第22章 二次函数总复习一、【复习目标】1、掌握二次函数的概念、基本性质，二次函数解析式的求法；2、熟练掌握二次函数的图象与性质，并会利用二次函数的图象与性质解决实际应用问题． 二、【复习导学】（二）知识点梳理：1、二次函数概念：一般地，形如 （a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数． 其中a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 注：与一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零；等号左边是函数，右边是关于 自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．2、二次函数的基本形式（1）形如：2y ax =的二次函数的图象和性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小 （2）形如：k ax y +=的二次函数的图象和性质：上加下减． （3）形如：y a x h =-的二次函数的图象和性质：（h 前面是负号时：h>0向右平移，h<0时向左平移）（4）形如：y a x h k =-+的二次函数的图象和性质：左加右减（变的是x 的变量），上加下减（变的是函数值） ，即如：由y=ax 2向左平移2个为单位再向下平移3个单位得到：y=a （x+2）2-3 ； 由y=ax 2向右平移2个为单位再向上平移3个单位得到：y=a （x-2）2+3 ．3、二次函数()2y a x h k =-+与c bx ax y ++=2的比较：从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则对于c bx ax y ++=2来说：2424b ac b h k a a -=-=，， 即对称轴是：abx 2-=对，顶点坐标是：)44,2(2a b ac a b --． 4、二次函数c bx ax y ++=2图象的画法：五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）．注：画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点． 5、二次函数c bx ax y ++=2的性质：（1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时， y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．（2）当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时， y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．6、二次函数解析式的表示方法（1）一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；知道三点的坐标用一般式． （2）顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；知道顶点坐标或对称轴和最值时用顶点式． （3）交点式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标），当函数与x 轴有 两个交点时，用交点式．注：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线 与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．7、抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用：（1）a 决定开口方向及开口大小：当a ＞0时，二次函数开口 ；当a 0时，二次函数开口向下． |a | 越大，开口越小，|a | 越小，开口越大． （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置：∵抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=∴ ①当0=b 时（即：02ab x -=）⇔对称轴为y 轴；②当a 、b 同号时（即：0>a b ，则02a b x -=）⇔则此时对称轴在y 轴左侧； ③当a 、b 异号时（即：0<a b ，则02a bx -=）⇔则此时对称轴在y 轴右侧．④对称轴abx 2-=可以建立关于a 、b 的方程或不等式，如当某二次函数的对称轴为x=1时，则12=-ab，即02=+b a ；当某二次函数的对称轴在x=1的右边时，则12>-a b ；当某二次函数的对称轴在x=1的左边时，则12<-ab．（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置：当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①0=c ⇔抛物线经过原点；②0>c ⇔抛物线与y 轴交于正半轴；③0<c ⇔抛物线与y 轴交于负半轴．8、抛物线c bx ax y ++=2中，特殊函数值：∵抛物线c bx ax y ++=2， ∴①当x=1时，c b a y ++=，即c b a ++的值是二次函数x=1时的函数值； ②当x=－1时，c b a y +-=，即c b a +-的值是二次函数x= －1时的函数值； ③当x=2时，c b a y ++=24，即c b a ++24的值是二次函数x=2时的函数值；④当x=－2时，c b a y +-=24，即c b a +-24的值是二次函数x= －2时的函数值； ⑤当x=3时，c b a y ++=39，即c b a ++39的值是二次函数x=3时的函数值；⑥当x=－3时，c b a y +-=39，即c b a +-39的值是二次函数x= －3时的函数值．9、二次函数与一元二次方程：二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）： 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况． 归纳总结：①抛物线与x 轴有 交点⇔ac b 42- 0⇔方程有 的实数根； ②抛物线与x 轴有 交点⇔ac b 42- 0⇔方程有 的实数根；③抛物线与x 轴 无 交点⇔ac b 42- 0⇔方程 的实数根； 1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．④特别的，当抛物线与x 轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的 点．⑤如抛物线与x 轴的交点分别是(x 1，0)、(x 2，0)，则抛物线的解析式可写为： ． 10、二次函数的实际问题与综合性问题．（三）考点归纳：考点1：二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 ．①y=x 2－4x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2+4x ； ④y=－3x ； ⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2+nx+p ； ⑦y =(4,x) ； ⑧y=－5x 2． 2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2+2t ，则t ＝4秒时， 该物体所经过的路程为 ．3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 ．4、若函数y=(m －2)x m－2+5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为 ．5、某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长的百分数都是x ， 那么y 与x 的函数关系是（ ）A ．y=x 2+a ；B ．y= a （x －1）2；C ．y=a （1－x ）2；D ．y ＝a （l+x ）2考点2：二次函数的对称轴、顶点、最值（技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2+k ，则最值为k ；如果解析式为一般式y=ax 2+bx+c 则最值为4ac-b 24a）1、二次函数 y=2（x －3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A ．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为（3，5） B ．开口向下，对称轴x ＝3，顶点坐标为（3，5） C ．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3，5) D ．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3，－5）2、函数2y x px q =++的图象是(3，2）为顶点的抛物线，则这个函数的解析式是（ ） A ．2611y x x =++ B ．2611y x x =-- C ．2611y x x =-+ D ．267y x x =--3、二次函数2163y x x =--的顶点坐标和对称轴分别是（ ） A ．顶点（1，4）， 对称轴 x=1 B ．顶点（－1，4），对称轴x=－1 C ．顶点（1，4）， 对称轴 x=4 D ．顶点（－1，4），对称轴x=44、抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5、抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是 ．6、若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ ．7、已知二次函数y=x 2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y 的最小值为0．考点3：函数y=a(x －h)2的图象与性质 1、填表：2、已知函数y=2x 2，y=2(x －4)2，和y=2(x+1)2．（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标．（2）分析分别通过怎样的平移．可以由抛物线y=2x 2得到抛物线y=2(x －4)2和y=2(x+1)2？3、试写出抛物线y=3x 2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标．（1）右移2个单位； （2）左移23个单位； （3）先左移1个单位，再右移4个单位．4、试说明函数y=12(x －3)2 的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）．考点4：函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质1、抛物线y=x 2+4x+9的对称轴是 ．2、抛物线y=2x 2－12x+25的开口方向是 ，顶点坐标是 ； 当x 时，y 随x 的增大而 ；当 时，y 随x 的增大而 ； 当x 时，函数有最 值是 ． 考点5：二次函数的增减性1、二次函数y=3x 2－6x+5，当x>1时，y 随x 的增大而 ；当x<1时，y 随x 的增大而 ； 当x=1时，函数有最 值是 ．2、已知函数y=4x 2－mx+5，当x>－2时，y 随x 的增大而增大；当x< －2时，y 随x 的增大而减少； 则x ＝1时，y 的值为 ．3、已知二次函数y=x 2－(m+1)x+1，当x≥1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是 ．4、已知二次函数y=－12 x 2+3x+52 的图象上有三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)且3<x 1<x 2<x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系为 ．考点6：二次函数的平移技巧：只要两个函数的a 相同，就可以通过平移重合． 平移规律：左加右减（对自变量x 的变化）；上加下减（对函数值的变化）．事实上，任何函数都可以用这样的平移规律：左加右减（对于x ）、上加下减（对于函数值）． 如：一次函数y=kx+b 向左平移3个单位，再向上平移2个单位得： ．二次函数y=ax 2+bx+c 向右平移2个单位，再向下平移3个单位得： ． 1、抛物线y=－32 x 2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为： ．2、抛物线y= 2x 2向 平移 单位再向 平移 单位，可以得到y=2(x+4}2－3．3、将抛物线y=x 2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的 关系式为： ．4、如果将抛物线y=2x 2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为： ．5、将抛物线y ＝ax 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)， 那么移动后的抛物线的关系式为： _．6、把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是 y=x 2－3x+5，则b ＝ ，c ＝ ．7、将抛物线y=ax 2+bx+c 向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x 2－4x －1则 a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ．考点7：函数的图象特征与a 、b 、c 的关系1、二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论： ①c ＜1；②2a+b=0；③0>++c b a，则正确的结论是（填序号）．2、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示对称轴为x=12-．下列结论中，正确的是（ ） A ．abc ＞0 B ．a+b=0 C ．4a －2b +c ＜0 D ．2b+c ＞0 3、二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列结论：①a ＜0；②abc ＜0；③2a+b ＜0； ④a-b+c=0．则正确的结论是 （填序号）． 4、若二次函数y=ax 2+bx+a 2-2（a 、b 为常数）的图象如图，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－25、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0abc >；②0a b c ++<； ③1a b c -+>；④420a b c -+<；⑤1c a ->．其中所有正确结论的序号是 ．第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 7、抛物线y =322+-x x 与坐标轴交点为 （ ）A ．二个交点B ．一个交点C ．无交点D ．三个交点 8、抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表所示．②抛物线的对称轴是在y 轴的右侧； ③抛物线一定经过点(3，0)； ④在对称轴左侧，y 随x 增大而减小． 从表中可知，下列说法正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9、当b<0时，一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+bx+c 在同一坐标系内的图象可能是（ ）10 、如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于（1，0），（3，0）两点，則它的对称轴为 ． 11、如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y 轴的直线，若点P （4，0） 在该抛物线上，则4a ﹣2b +c 的值为 ．12、已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，且关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ﹣m =0没有实数根，有下列结论：①b 2﹣4ac ＞0；②abc ＜0；③m ＞2．其中，正确结论的个数是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3第10题图 第11题图 第12题图x ... －3 －2 －1 0 1 ... y ... －6 0 4 6 6 (1)1 1-O x y考点8：二次函数综合性问题1、小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S （单位：平方米）随矩形一边长x （单位：米）的变化而变化．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？2、一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ． （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF 的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．3、某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现:销售单价x (元/件)与每天销售量y （件） 之间满足如图所示的关系：（1）求出y 与x 之间的函数关系式；（2）写出每天的利润W 与销售单价x 之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？x图1/件)4、如图，二次函数y= ax2+bx+c的图象与x轴交于a，b两点，其中点A（-1，0），点C（0，5），点D（1，8）都在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求直线CM的解析式；5、某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件：（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大．6、某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w（2）在（1（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？。