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[例3-1] 求点C到直线AB的距离（如图3-10a所示）。
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分析：点到直线的距离就是点到直线 的垂线实长。如图3-10b所示，为便于作图， 可先将直线AB变换为投影面平行线，然后 利用直角投影定理从点C先直线AB作垂线， 得垂足K，再求出CK实长。
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由上可知，在投影变换时，点在新，旧两投影体系 中的投影之间具有下列的关系： （1）由于两投影体系V/H和V1/H具有公共的H面，因此，点 到H面的距离（即Z坐标）在两个投影面体系中是相等的， 即a′aX = a1′aX1=Aa。 （2）在新投影体系V1/H中，a a1′⊥X1轴。
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[例3-2] 求侧平线EF与△ABC的交点K，如图3-14a所示。
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分析：求直线与平面的交点，可以利用换面 法将△ABC变换为投影面的垂直面（即将平面变 换为直线），这样在H1面中△ABC变换为直线， 形成直线与直线相交，然后根据点的共有性和从 属性求出直线EF与△ABC的交点。
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3.4平面的投影变换
将一般位置平面变换为投影面垂直面 要将一般位置平面变换为投影面垂直面，只 要能作出既垂直于原投影体系中一个投影面，又垂 直于空间一般位置平面的新投影面，则空间一般位 置平面即为该新投影面的垂直面了。
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3.4.2将投影面垂直面变换为投影面平行面
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通过上述一次投影变换，将正平线变换为了投 影面的铅垂线；
同理，也可以通过一次投影变换将水平线变换 为投影面的正垂线。
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3.3.3将一般位置直线变换为投影面垂直线
要使一般位置直线直接垂直于投影面，必 须经过二次投影变换才能实现。也就是将上述两 种情况综合，即第一次将一般位置直线变换为投 影面的平行线，第二次将变换后的投影面平行线 变换为投影面的垂直线。
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3.1 变换投影面法的基本概念
在两投影体系中，保持空间几何元素的位置不动，用 新的投影面来代替某一旧的投影面，保留原有的另一投影 面不动，新投影面垂直于被保留的投影面，使空间几何元 素对新投影面的相对位置变成有利于解题的特殊位置（垂 直或平行），然后求出其在新投影面上的投影。这种方法 称为变换投影面法，简称换面法。
2. 保留V面换H面
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可见：保持V面不动，用新投影面H1代替旧投影面H （H1⊥V），形成新的投影体系H1/V。按上面的方法求出点a 的新投影a1。由于两投影体系V/H和V/H1具有公共的V面，所 以，也有下列关系： （1）aaX = a1aX1=Aa′。 （2）a′a1⊥X1轴。
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必须指出，在变换投影面时，每次新投影面 的选择必须符合前面所述的两个条件；而且不能 一次变换两个投影面，必须在变换完一个投影面 之后再依次交替变换另一个投影面。即在第二次 换面时，以第一次换面得到的X1轴为旧轴，再变 换另一个投影面，如V/H→V1/H→V1/H2（先换V 面，再换H面），V/H→V/H1 →V2/H1（先换H面， 再换V面）。
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根据上述点的一次投影变换，可以得出以下点的投影变 换规律： （1）点的新投影到新轴的距离等于被变换的点的旧投影到旧 轴的距离。 （2）点的新投影与点的不变的投影之间的连线始终垂直于新 轴。
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3.2.2 点的二次变换
在解决实际问题时，有时变换一次投影面还不 能解决问题，必须连续的变换两次或多次投影面。
当几何元素对于投影面处于一般位置时，不能从投影 上直接反映真实形状、度量和定位关系，如图示。
不反映实形
第1页/共40页不反映来自直关系但当它们和投影面上处于特殊位置时，它们在投影面上的 投影就可以直接地反映实形、度量关系和定位关系。
水平投影反映实形
反映垂直关系
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由此可见，如果把几何元素由一般位置变换成特 殊位置，它们的投影就有了特殊性（反映实形或具有 积聚性），即可方便的求解问题了。
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换面法的基本原理:
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用换面法时，新投影面的选择应当符号下列两个条件： （1）新投影面必须处在使空间几何元素有利于解题的位置。 （2）新投影面必须垂直于被保留的投影面，以构成新的投 影体系。
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3.2点的投影变换
3.2.1点的一次变换 1. 保留H面换V面
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3.3 直线的投影变换
直线的投影变换，是由直线上任意两点的投影 变换来实现的。
变换后直线新投影，就是直线上两个点变换后 的同面新投影的连线。
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3.3.1将一般位置直线变换为投影面平行线
要使一般位置直线变为新投影面的平行线，只要 建立一个新投影面，使其平行于该一般位置直线且垂 直于原投影体系中的一个投影面，经过一次投影变换 就可实现。
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同理，变换H面可以得到投影面的水 平线及空间直线AB对V 面的夹角β。
由此可知，一般位置直线经过一次投 影变换就变成新投影面的平行线，即可求 得它的实长及其对保留不变投影面的倾角。
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3.3.2将投影面平行线变换为投影面垂直线
因为与投影面平行线相互垂直的平面一定垂直 于该直线所平行的投影面。所以，要使投影面的平 行线变换为投影面的垂直线，只要建立一个垂直于 该直线又垂直于原投影体系中一个投影面的新投影 面即可。该直线在新投影面上的投影必积聚成一点， 经一次变换即可实现。
将投影面垂直面变换为投影面平行面，只要作一 新投影面平行于已知的垂直面即可。通过一次变换就可以 实现投影面垂直面变换为新投影面的平行面。
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3.4.3将一般位置平面变换为投影面平行面
由前两种变换可知，要将一般位置平面变换为新投影 面的平行面，必须经二次变换才能实现，即第一次将一般 位置平面变换成投影面垂直面，第二次将变换后的投影面 垂直面变换为投影面平行面。