Pt1 P* b( xt x* ) （2）
在市场经济中，对每一商品事实上存在着两个不同的 函数： （1）供应函数x=f(P)，它是价格P的单增函数，其曲 线称为供应曲线。 （2）需求函数x=g(P)，它是价格P的单降函数，其 曲线称为需求曲线，供应曲线与需求曲线的 形状如图所示。
P
记t时段初市场上的供应量 (即上 一时段的生产 量)为xt ，市场上
设供应曲线与需求曲线的线性近似分别为
P P* a( x x* )和 P P* b( x x* )
式中，a、b分别为供应曲线在M*处的切线斜率与需求曲线 在M* 处切线斜率的绝对值。
根据市场经济的规律，当供应量为xt时，现时段的价格
Pt1 P* b( xt x* )，又对价格 Pt1 ，由供应曲线
| a | 1， 方程解 稳定
2.二阶差分方程 xk2 f (xk1, xk )
二阶常系数齐次差分方程求法
齐次差分方程
xk2 a1xk1 a2xk 0
设 xk k 是其解
特征方程 2 a1 a2 0
(1)特征方程有两个不相等实根 1, 2
xk c11k c2k2
(2)特征方程有两个相等实根 1 2
1. 一阶差分方程 xk1 f (xk ) 一阶线性常系数 xk1 axk b
由x ax b x b 1 a
平衡点: 类似于微分方程的平衡点
稳定性:
xk x (k ) x是稳定的 求解:
xk 1
axk
b, xk
xk
b 1 a
赋值，
得:
xk1 axk 0, xk (a)k x0
数学建模
差分方程建模
•处理动态的离散型的问题
•处理对象虽然涉及的变量(如时间)是连续的， 但是从建模的目的考虑，把连续变量离散化更 为合适，将连续变量作离散化处理，从而将连 续模型(微分方程)化为离散型(差分方程)问题
一.差分方程简介 二.银行复利问题 三.抵押贷款买房问题 四.减肥计划——节食与运动 五.按年龄分组的种群增长 六.商品销售量预测 七.人口增长模型
假 ❖每对兔子每个月生育出新的一对兔子 设 新的一对兔子在二个月之后具有生育能力,其次这些兔
子都不死亡
Fn : 第n个月末时兔子对数
模 型
FFn020F,n
F1
Fn1 1
Fibonacci数列
Fn
1 [(1 5 )n (1 5 )n ]
52
2
结果
Fn 5 1
Fn1
2
3.非线性差分方程xk1 f (xk ) 平衡点: x 线性化 : xk1 f (xk )
xk c11k c2k1k
(3)特征方程有一对共轭复根 1,2 ei
xk c1 k cos k c2 k sin k
非齐次差分方程
xk2 a1xk1 a2 xk f
非齐次的特解+齐次的通解
稳定性:
|1| , |2| < 1 方程解 稳定
例：兔子问题
在一年的时间里，一对兔子能够生育出多少对兔子来
f (x )(xk x ) f (x ) 稳定条件为
| f (x ) | 1
例一:市场经济的蛛网模型 在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由市场上该 商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。另 一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格 决定的，价格上升将刺激生产者的生产积极性，导致 商品生产量的增加。反之，价格降低会影响生产者的 积极性，导致商品生产量的下降。
不难看出，在 图①中平衡点 M需而图如*求 在处①何曲图供和判②线应定图中切曲平②情线线衡的况斜的点区恰率切的别好的线稳在相绝斜定哪反对率里性。值大，呢，于？
现在利用差分方程方法来研究蛛网模型，以验证上述猜测是 否正确。我们知道，平衡 点M*是否稳定取决于 在M*附近供、 需曲线的局部性态。为此， 用M*处供、需曲线的线性近似 来代替它们，并讨论此线性近似模型 中M*的稳定性。
P0
该商品的价格 为Pt 。商品成交的 价格是由需求曲线决定的， 即
P2
Pt g1( xt )
随着 t , Mt将趋于平衡
P* P1
点M*,即商品量将趋于平衡 量x*,
价格将趋于平衡价 格P*。图中的 箭线反映了在市场经济下该商品
o
的供应量与价格的发展趋势。 P
如果供应曲线和需求曲线呈图
①中的形状，则平衡点M*是稳
定的，Mt将越来越接近平衡点。
o
① 供应曲线
M2 M*
M1
M0 需求曲线
x1 x* x2 x0
x
M1 M3
M2
②
x
但是，如果供应曲线和需求曲线呈图②中的形状，则平衡点 M*是不稳定的，Mt将越来越远离平衡点。即使初始时刻的供 应量和价格对应于平衡点，一点微小的波动也会导致市场供 求出现越来越大的混乱。上述用图示法分析市场经济稳定性 的讨论在经济学中被称为市场经济的 蛛网模型。
如下解释： 当a>b时，顾客需求对价格的敏感度较小（小于
生产者的敏感程度），商品供应量和价格会自行调节而逐步
趋于稳定；反之， 若a<b（商品紧缺易引起顾客抢购），该
商品供售市场易造成混乱 .
如果生产者对市场经济的蛛网模型有所了解，为了减少因价 格波动而造成的经济损失，他应当提高自己的经营水平，不 应当仅根据上一周期的价格来决定现阶段的生产量。例如可 以根据本时段与前一时段价格的平均值来确定生产量。此时， 若t 时段的商品量为 xt 时，仍有
一.差分方程简介
❖例: 圆盘交换
条件:上小下大,一次一个,利用 b 柱,由 a 到 c.
a
b
c
设k只圆盘共移xk次， 则有k 1只共移
xk 1 2xk 1 差分方程(递归公式)
xk 1 2xk 1 2(2xk1 1) 1 22 xk1 2 1 22 (2xk2 1) 2 1 23 xk2 22 2 1 2k x1 2k1 2 1 即: xk 2k 1
Pt1 P* a( xt1 x* ) 解得下一时段的商品量
xt 1
x*
1 a
( Pt1
P*)
x*
1 [P* a
b( xt
x*)
P*]
x*
b a
( xt
x* )
由此导出一阶差分方程：
xt 1
b a
xt
1
b x* a
（1）
此差分方程的解在 (b/a)<1时是稳定的，从而证实了我们的
猜测。注意 到a和b的实际含义，上述结果在经济学上可作