y —x 2+ bx + c 与 x 轴交于 A (5, 0)、B (- 1, 0)两点，过点A 作直线AC 丄x 轴，交直线y =2 x 于点C ; (1 )求该抛物线的解析式;(2)求点A 关于直线y =2x 的对称点A '的坐标，判定点A '是否在抛物线上，并说明理由;(3 )点P 是抛物线上一动点，过点 P 作y 轴的平行线，交线段 CA '于点M ，是否存在这样的点 P ,使四边形PACM 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由./\//.r 习O /Ax分析： (1、利用待定系数法求出抛物线的解析式;(2 )首先求出对称点 A '的坐标，然后代入抛物线解析式，即可判定点 A '是否在抛物线上•本问关 键在于求出A '的坐标•如答图所示，作辅助线，构造一对相似三角形Rt △A t A“Rt △OAC ，禾U 用相似关系、对称性质、勾股定理，求出对称点 A '的坐标；(3)本问为存在型问题•解题要点是利用平行四边形的定义，列出代数关系式求解•如答图所示， 平行四边形的对边平行且相等，因此 PM = AC =10 ;利用含未知数的代数式表示出 PM 的长度，然后列方程求解.可+5b 心01 ，解得丄-b+c=O 4(2014 ?济宁，第22题11分)如图，抛物线 解答：解：(1 )：y =—x 2+ bx + c 与 x 轴交于 A (5, 0)、 B (- 1 , 0、两点, 抛物线的解析式为(2、如答图所示，过点A '作A'E丄x轴于E, AA '与OC交于点D ,•••点 C 在直线 y =2x 上，「.c ( 5, 10 )•••点A 和A '关于直线y =2x 对称，••• OC 丄AA ' , D = AD .••OA =5 , AC =10 ,•••°c=J OA ' + A 严珂5? +1*= 5诉.•••S ^OAC =3OC ?AD =2OA ?AC , ••AD U Q 诉.-AA =^5,在 Rt △A t A 和 Rt △OAc 中，T /A'AE + ZA'A C =90 °,A CD + ZA A C =90 ° ,•••zA 'AE = /ACD .又 vZ A 'EA = Z°AC =90 ° , 『F AK •••Rt △A EA“RtZOAC .••••••A 'E =4 , AE =8 .•••°E =AE - °A =3 .•••点 A '的坐标为(-3 , 4),••PM //AC,•要使四边形PACM 是平行四边形，只需 PM = AC •又点M 在点P 的上方,會-x -》=10 .解得X 1=2 , X 2=5 （不合题意，舍去） 当 x =2 时，y =-OA AC OC当 x = - 3 时，y =-x( -3) 2+34 --=4 •所以，点A '在该抛物线上.4（3）存在•理由：设直线 CA A 的解析式为y =kx + b ,5出丸-3k+b=4x ，gx 2-x -斗），则点M 为（x ,3 25 —x+—4 44 4•当点P 运动到（2 ,）时，四边形 PACM 是平行四边形.4，解得设点P 的坐标为（ ).•直线CA '的解析式为y 宀讨…9分）点评：本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、相似、平行四边形、勾股定理、对称等知识点，涉及考点较多，有一定的难度.第( 2)问的要点是求对称点 A '的坐标，第(3)问的要点是利用平行四边形的定义列方程求解..(2014 ?贵州黔西南州，第26题16分)如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx + c经过A (- 3, 0 )、B (1 , 0 )、C (0 , 3 )三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点(不与A、D重合)，过点P作y轴的垂线，垂足点为E,连接AE.(1 )求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2 )如果P点的坐标为(x, y), APAE的面积为S,求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；(3 )在(2)的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F,连接EF,把厶PEF沿实用文案直线EF折叠，点P的对应点为点第1题图分析： (1 )由抛物线y = ax 2+ bx + c 经过A (- 3 , 0 )、B (1 , 0 )、C (0, 3)三点，则代入求得 a , b ，c ,进而得解析式与顶点 D .(2) 由P 在AD 上，则可求 AD 解析式表示P 点•由S/APE =?PE ?y p ，所以S 可表示，进而由 函数最值性质易得 S 最值.(3) 由最值时，P 为(-,3),贝U E 与C 重合•画示意图，P '过作P 'M 丄y 轴，设边长通过解直角三角形可求各边长度，进而得 P '坐标•判断P '是否在该抛物线上，将X P '坐标代入解析式，判断是否为y p '即可.解答： 解：(1 )•••抛物线 y = ax 2+bx +c 经过 A (- 3, 0)、B (1, 0)、C (0, 3)三点,• -X 2 - 2x +3= -( x +1 ) 2+4 , •••抛物线顶点坐标 D 为(-1 , 4).(2) v A (- 3, 0), D (- 1 , 4),vP 在 AD 上，「.P (x , 2x +6 ),•S ZAPE = ?PE ?y P = ?( - x )?(2x +6 ) = - x 2 - 3x (- 3 v x v- 1 ),(3) 如图1，设P'F 与y 轴交于点N ，过P '作PM 丄y 轴于点M ,9a - 3b-^c=0a=- 1丿 a+b+c=O ，解得 b=- 2、c-3•••解析式为 y = - x 2 -2x +3•••设AD 为解析式为 y = kx + b ，有 (-3k+b=0 (-k+b=4，解得•AD 解析式: y =2 x +6 ,S 取最大值.当x =•••ZPEF 沿 EF 翻折得△ P'EF ,且 P (-, 3),•••ZPFE = /P'FE, PF =P'F =3 , PE =P'E =, •••PF//y ^,A Z PFE = /FEN ,•/Z PFE = ZP 'FE,.・./FEN = /P 'FE,「.EN = FN ,设 EN = m ，贝U FN = m , P N =3 — m .在 Rt /△P EN 中，•(3 — m ) 2+ () 2=m 2,「.m =•••S 仲 EN =?P'N ?P E = ?EN ?P M ,「.P M =在 Rt △EMP '中，E M = i ； ■ 「 I -'=,.・.OM =EO — EM =,V 210•••P'•••点P '不在该抛物线上.点评：本题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数图象、性质及设边长利用勾股定理解直角三角形等常规考点，题目考点适中，考法新颖，适合学生练习巩固.（2014 ?攀枝花，第24题12分）如图，抛物线 y=ax2 — 8ax+12a （a >0）与x 轴交于 A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点 C ,点D 的坐标为（-6, 0）,且Z ACD=90 ° .1C1qq当时，y =-（不）102— 2? +3= 10F ，,).B(1 )请直接写出A 、B 两点的坐标; (2 )求抛物线的解析式； (3 )抛物线的对称轴上是否存在点 P ,使得△ PAC 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；(4) 平行于y 轴的直线m 从点D 出发沿x 轴向右平行移动，到点 A 停止.设直线 m 与折线DCA 的交点为G ,与x 轴的交点为H (t , 0).记△ACD 在直线m 左侧部分的面积为 s ,求s 关于t 的函分析：(1 )令y-ax2 - 8ax+12a-0 ，解一兀一次方程，求出点 A、B 的坐标； (2)由/ACD=90。

可知公CD 为直角三角形，利用勾股定理，列出方程求出 a 的值，进而求 出抛物线的解析式；(3) APAC 的周长=AC+PA+PC , AC 为定值，则当 PA+PC 取得最小值时，△ PAC 的周长最 小.设点C 关于对称轴的对称点为 C '，连接AC '与对称轴交于点P ,由轴对称的性质可知点 P 即为所求； 解答：解：(1)抛物线的解析式为：y=ax2 - 8ax+12a (a > 0),令 y=0，即 ax2 - 8ax+12a=0 ，解得 x 仁2 , x2=6 ,「.A (2 , 0 ) , B (6 , 0). (2)抛物线的解析式为：y=ax2 - 8ax+12a (a > 0),连接AC '，与对称轴交于点P ,则点P 为所求.此时△ PAC 周长最小，最小值为 AC+AC 设直线AC '的解析式为y=kx+b ，则有:严 Q L-JVS|8k+b=2\/3,解得［3墜当 x=4 时，y= ■,：P (4 ,■').过点C '作C'E 丄x 轴于点E ,则C'E=- 打AE=6 ,在Rt △AC 'E 中，由勾股定理得：AC '=丫保3) +F*=4^ ； 在Rt △AOC 中，由勾股定理得： AC="— ' * 'C =4 .•'AC+AC '4+4「；.•存在满足条件的点P ,点P 坐标为(4 , ° ), △PAC 周长的最小值为4+4、代.令x=0 ，得 y=12a ,：C (0 , 12a ), OC=12a . 在 Rt &0D中, 由勾股定理得:CD2=OC2+OD2=(12a )2+62=144a2+36 ； 在 Rt &OD 中, 由勾股定理得: AC2=OC2+OA2= (12a )2+22=144a2+4；在 Rt &OD DC2+AC2=AD2即：(144a2+36 ) + (144a2+4 ) =82Vs73解得：a= &或a=-HT(舍去)，4V3•抛物线的解析式为y= & x2 — 3 x8a(3)存在.对称轴为直线:x=- 2S =4由(2)知C (0, N/3),则点C 关于对称轴中, 由勾股定理得:x=4的对称点为C ' 8, 一；),(4)①当-6 W t WO时，如答图4 - 1所示.•••直线m平行于y轴，GH PH GH 二6+t 並••• i即’；•，解得：GH= _(6+t )•••直线m平行于y轴，GH^H OH _2-t _•••」-丄j 即'；，解得：GH= —•珂+2 •':.••S=S ©OD+S 梯形OCGH=OD ?OC+ (GH+OC )?OH=X6 X2^ ':+ (—卜；~t+2 "F l+2"* g)?t=—'t2+2 - t+6 「；.s_］呼严+隅+朋CO<t<2)点评：本题是典型的二次函数压轴题，综合考查二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、相似、勾股定理等知识点，难度不大.第( 3)考查最值问题，注意利用轴对实用文案3当 x =0 时 y = - ^―,「.OD =,「.BF =OD ,称的性质；第(4)问是动线型问题，考查分类讨论的数学思想，注意图形面积的计算.(2014 ?山东烟台，第26题12分)如图，在平面直角坐标系中， Rt △ABC 的顶点A , C 分别在y 轴, x 轴上，/ ACB =90 °,OA = J3，抛物线y = ax 2 - ax - a 经过点B (2,—),与y 轴交于点D .3点B 关于直线AC 的对称点是否在抛物线上？请说明理由;通过A AOC S ©F B 求得0C 的值，通过△ OCD ^Z FCB 得出DC = CB ,/OCD = /FCB ，然后 得出结论.(3)设直线AB 的表达式为y =kx +b ,求得与抛物线的交点 E 的坐标，然后通过解三角函数求得结果.(2 )连接CD ,过点B 作BF 丄x 轴于点F ,则Z BCF + /CBF =90•••Z ACB =90 °,.・・A CO + ZBCF =90 ° ,^A CO = ZCBF ,AO DC•••小OC = ZCFB =90 ° ,A AOC S ZCFB ,.】…一…(1) 求抛物线的表达式;分析: (1)把点B 的坐标代入抛物线的表达式即可求得.解答：(1)把点B 的坐标代入抛物线的表达式，得 =a 空-2a -a ，解得 a v-：，抛物线的表达式为y =^X 2 -省X -寒3 3 3设 OC = m ，贝U CF =2 - m ，则有，解得 m = m =1 ,「・OC = OF =1 ,延长BA 交抛物线于点E ,•/ZDOC = /BFC =90 °,.gCD S /FCB ,.・.DC = CB ,/OCD = /FCB ,•••点B 、C 、D 在同一直线上， •••点B 与点D 关于直线AC 对称, •••点B 关于直线AC 的对称点在抛物线上.•••qAC = /EDG ,「.ED//AC .点评：本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定及性质，以及对称轴的性质和解三角函数 等知识的理解和掌握.2(2014年湖北咸宁23 . (10分))如图1 , P (m , n )是抛物线y=专--1上任意一点，I 是过点(0 , -2 )且与x 轴平行的直线，过点 P 作直线PH 丄I ，垂足为H . 【探究】(1 )填空：当 m=0 时，OP= 1 , PH= 1 ;当 m=4 时，OP= 5, PH= 5;【证明】(2 )对任意m , n ,猜想OP 与PH 的大小关系，并证明你的猜想.(3)过点E 作EG 丄y 轴于点G ,设直线 AB 的表达式为y =kx + b ，则晳=2k+bL J.•.y=-省x +换，代入抛物线的表达式-亨x+V3 爭-：埠x 邊解得x =2或x = - 2,2时y 「爭林=-冬(—2)皿当x =-,：tan ZEDG = •••ZEDG =30 ° 'tan ZOAC =+ '—AC =30°， 解得k = -^2,3•••点E 的坐标为(-2 ,塾=DG =【应用】2(3)如图2，已知线段 AB=6，端点A , B 在抛物线y=— - 1上滑动，求 A , B 两点到直线I 的距4似(1 )利用勾股定理和 PH=y P - (- 2)可求出OP 与PH ，比较即得结论.距离的和，即 A 、B 两点到原点的和，若 AB 不过点O ,则OA+OB >AB=6，若AB 过点O ,则 OA+OB=AB=6 ，所以OA+OB >6，即A 、B 两点到I 距离的和》6，进而最小值即为 6 . 解答： (1 )解：OP=1 , PH=1 ; OP=5 , PH=5 . 如图1，记PH 与x 轴交点为Q ,当 m=0 时，P (0,- 1).此时 OP=1 , PH=1 . 当 m=4 时，P (4, 3).此时 PQ=3 , OQ=4 , ••QP= U FQ 2+0Q 2=5，PH=y P - (- 2) =3 -(- 2) =5 .\/ (眄7X1 ____________________ 屮H #分析： (1 ) m 记为P 点的横坐标.m=0时，直接代入 x=0，得 P (0,- 1)，则OP , PH 长易知.当m=4时，直接代入 x=4，得 P(4 , 3 ), OP 可有勾股定理求得，PH=y P -( - 2).(2 )猜想OP=PH .证明时因为P 为所有满足二次函数 y=2普-1的点,般可设(m ,■^- 1).类(3)考虑(2)结论，即函数y=2—-1的点到原点的距离等于其到I 的距离.要求A 、B 两点到I离之和的最小值.图］（2）猜想：OP=PH证明：过点P 作PQ 丄x 轴于Q , 2TP 在二次函数y=M_ - 1上,4•••设 P （m ,骨-1 ），贝 V PQ=| 骨-1|,•••幻PQ 为直角三角形,, _______ 2 | 2 21 2 2••QP=7F 2+OQ 珂备一丄）5珂（亍?+少1冷（話1）~牛+1，PH=y P -（ - 2）=（ • QP=PH .(3 )解：如图2，连接OA , OB ，过点A 作AC 丄I 于C ,过点B 作BD 丄I 于D ，此时AC 即为A在△AOB 中，：OB+OA > AB ,「.BD+AC > AB .当 AB 过 O 点时，T OB+OA=AB ,「.BD+AC=AB .综上所述，BD+AC N AB , ••AB=6 ,•BD+AC >6，即A , B 两点到直线I 的距离之和的最小值为 6.OQ=|m| 点到I 的距离，BD 即为B 点到I 的距离.13 2点评： 本题考查了学生对函数与其图象的理解， 另外涉及一些点到直线距离， 利用勾股定理就坐标系中两点间的距离及最短距离等知识点， 总体来说难度不高，但知识新颖易引发学生对数学知识的兴 趣，非常值得学生练习. (2014年河南)(23. 11分)如图，抛物线 y — x 2+bx + c 与x 轴交于A ( — 1,0),B (5,0 )两点，直线 3 y= ------x +3与y 轴交于点C,,与x 轴交于点D .点P 是x 轴上方的抛物线上一动点，过点 P 作PF 丄 4 x 轴于点F ,交直线CD 于点E •设点P 的横坐标为 m 。