蒲丰投针问题
1.蒲丰简介
蒲丰有的时候翻译成布丰，是18世纪法国著名
的博物学家。

他喜欢研究数学和生物学。

主要的贡献
有：（1）翻译了牛顿的《流数法》，流数法按现在的
说法就叫微积分。

（2）写了一本巨著，这部巨著的名
字叫《自然史》，因为他特别喜欢研究生物。

这个自
然史一共有44卷，其中他生前写了36卷，后来他学
生又完成了。

这本书对后来的世界有很大的影响，尤
其影响到一个人叫达尔文，所以蒲丰这个人其实是很
厉害的。

2.蒲丰投针
1777年，在蒲丰晚年的时候，他有一次举行了一
个家庭宴会。

邀请了一大堆他的朋友来帮他做实验。

做什么实验呢，就“投针”。

那朋友来了之后发现，就
是桌子上有很多根间距相等的平行线。

然后蒲丰就说
了，给你们同样大的针，你把这些针随机扔到这个桌子上。

然后宾客就随便扔吗，有可能这样，有可能
这样……，随便扔是吧，这都有可能，什么情况都
有可能。

有的针就没有跟平行线相交，比如这个，
这个，这个，就没有相交，也有相交的，比如这个，
这个，这个，这是相交的，对吧，然后他就数，他
说这个针一共投了多少个呢？一共投了n =2212个。

其中与这个平行线相交的针有多少
个，数了一下有m =704个。

然后他说，
我现在可以计算圆周率了，别人都不
信，他说你看我圆周率怎么算，我只
要把这两个数相除就行了。

我用n 除
以m ，这个数除完了大概是3.142，这个就是圆周率了。

别人说好神奇，这怎么回事儿，蒲丰说我给你解释解释这个原理是什么？其实这个原理并不复杂，我们来看一下它的原理是什么。

3. 蒲丰投针原理
(1)首先，它这个平行线是严格平行的，那平行线之间的距离是固定的，是a 。

然后我随意地把一根针投上去，也许相交，也许不相交，这不一定。

比如说这个针投上去了，投上去了之后，针的总长是b ，针有一个中点叫M ，对吧，这个M 到它比较近的平行线之间的距离我们设为x ，大家注意，这个是针的中点到比较近的平行线的距离是x ，所以我们应该知道x 的范围。

x 的最小值就是这个终点正好落在平行线上，那最小值是0，对吧。

最大值就
是针的中点正好在两条平行线中间，那最大值是a 2
，不会再大了。

因为我这个x 的定义是针的终点到比较近的平行线的距离，对吧！所以x ∈[0，a 2
]。

(2)其次就是我想知道这个针与这个平行线的夹角是多少？令夹角为α，α的范围是什么呢，如果你完全跟这个平行线平行的话，那么这个夹角是00，对吧。

如果你往上竖过来，
那就900，再往那边横，就1800，对吧。

所以α∈[0，π]。

3.第三就是如果
针与平行线要相
交，它的条件是
什么？我们来
看，因为针的中
点到一端的距离
是b 2
，从这个针的中点往这个平行线上作垂线，我们很显然发现这个角也是α，所以这个距离应该是多大，应
该是b 2
sin α，对不对，那么如果说这根针想能和下面的平行线相交的话，那除非什么情况，那除非b 2sin α≥x ，即针的中点到比较近的平行线的距离小于等于12
针长再乘以sin α，这是针与平行线相交的条件。

好，有了这个结论以后，蒲丰就接着说，现在我们就可以计算一个概率了。

我们来看一下这个概率怎么计算？
4.概率
首先我们知道这个x 和α都是等可能的，于是我们把它画在一个坐标轴上，横坐标是α，
α∈[0，π]，枞坐标是这个x ， x ∈[0，a 2
]，所以它应该是在这样的一个面积内。

大家注意，x 出现多少都是等可能的，α出现多少也是等可能的，所以在这个平面里面每一个点出现的概
率都是相等的，都是等可能的。

所以这个方块的面积为S 0＝a 2
π。

我们再来看一看,假如你想让这个针和平行线相交又有什么要求。

如果针和平行线相交需要满足b 2
sin α≥x 这个条件，对不对。

我们可以把它画在这张图像上，b 2
sin α的函数，其实是这样的一个函数。

sin0＝0，sinπ＝0，对吧。

你在这条线下面就能够和这个平行线相交了。

所以它如果相交的话包围的是这个面积。

我们不妨称这个面积为A ，则利用牛顿的流数法或者说叫微积分得S A ＝
b d b =⎰ααπ
sin 2
0，这个积分完了结果其实就是b 。

然后蒲丰就说，你看现在每一个点都是等可能的，而出现相交的话是在这个范围里边。

于是我用这个面积再除以整个的面积，那不就是概率吗？于是他就说，这个概率就等于S A 再除以S 0，即πa b S S P A 20==
，好这就是概率。

在蒲丰投针实验中，他设计
这个针的长度正好等于12
的平行线间距，即b =a 2
，如果我们代进去的话，那么这个
P 就等于多少？π1
=P 。

我
们又知道这个概率其实就是相交的次数比上针的总次数。

于是m
n n m P =⇒==ππ1
，对不对，所以蒲丰投针实验就成功了。

5.几何概型
蒲丰通过这种方法揭示的第一个含义就是有的时候一个随机过程它可能有无限多个结果，无限多个结果都是等可能的，这种随机过程，我们就称这种概率类型为几何概型。

所谓几何概型，不同于我们以前说的古典概型。

古典概型是说一共有n 种可能，事件A 包含m 种，那概率是多少？而几何概型是说，这有一个随机过程，它有无限多的可能结果，那么无限多的可能结果，我们的概率怎么计算，我们就要用这种方法：我们首先把这个无限多可能表示在一张图上算出它的面积来，其后再找到其中某一个事件的面积，再让这两个面积相除，是吧，这就叫几何概型，它就是蒲丰提出的。

利用几何概型，其实生活中有很多例子都可以解决。

比如我们举一个简单的“抛硬币”例子。

6.生活中几何概型的应用——抛硬币
大家有没有听过这样一个故事。

说是一个小朋友在那抛硬币，然后他爸爸就问他说你为什么要抛硬币。

他说我正在决定我的未来，如果我这个抛硬币正面朝上，我就去打游戏，如果反面朝上，我就去打篮球，如果这硬币立在桌面上我就去学习。

大家有没有想过如果一个硬币抛出去，到底有没有可能立到桌面上，如果有的话它的概率有多大？这个问题怎么算？我们要这么去解这个问题，首先这是一个桌面，有一个硬币立到桌子，如果它这个硬币正好垂直往下落的话，那如果桌子不弹的话，它确实会立到桌面上。

它如果歪一点点也有可能会立到桌面上，但是歪太多了，它就不会了。

歪到什么程度才会刚好立到桌面上，大家看。

如果硬币立到桌面上的时候，它的重心应该是对角线的中点，对吧。

它的重心作用线正好通过这个支点，这就是硬币立到桌面上的临界情况。

如果你再往回返一返的话，它就会立到桌面上，对吧。

如果你要是落地的时候更加往右斜了，它就会倒在桌面上。

所以我们得算一下这个角度，这个角度我们设它为α吧，这个α显而易见，我们要想算这个α得知道它的正切。

这个正切应该是硬币的厚度h 比上硬币的直径d ，即tan α=h d。

我们以一元硬币为例，一元硬币它的厚度是1.85毫米，而它的直径大概是25毫米。

你把它除一下，α度数大概是4。

230，tan α=h d =1.8525
，即α＝4.230。

那么这个4.230我们可以得到什么信息，咱们可以想像这个角是4.230，自然这个角也是4.230，那么这个角我们就可以计算了，它应该是85.770，对不对。

也就是说这个边，如果和右面界面夹角小于85.77度，它就会往右边倒，假如左边这个是正面的话，那它就会正面朝上。

假如它往左边翻和左侧界面的夹角小于85.770的话，它就会反面朝上。

那么在两个夹角中间它就会立起来，对不对，就这么一个可能。

所以我们令这个角为 θ，我们就得到了一个结论：若θ∈[00，85.770]，这个时候它就会出现正面朝上，若θ∈[94.230，1800]，这个时候它就会出现反面朝上，如果它正好属于中间这个部位，即θ∈[85.770，94.230]，那么它就会立起来，当然前提是它在桌面上不会弹起来。

好，那么出现这种可能的概率有多大？咱们可以想像，我们用这两数作差就看你的角度范围有多大，同时你一共有1800角度，按照几何概型得%7.4180
223.400≈⨯=P ，也就是说你还是有4.7%的可能性立起来，而正面朝上和反面朝上的概率大概都是47%，是这么一个情况。

这个其实就是几何概型，生活中其实还有很多可以利用几何概型来计算的例子。

【课外阅读探究学习】
模拟蒲丰，进行投针实验，并进行数学证明。