1 3 3 4 5 5 7 7
时间 1777年的一天 地点 布丰家里 人物 布丰邀请的众多宾客 起因 布丰请大家前来观看一次据 说非常非常奇特的实验。 经过 …… 旁白 此时布丰已经70岁！
1、纸上是一条条等距离的平行线 2、小针的长度是平行线间距离的一半 记录：①投针次数 ②针与直线相交的次数
反映这个地区或时代的数学水平。德国数学家康托说： “历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以 作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。”
• 为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路。
实验时期
• 基于对一个圆的周长和直径的实际测量得出的
• 在古代世界，实际上长期使用p =3这个数值
• 最早见于文字记载的有基督教《圣经》中的章 节，其上取圆周率为3。这一段描述的事大约发 生在公元前950年前后
密的圆周率，而且保持世界记录九百多年。以致 于有数学史家提议将这一结果命名为“祖率”
分析法时期
1593年，韦达给出
2 2 2 2 2 2 2
p2 2
2
这一公式是 p 的最早分析表达式。它表明仅仅借
助数字2，通过一系列的加、乘、除和开平方就可
算出 p 值。
沃利斯1650年给出 p 2 2 2 4 4 6 6 8 8
当投掷次数n增大的时候，这种铁丝跟平行线相交 的交点总数m应当与铁丝的长度l成正比，因而有
m=kl 式子中k是比例系数 下面求出k的值
我们知道当l =p d 时，m≈2n，即2n =k p d ，所以
k 2n
pd
于是
m 2ln
pd
从而 p 2ln （布丰公式）
dm
当
l是
d 的一半的时候，
p n
数据统计 投针次数：2212次 针与直线相交次数：704次 数据分析：2212÷704≈3.142
3.142是p近似值
历史上一些学者的计算结果(直线距离l=1)
试验者 时间 针长 投掷次数 相交次数 π的近似值
Wolf
1850 0.8
5000
2532 3.1596
Smith
De Morgan
Fox
96边形才算出p的值域.
在中国
• 刘徽 公元263年前后，刘徽提出著名的 “割圆术”求出了比较精确的圆周率。刘 徽利用正多边形面积和圆面积之间的关系， 从正六边形开始，逐步把边数加倍：正十 二边形、正二十四边形，正四十八边 形……，一直到正三○七二边形，算出圆 周率等于三点一四一六，将圆周率的精度 提高到小数点后第四位。
一个圆圈，使其
d d=2r
圆的半径为 r
直径恰好等于平 行线间的距离d， 对于这样的圆圈 来说，不管怎么
扔，圆圈都将和平行线有两个交点，因此如果圆圈
扔下的次数为n，那么相交的交点总数m=2n.现在将 圆圈拉直变成一条长为p d 的铁丝直线，根据机会均
等的原理，当它们投掷次数较多并且相等时，两者
与平行线组交点的总数也是一样的. 那么m≈2n
• 祖冲之 在刘徽研究的基础上，进一步地发展， 经过既漫长又烦琐的计算，一直算到圆内接正 24576边形，而得到一个结论：
•
3.1415926 ＜ p ＜ 3.1415927
同时得到p 的两个近似分数：
约率为22／7≈3.143 密率为355／113 ≈3.1415929
• 他算出的 p 的8 位可靠数字，不但在当时是最精
几何法时期• 真正使圆源自率计算建立在科学的基础上，首先应归
功于阿基米德。他是科学
地研究这一常数的第一个
人，是他首先提出了一种
能够借助数学过程而不是
通过测量的、能够把 p 的 圆周长大于内接正多边
值精确到任意精度的方法。形周长而小于外切正多边
由此，开创了圆周率计算 形周长．
的第二阶段。
据说阿基米德用到了正
1855 0.6 1860 1.0 1884 0.75
3204 600 1030
1218 382 489
3.1554 3.137 3.1595
Lazzerini 1901 0.83 3408
1808 3.1415929
Reina
1925 0.5419 2520
859 3.1795
释疑
r
找一根铁丝弯成
布丰投针求圆周率p
上海市张江集团学校 李磊
圆周率p的计算历程
• “圆周率”是指一个圆的周长与其直径的比值。古今中 外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出 圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个 神秘的数贡献了无数的时间与心血。
• 回顾历史，人类对 p 的认识过程，反映了数学和计算 技术发展情形的一个侧面。 p 的研究，在一定程度上
m
结语
布丰实验的重要性并非是为了求得比其它 方法更精确的p值. 布丰投针问题的重要性在于 它是第一个用几何形式表达概率问题的例子.计 算p的这一方法，不但因其新颖，奇妙而让人叫 绝，而且它开创了使用随机数处理确定性数学 问题的先河，是用偶然性方法去解决确定性计 算的前导.