++⎪⎝⎭≤31511112492922n⎛⎫-+++⎪⎝⎭≤ 515249224n =-<． 综上，当n ∈N*时，15624n T ≤≤．浙江文19已知数列{n a }中的相邻两项21k a -、2k a 是关于x 的方程2(32)320k k x k x k -++⋅= 的两个根，且21k a -≤2k a (k ＝1，2，3，…)．(I)求1357,,,a a a a 及2n a (n ≥4)(不必证明)； (Ⅱ)求数列{n a }的前2n 项和S 2n ．本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分14分． (I)解：方程2(32)320k k x k x k -++⋅=的两个根为123, 2k x k x ==． 当k ＝1时，123,2x x ==，所以12a =； 当k ＝2时，126,4x x ==，所以34a =；当k ＝3时，129,8x x ==，所以58a =； 当k ＝4时，1212,16x x ==，所以712a =； 因为n ≥4时，23n n >，所以22 (4)n n a n =≥ （Ⅱ）22122(363)(222)nn n S a a a n =+++=+++++++＝2133222n n n+++-．天津理21在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k n ka aa a ++≤对任意n *∈N 均成立． 本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解法一：22222(2)22a λλλλ=++-=+，2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+， 3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+． 以下用数学归纳法证明．（1）当1n =时，12a =，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即(1)2k k k a k λ=-+，那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k k k λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2k k k λ++=+-+．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n n n a n λ=-+对任何n *∈N 都成立．解法二：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ，0λ>，可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2nn n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等差数列，其公差为1，首项为0，故21n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+． （Ⅱ）解：设234123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=++++-+-， ①345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+- ②当1λ≠时，①式减去②式， 得212311(1)(1)(1)1n n n n n T n n λλλλλλλλλ+++--=+++--=---，21121222(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---．这时数列{}n a 的前n 项和21212(1)22(1)n n n n n n S λλλλ+++--+=+--． 当1λ=时，(1)2n n n T -=．这时数列{}n a 的前n 项和1(1)222n n n n S +-=+-． （Ⅲ）证明：通过分析，推测数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第一项21a a 最大，下面证明：21214,22n n a a n a a λ++<=≥． ③ 由0λ>知0n a >，要使③式成立，只要212(4)(2)n n a a n λ+<+≥， 因为222(4)(4)(1)(1)2n n n a n λλλλ+=+-++124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+⨯=-+·1212222n n n n a n λ++++=，≥≥．所以③式成立． 因此，存在1k =，使得1121n k n k a a aa a a ++=≤对任意n *∈N 均成立．天津文20在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ． （Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n 项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分． （Ⅰ）证明：由题设1431n n a a n +=-+，得1(1)4()n n a n a n +-+=-，n ∈*N ．又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+．所以数列{}n a 的前n 项和41(1)32n n n n S -+=+． （Ⅲ）证明：对任意的n ∈*N ，1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎛⎫-++-+-=+-+ ⎪⎝⎭21(34)02n n =-+-≤．所以不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．四川文22已知函数f （x ）=x 2－4，设曲线y ＝f （x ）在点（x n ，f （x n ））处的切线与x 轴的交点为（x n +1,u ）（u ,N +），其中为正实数. （Ⅰ）用x x 表示x n +1； （Ⅱ）若a 1=4，记a n =lg22n n x x +-，证明数列｛a 1｝成等比数列，并求数列｛x n ｝的通项公式； （Ⅲ）若x 1＝4，b n ＝x n －2，T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，证明T n <3.解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力．（Ⅰ）由题可得'()2f x x =．所以曲线()y f x =在点(,())n n x f x 处的切线方程是：()'()()n n n y f x f x x x -=-．即2(4)2()nn n y x x x x --=-． 令0y =，得21(4)2()n n n n x x x x +--=-． 即2142nn n x x x ++=． 显然0n x ≠，∴122n n nx x x +=+． （Ⅱ）由122n n n x x x +=+，知21(2)22222n n n n n x x x x x +++=++=，同理21(2)22n n nx x x +--=．故21122()22n n n n x x x x ++++=--．从而1122lg2lg 22n n n n x x x x ++++=--，即12n n a a +=．所以，数列{}n a 成等比数列．故111111222lg2lg 32n n n n x a a x ---+===-． 即12lg2lg 32n n n x x -+=-． 从而12232n n n x x -+=- 所以11222(31)31n n n x --+=-（Ⅲ）由（Ⅱ）知11222(31)31n n n x --+=-，∴1242031n n n b x -=-=>-∴111112122223111113313133n n n n n n b b ----+-==<≤=-+当1n =时，显然1123T b ==<．当1n >时，21121111()()333n n n n b b b b ---<<<< ∴12n n T b b b =+++111111()33n b b b -<+++11[1()]3113n b -=- 133()33n =-⋅<．综上，3n T <(*)n N ∈．上海理20若有穷数列12,...n a a a （n 是正整数），满足1211,....n n n a a a a a a -===即1i n i a a -+=（i 是正整数，且1i n ≤≤），就称该数列为“对称数列”。