来源:2011-2012学年广东省汕头市潮南区中考模拟考试数学卷(解析版)考点:三角形如图,已知,等腰Rt△OAB中,∠AOB=90o,等腰Rt△EOF中,∠EOF=90o,连结AE、BF.求证:(1)AE=BF;(2)AE⊥BF.【答案】见解析【解析】解:(1)证明:在△AEO与△BFO中,∵Rt△OAB与Rt△EOF等腰直角三角形,∴AO=OB,OE=OF,∠AOE=90o-∠BOE=∠BOF,∴△AEO≌△BFO,∴AE=BF;( 2)延长AE交BF于D,交OB于C,则∠BCD=∠ACO,由(1)知:∠OAC=∠OBF,∴∠BDA=∠AOB=90o,∴AE⊥BF.(1)可以把要证明相等的线段AE,CF放到△AEO,△BFO中考虑全等的条件,由两个等腰直角三角形得AO=BO,OE=OF,再找夹角相等,这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果,所以相等,由此可以证明△AEO≌△BFO;(2)由(1)知:∠OAC=∠OBF,∴∠BDA=∠AOB=90°,由此可以证明AE⊥BF来源:2012-2013学年吉林省八年级上期中考试数学试卷(解析版)考点:四边形如图,在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是BA延长线上的一点,AF=AB,已知△ABE≌△ADF.(1)在图中,可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法,使△ABE变到△ADF 的位置;(2)线段BE与DF有什么关系?证明你的结论.【答案】(1)绕点A旋转90°;(2)BE=DF,BE⊥DF.【解析】本题考查的是旋转的性质,全等三角形的判断和性质(1)根据旋转的概念得出;(2)根据旋转的性质得出△ABE≌△ADF,从而得出BE=DF,再根据正方形的性质得出BE⊥DF.(1)图中是通过绕点A旋转90°,使△ABE变到△ADF的位置.(2)BE=DF,BE⊥DF;延长BE交DF于G;由△ABE≌△ADF,得BE=DF,∠ABE=∠ADF;又∠AEB=∠DEG;∴∠DGB=∠DAB=90°;∴BE⊥DF.来源:2012年江苏省东台市七年级下学期期中考试数学试卷(解析版)如图,在△abc中,已知∠abc=30°,点d在bc上,点e在ac上,∠bad=∠ebc,ad交be于f.1.求的度数;2.若eg∥ad交bc于g,eh⊥be交bc于h,求∠heg的度数.【答案】1.∠BFD=∠ABF+∠BAD (三角形外角等于两内角之和)∵∠BAD=∠EBC,∴∠BFD=∠ABF+∠EBC,∴∠BFD=∠ABC=30°;2.∵EG∥AD,∴∠BFD=∠BEG=30°(同位角相等)∵EH⊥BE,∴∠HEB=90°,∴∠HEG=∠HEB-∠BEG=90°-30°=60°.【解析】1.∠BFD的度数可以利用角的等效替换转化为∠ABC的大小,2.在直角三角形中,有平行线,利用同位角即可求解.三角形强化训练和深化☣1、如图a是长方形纸带,∠DEF=25°,将纸带沿EF折叠成图b,再沿BF折叠成图c,则图c 中的∠CFE的度数是_________°.解析:由题意可知折叠前,由BC//AD得:∠BFE=∠DEF=25°将纸带沿EF折叠成图b后,∠GEF=∠DEF=25°所以图b中,∠DGF=∠GEF+∠BFE=25°+25°=50°又在四边形CDGF中,∠C=∠D=90°则由:∠DGF+∠GFC=180°所以:∠GFC=180°-50°=130°将纸带再沿BF第二次折叠成图C后∠GFC角度值保持不变且此时:∠GFC=∠EFG+∠CFE所以:∠CFE=∠GFC-∠EFG=130°-25°=1052、在Rt△ABC中,∠A=90°,CE是角平分线,和高AD相交于F,作FG∥BC交AB于G,求证:AE=BG.解法1:【解析】证明:∵∠BAC=900AD⊥BC∴∠1=∠B∵CE是角平分线∴∠2=∠3∵∠5=∠1+∠2∠4=∠3+∠B∴∠4=∠5∴AE=AF过F作FM⊥AC并延长MF交BC于N∴MN//AB∵FG//BD∴四边形GBDF为平行四边形∴GB=FN∵AD⊥BC,CE为角平分线∴FD=FM在Rt△AMF和RtNDF中∴△AMF≌△NDF∴AF=FN∴AE=BG解法2:解:作EH⊥BC于H,如图,∵E是角平分线上的点,EH⊥BC,EA⊥CA,∴EA=EH,∵AD为△ABC的高,EC平分∠ACD,∴∠ADC=90°,∠ACE=∠ECB,∴∠B=∠DAC,∵∠AEC=∠B+∠ECB,∴∠AEC=∠DAC+∠ECA=∠AFE,∴AE=AF,∴EG=AF,∵FG∥BC,∴∠AGF=∠B,∵在△AFG和△EHB中,∠GAF=∠BEH∠AGF=∠BAF=EH,∴△AFG≌△EHB(AAS)∴AG=EB,即AE+EG=BG+GE,∴AE=BG.3、如图,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AD为腰CB上的中线,CE⊥AD交AB于E.求证∠CDA=∠EDB.解:作CF⊥AB于F,交AD于G ,如图,∵△ABC为等腰直角三角形,∴∠ACF=∠BCF=45°,即∠ACG=45°,∠B=45°,∵CE⊥AD,∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE=90°,∴∠1=∠2,在△AGC和△CEB中∠1=∠2AC=CB∠ACG=∠CBE,∴△AGC≌△CEB(ASA),∴CG=BE,∵AD为腰CB上的中线,∴CD=BD,在△CGD和△BED中CG=BE∠GCD=∠BCD=BD,∴△CGD≌△BED(SAS),∴∠CDA=∠EDB.4、如图,已知AD和BC相交于点O ,且均为等边三角形,以平行四边形ODEB,连结AC,AE和CE。
求证:也是等边三角形证明:∵△OAB和△OCD为等边三角形,∴CD=OD,OB=AB,∠ADC=∠ABO=60°.∵四边形ODEB是平行四边形,∴OD=BE,OB=DE,∠CBE=∠EDO.∴CD=BE,AB=DE,∠ABE=∠CDE.∴△ABE≌△EDC.∴AE=CE,∠AEB=∠ECD.∵BE∥AD,O A BCDEF ∴∠AEB=∠EAD .∴∠EAD=∠ECD .在△AFE 和△CFD 中又∵∠AFE=∠CFD ,∴∠AEC=∠ADC=60°.∴△ACE 为等边三角形.5.如图,在直角梯形ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°,AB=16,对角线AC 与BD 交于点E ,过E 作EF ⊥AB 于点F ,O 为边AB 的中点,且FE+BO=8. 求AD+BC 的值.6.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC, D 是△ABC 内一点, 且求证:BD=BA 。
解:如图:以AD 为边,在△ADB 中作等边三角形ADE ,连接BE .∵∠BAE=90°-60°-15°=15°,即∠BAE=∠CAD ,且AB=AC ,AE=AD ,∴△EAB ≌△DAC (SAS ),∴∠BEA=∠CDA=180°-15°-15°=150°,∴∠BED=360°-∠BEA-60°=150°,即∠BEA=∠BED ;又∵AE=ED,BE=BE,∴△BEA≌△BED(SAS),∴BA=BD.7.已知,如图D是的边BA延长线上一点,有AD=BA,E是边AC上一点,且DE=BC求证:延长CA至F,使得AF=CA则三角形DAF与三角形BAC全等,DF=BC,且<C=<F又DE=BC=DF,所以三角形DFE为等腰三角形,所以<DEF=<DEA=<F=<C8.如图,已知点D是边长为1的等边三角形ABC的内心,点E,F分别在边AB,AC上,且满足。
求的周长。
过D做AC和AB的垂线交与H G找到一个I 点,使∠EDI = 60度可以证明。
过D做AC和AB的垂线交与H G找到一个I 点,使∠EDI = 60度那么三角形HDF和GDI全等。
证明:∠HDG=120 ∠FDI=120 (2个60度相加)∠HDG-∠FDG = ∠FDI-∠FDG∠HDF = ∠GDIDH=GD∠DHF = ∠DGI = 90度由此可知FD=ID那么三角形FDE和IDE全等。
证明:因为FD=IDED=ED∠FDE = ∠IDE = 60°由此可知FE=IE (蓝色线)那么三角形AFD和BID全等。
证明:∠ADB=120 ∠FDI=120 (2个60度相加)∠ADB-∠ADI = ∠FDI-∠ADI所以∠BDI = ∠FDA因为FD=ID,AD=BD那么,AE = BI (红色线)最后,AE+EF+FA = AE+EI+IB = 单边长。
为固定值。
初一下册数学难题(全内容)1、解方程:() 18031902180⨯=---αα,则α= 60° 2、用10%和5%的盐水合成8%的盐水10kg ,问10%和5%的盐水各需多少kg ?设需10%的盐水X 千克,则需要5%的盐水(10-X )千克X*10%+(10-X )*5%=10*8%5%X=0.3X=610-6=4(千克)所以需10%的盐水6千克,则需要5%的盐水4千克3、已知523x k +=的解为正数,则k 的取值范围是4、(2)若212(1)11x a x x-〈⎧⎨+〉-⎩的解为x >3,则a 的取值范围(3)若2123x a x b -〈⎧⎨-〉⎩的解是-1<x <1,则(a+1)(b-2)= (4)若2x <a 的解集为x <2,则a=(5)若204160x m x -≤⎧⎨+〉⎩有解,则m 的取值范围5、已知32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩,x >y ,则m 的取值范围 ; 6、已知上山的速度为600m/h ,下上的速度为400m/h ,则上下山的平均速度为?7、已知24(3)0x y x y +-+-=,则x= ,y= ;8、已知35303580x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩(0z ≠),则:x z = ,:y z = ;9、当m= 时,方程262310x y x y m +=⎧⎨-=-⎩中x 、y 的值相等,此时x 、y 的值= 。
10、已知点P(5a-7,-6a-2)在二、四象限的角平分线上,则a= 。
11、⎩⎨⎧=-=+my x m y x 932的解是3423=+y x 的解,求m m 12-。