因动点产生的直角三角形问题一．解答题（共7小题）1．如图所示，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N 运动的时间为x秒．试解答下列问题：（1）说明△FMN∽△QWP；（2）设0≤x≤4．试问x为何值时，△PQW为直角三角形？（3）试用含的代数式表示MN2，并求当x为何值时，MN2最小？求此时MN2的值．2．已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t=_________（s）时，△PBC是直角三角形；（2）如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s 的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？（4）如图4，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，连接PC．如果动点P、Q 都以1cm/s的速度同时出发．请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．3．将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中（如图），若斜边所在的直线为y=﹣2x+4．点B'是OA上的动点，折叠直角三角形纸片OAB，使折叠后点B与点B'重合，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．（1）若B'与点O重合，直接写出点C、D的坐标；（2）若B'与点A重合，求点C、D的坐标；（3）若B'D∥OB，求点C、D的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，BC∥x轴，且BC=5，AB交y轴于点D，．（1）求出C的坐标．（2）过A，C，B三点的抛物线与x轴交于点E，连接BE，若动点M从点A出发沿x轴正方向运动，同时动点N 从点E出发，在直线EB上作匀速运动，运动速度为每秒1个单位长度，当运动时间t为多少时，△MON为直角三角形．5．（2009•衡阳）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60度．（1）求⊙O的直径；（2）若D是AB延长线上一点，连接CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜2），连接EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两点，直线FA⊥x轴于点A，点D在FA上，且DO平行于⊙O的弦MB，连DM并延长交x轴于点C．（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并给出证明；（2）设点D的坐标为（﹣2，4），①求MC的长；②若动点P从点A出发向点D匀速运动，速度是每秒1个单位长；同时点Q从点D出发向点C匀速运动，速度是每秒2个单位长；其中一个点到达终点时运动即结束．连接PQ 交OD于点H，当△PDH为直角三角形时，求点P的坐标．7．已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），点P是抛物线y=上的一个动点．（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=﹣1的相切；（2）设直线PM与抛物线的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM=∠QNM；（3）是否存在这样的点P，使得△PMN为等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．答案与评分标准一．解答题（共7小题）1．如图所示，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N 运动的时间为x秒．试解答下列问题：（1）说明△FMN∽△QWP；（2）设0≤x≤4．试问x为何值时，△PQW为直角三角形？（3）试用含的代数式表示MN2，并求当x为何值时，MN2最小？求此时MN2的值．考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理的逆定理；三角形中位线定理。

专题：计算题；证明题。

分析：（1）由根据题意可知P、W、Q分别是△FMN三边的中点，可得PW是△FMN的中位线，然后即可证明△FMN∽△QWP；（2）由（1）得，△FMN∽△QWP，当△QWP为直角三角形时，△FMN为直角三角形，根据DM=BN=x，AN=6﹣x，AM=4﹣x，利用勾股定理求得FM2=4+x2，MN2=（4﹣x）2+（6﹣x）2，FN2=（4﹣x）2+16，然后分①当MN2=FM2+FN2时，②当FN2=FM2+MN2时，③FM2=MN2+FN2时三种情况讨论即可．（3）根据①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，MN≥AN，AN=6﹣x，故只有当x=4时，MN的值最小即可求得答案，②当4＜x≤6时，MN2=AM2+AN2=（x﹣4）2+（6﹣x）2，解得x即可解答：解：（1）由题意可知P、W、Q分别是△FMN三边的中点，∴PW是△FMN的中位线，即PW∥MN，∴===，∴△FMN∽△QWP；（2）由（1）得，△FMN∽△QWP，∴当△QWP为直角三角形时，△FMN为直角三角形，反之亦然．由题意可得DM=BN=x，AN=6﹣x，AM=4﹣x，由勾股定理分别得FM2=4+x2，MN2=（4﹣x）2+（6﹣x）2，FN2=（4﹣x）2+16，①当MN2=FM2+FN2时，（4﹣x）2+（6﹣x）2=4+x2+（4﹣x）2+16，解得，②当FN2=FM2+MN2时，（4﹣x）2+16=4+x2+（4﹣x）2+（6﹣x）2此方程无实数根，③FM2=MN2+FN2时，4+x2=（4﹣x）2+（6﹣x）2+（4﹣x）2+16，解得x1=10（不合题意，舍去），x2=4，综上，当或x=4时，△PQW为直角三角形．（3）①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，MN≥AN，AN=6﹣x，故只有当x=4时，MN的值最小，MN2的值也最小，此时MN=2，MN2=4，（10分）②当4＜x≤6时，MN2=AM2+AN2=（x﹣4）2+（6﹣x）2，=2（x﹣5）2+2，当x=5时，MN2取得最小值2，∴当x=5时，MN2的值最小，此时MN2=2．点评：此题涉及到相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理等知识点的理解和掌握，难度较大，综合性较强，利于学生系统地掌握所学知识．2．已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t=（s）时，△PBC是直角三角形；（2）如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s 的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？（4）如图4，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，连接PC．如果动点P、Q 都以1cm/s的速度同时出发．请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．考点：勾股定理的应用；三角形的面积；等腰三角形的判定。

专题：动点型。

分析：（1）当△PBC是直角三角形时，∠B=60°，所以BP=1.5cm，即可算出t的值；（2）因为∠B=60°，可选取∠BPQ=90°或∠BQP=90°，然后根据勾股定理计算出BP长，即可算出t的大小；（3）因为∠DCQ=120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD=CQ，然后可证明△APD是直角三角形，即可根据题意求出t的值；（4）面积相等．可通过同底等高验证．解答：解：（1）当△PBC是直角三角形时，∠B=60°，∠BPC=90°，所以BP=1.5cm，所以t=（2分）（2）当∠BPQ=90°时，BP=0.5BQ，3﹣t=0.5t，所以t=2；当∠BQP=90°时，BP=2BQ，3﹣t=2t，所以t=1；所以t=1或2（s）（4分）（3）因为∠DCQ=120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD=CQ，所以∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°，又因为∠A=60°，所以AD=2AP，2t+t=3，解得t=1（s）；（2分）（4）相等，如图所示：作PE垂直AD，QF垂直AD延长线，因为AP=CQ，∠F=∠AEP，∠QCF=∠APE，所以△EAP≌△FCQ，所以PE=QF，所以，△PCD和△QCD同底等高，所以面积相等．点评：本题主要考查对于勾股定理的应用和等腰三角形的判定，还要注意三角形面积的求法．3．将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中（如图），若斜边所在的直线为y=﹣2x+4．点B'是OA上的动点，折叠直角三角形纸片OAB，使折叠后点B与点B'重合，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．（1）若B'与点O重合，直接写出点C、D的坐标；（2）若B'与点A重合，求点C、D的坐标；（3）若B'D∥OB，求点C、D的坐标．考点：一次函数综合题。

分析：（1）B'与点O重合，则CD是△AOB的中位线，根据中点定义进行解答写出；（2）B'与点A重合，则CD是AB的垂直平分线，点D坐标可以根据（1）求解，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得BC=AC，然后设点C坐标为（0，m），分别用m表示出OC、AC的长度，再利用勾股定理列式求解即可求出m的值，从而点C的坐标便可求出；（3）若B'D∥OB，根据两直线平行，内错角相等以及折叠前后两个图形能够完全重合的性质可以得到∠OCB'=∠CBD，再根据同位角相等两直线平行得到CB'∥BA，从而证明△COB'∽△BOA，根据相似三角形对应边成比例，设OB'=x0，然后表示出OC，在Rt△B'OC中，利用勾股定理列式计算即可求出x0的值，再求出OC得到点C的坐标，利用直线AB的解析式求出点D的坐标．解答：解：（1）C（0，2），D（1，2）；（2）由y=﹣2x+4求得B（0，4），A（0，2）．如图①，折叠后点B与点A重合，则△ACD≌△BCD，BD=DA．由（1）得D的坐标为（1，2）设点C的坐标为（0，m）（m＞0）．则BC=OB﹣OC=4﹣m．于是AC=BC=4﹣m．在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2=OC2+OA2，即（4﹣m）2=m2+22，解得．∴点C的坐标为，D的坐标为（1，2）．（3）如图②，折叠后点B落在OA边上的点为B'，且B'D∥OB．则△B'CD≌△BCD，∠OCB'=∠CB'D．又∵∠CBD=∠CB'D，∴∠OCB'=∠CBD，有CB'∥BA．∴Rt△COB'∽Rt△BOA．有，得OC=2OB'．在Rt△B'OC中，设OB'=x0（x＞0），则OC=2x0．则B'C=BC=OB﹣OC=4﹣2x0，在Rt△B'OC中，由勾股定理，得B'C2=OC2+OB'2．∴（4﹣2x0）2=（2x0）2+x02，得x20+16x0﹣16=0，解得．∵x0＞0，∴．∴点C的坐标为．∵B'D∥OB则可得点D的横坐标为．设点D的纵坐标为n．∵点D在直线y=﹣2x+4上，∴，∴点D的坐标为．点评：本题综合考查了一次函数的知识，翻折对称的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与相似三角形对应边成比例的性质，综合性较强，并且运算量较大，希望通过学们在解答是要仔细分析，小心计算，以避免出错．4．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，BC∥x轴，且BC=5，AB交y轴于点D，．（1）求出C的坐标．（2）过A，C，B三点的抛物线与x轴交于点E，连接BE，若动点M从点A出发沿x轴正方向运动，同时动点N 从点E出发，在直线EB上作匀速运动，运动速度为每秒1个单位长度，当运动时间t为多少时，△MON为直角三角形．考点：二次函数综合题。