x
x
x
1
如:lim e x x
e0 1
发散的情况:
lim 2x
x
1 x2 lim x x lim( 1 )x x 2
lim sinx
x
二、自变量趋向有限值时函数的极限
问题:函数 y f ( x) 在x x0 的过程中,对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
n
n
若0 q 1, 要使得 xn 0 qn , 有n ln q ln ,
n ln , ln q
取N [ ln ], ln q
则当n N时,
就有qn 0 , limqn 0. n
直观地: 设数列{an },当n 时, an无限趋于一个常数a,
则称{an }收敛于a,记
1
(5) y ex limex 1 lim ex 0 lim ex
x
x0
x0
1
lim ex不存在 x0
(6) y arctanx lim arctanx
x
2
2
lim arctanx
x
2
y arctan x
2
lim arctan x不存在
x
(7) lim sin x不存在, lim cos x不存在
lim
n
an
a,
否
则
称
数
列{an
}发
散,
或
lim
n
an不
存
在.
发散的三种情况:
lim(n 1)
n
1 (1)n lim
不确定
n
2
limsinn 振荡
n
例1: 观察下列数列的变化趋势
(1) 10,10,10, (2) 1,-1,1,-1,
lim 10 10
n
发散
n2 (3)xn 1 n2
例3 观察下列函数的变化趋势
(1) lim c xx0
(2) lim x xx0
(3) lim(2x 1) x1
(4) y 1 x
lim 1 0; lim 1 0; lim 1 0
x x
x x
x x
lim 1 x1 x
1;
lim 1 x x0
lim 1 x x0
1
1
1
lim 1 x0 x
x
问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
f ( x) 0 表示 f ( x) 0 任意小;
x X 表示x 的过程.
1. 定义P40 :
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总 存在着正数X ,使得对于适合不等式 x X 的一切 x ,所对应的函数值 f ( x) 都满足不等式 f (x) A , 那末常数 A就叫函数 f ( x) 当 x 时的极限,记作 lim f ( x) A 或 f ( x) A(当x )
只要 n 1000时,
有
xn
1
1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,
有
xn
1
1, 10000
给定 0,
只要 n N ( [1])时,
有 xn 1 成立.
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切xn ,
不等式 xn a 都成立,那末就称常数a 是数列
2.另两种情形:
10. x 情形 : lim f ( x) A x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .
20. x 情形 : lim f ( x) A x
0, X 0,使当x X时, 恒有 f ( x) A .
定理 : lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.
xn的极限,或者称数列xn 收敛于a ,记为
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1.不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近; 2.N与任意给定的正数有关.
N定义 :
lim
n
xn
a
0, N 0,使n N时, 恒有 xn a .
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在.
A
y f (x)
线y A为中心线,
宽为2的带形区域内. o
x0 x0 x0
x
显然,找到一个后, 越小越好.
3.单侧极限:
例如,
设
f (x)
1 x,
x
2
1,
证明lim f ( x) 1. x0
x0 x0
y y 1 x
1
o
分x 0和x 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近x0 , 记作x x0;
当n N时，恒有x 0(或x 0).(保号性)
n
n
推论：若xn
0(或xn
0)且
lim
n
xn
a，则a
0(或a
0).
(4)如果数列收敛于a,则它的任一子数列也都收敛,
且极限也是a.(收敛数列与其子列的关系)
例2 求下列数列的极限
(1)lim n( n 1 n 1) n
(2)设x1
1, x2
0 x x0 表示x x0的过程.
x0
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
f (x)在点x0的某个去心领域内有定义，观察 x x0时，f (x) A?
例P36:
(1) lim(2x 1) x 1 2
4x2 1
(2) lim g( x) g(x)
x 1
2x 1
几何解释:
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.
例(P33) 证明 lim qn 0,其中q 1. n
证 任给 0, 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;
第二章 极限与连续
• 一、数列的极限 • 二、函数极限 • 三、无穷大与无穷小 • 四、极限的运算法则 • 五、极限存在准则、两个重要极限、连续复利 • 六、无穷小的比较 • 七、函数的连续性 • 八、闭区间上连续函数的性质
§2.1 数列的极限
1.概念的引入
割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
xx0
xx0
xx0
(2) lim f (x) lim f (x),则limf (x)不存在且不为无穷大
x
x
x
例 验证 lim x 不存在. x0 x
y
1
证 lim x lim x
x x x0
x0
o
x
1
lim(1) 1 x0
lim x lim x lim 1 1
x x x0
x0
x0
左右极限存在但不相等, lim f ( x) 不存在. x0
1, xn
n k3
1 k(k
, 1)
求
lim
n
xn
n
(3)设an
2n
2, xn
k 1
ak
,
求
lim
n
xn
§2.2 函数的极限
考虑x在D(f )中变化时,函数f (x)的变化趋势.
x的变化趋势有: x 记 : x x x x x0,x x0
x x0 , x x0 ,记 : x x0
当
n
无限增大时,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于1.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn 1
(1)n1 1 n
1 n
xn 1
(1)n1 1 n
1 n
给定 1 , 100
由 1 1 , 只要 n 100时, n 100
有
xn
1 1 , 100
给定 1 , 1000
列的项,xn称为通项(一般项).数列(1)记为{xn } .
若存在正数M,对所有的n都满足| xn | M ,则称数列
{xn} 为有界数列,否则称为无界数列.
P31 下界 上界 单调增数列 单调减数列 子列
3.数列极限的定义
观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
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通过上面演示实验的观察:
x
x
(8) lim sin 1 x0 x
lim sin 1 不存在. x0 x
y sin 1 x
x2 x 1
例4
f(x)
1/2 x -1
x 1 1 x 2,求 lim f ( x), lim f ( x),lim f ( x),
1
x - 1
x2
x1
x1
x2
lim f ( x), lim f ( x),lim f ( x)
x从右侧无限趋近x0 , 记作x x0 ;
y x2 1 x
左极限 0, 0,使当x0 x x0时, 恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0
f ( x0 0) A.
右极限 0, 0,使当x0 x x0 时,
恒有 f (x) A .
2
1. 定义 :
定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多
么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式
0 x x0 的一切x ,对应的函数值 f ( x) 都 满足不等式 f ( x) A ,那末常数A 就叫函数