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布洛赫定理推论---布洛赫波和布洛赫电子
根据布洛赫定理，周期晶格势场中运动的单电子的波函数一 定可以表示为：
(r ) A(r )ei k r

其中A(r)具有与晶格同样的点阵平移不变性，即
A(r R m ) A(r)
上述波函数满足布洛赫定理：
(r R m ) A(r R m )ei k (r R ) A(r)ei k r ei k R (r)ei k R
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单电子近似<平均场近似>
多电子近似下每个电子的运动除受到离子实势场的影响， 还受到其它电子的作用。所有电子是关联的。 作为一种近似，我们可用一种平均场 ( 自洽场 ) 来代替电子 之间复杂的相互作用。 固体内的每个电子都受到一个等效势 场 U(r) 的作用，其包括离子实产生势场、其他电子作用的等 效势场以及波函数反对称性所带来的交换作用。 多电子问题简化为单电子问题，所有电子都满足同样的薛 定谔方程：
绝热近似
2 2 1 e2 j U( r1 , , rj ,) ( r1 , , rj ,) E ( r1 , , rj ,) 2 m 2 4 r j' j' j 0 j' , j j
单电子近似
2 2 [ U( r )] ψ( r ) Eψ( r ) 2m
U (r) U (r R m )
ik Rm
的波函数解(r)满足下列关系式：
(r R m ) (r)e
Rm表示任意的一个晶格平移矢量。 即为布洛赫定理。
布洛赫定理表明：晶格周期场中单电子波函数 (r) 在平移
Rm后，只是相差一个模量为1的相位因子，即晶格周期场中电 子在各原胞对应点上出现的几率相同。 电子共有化；扩展态。
周期场近似
2 2 [ U (r )] (r ) E (r ) 2m
U (r) U (r R m )
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5.1 布洛赫理论
晶体电子理论的基本假定
布洛赫定理
布洛赫波能谱特征
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布洛赫定理
周期场中单电子薛定谔方程：
2 2 [ U (r )] (r ) E (r ) 2m
离子实动能 离子实间作用势能
2 2 2 2 1 e2 j n U0 ( R1 , , Rn ,) U( r1 , , r j , , R1 , , Rn ,) ( rj , , R j ,) 2 m 2 M 2 4 r n j' j' j 0 j' , j j
晶体中电子的运动规律，说明了固体为什么会有导体、非导体的区别；
晶体的平均自由程为什么为什么远大于原子的间距等。 能带论提供了分析半导体理论问题的基础，有力地推动了半导体技术的
发展。
到二十世纪六十年代以后，由于研究固体的实验工作的重大发展，以 及电子计算机的应用，使能带理论的研究从定性的普遍性规律发展到对 具体材料复杂能带结构的计算。
2 2 [ U( r )] ψ( r ) Eψ( r ) 2m
其实此时我们讨论的电子不再束缚于个别原子，而在整个固体 6 运动，称为共有化电子。
周期场近似
2 2 [ U (r )] (r ) E (r ) 2m
U (r) U (r R m )
r 1a1 2a 2 3a3 R m m1a1 m2a 2 m3a3
2 2 1 e2 j U( r1 , , rj ,) ( r1 , , rj ,) E ( r1 , , rj ,) 2 j ' j ' j 4 0 rj ' , j j 2m
多电子近似下的薛定谔方程，多体问题，求解仍困难!!!
E (r1 , , r j , , R1 , , Rn , ) 电子-离子实间
电子动能 作用势能 电子间库仑作用势能
求解是不可能的，必需通过近似简化！！！
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多电子近似<绝热近似>
电子质量m远小于原子核的质量M，因此，可认为电子是 在固定不动的离子实产生的势场中运动。 假定离子实不动，哈密顿算符中无其动能项。同时通过 势能零点的选取，可使离子实间的相互作用势能等零。 由大量电子和离子实组成的多粒子体系就简化成了一种多 电子系统。离子实只提供势场。
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主要内容布洛赫理论Fra bibliotek紧束缚近似
近自由电子近似
能带电子的经典近似 能带结构
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5.1 布洛赫理论
晶体电子理论的基本假定
布洛赫定理 布洛赫能谱特征
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多粒子体系薛定谔方程
实际晶体由大量原子核和电子组成得多粒子体系。大多数情况 下，人们主要关心价电子，内层电子和原子核形成离子实，晶 体可以看作价电子和离子实组成。粒子之间存在相互作用，对 应的薛定谔方程：
如果忽略势能项U(r)，上面方程的解就是自由电子的平面 波波函数。 在一般情况下，晶格周期势场 U(r) 的形式比较复杂，求解 单电子薛定谔方程依然是十分困难的。因此在处理实际问题
时需要根据具体的情况采用不同的近似方法。
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2 2 2 2 1 e2 U ( R , , R , ) U ( r , , r , , R , , R , ) (rj ,, R j ,) E (rj ,, R j ,) j n 0 1 n 1 j 1 n 2 m 2 M 2 4 r n j ' j ' j j 0 j ', j
固体电子理论发展历史
历史上，随着人们对固体电子运动认识的逐步深入，陆续提出和发展 了经典自由电子理论、量子自由电子理论和能带理论。能带理论是目前
研究固体中电子运动的主要理论
二十世纪二十年代，在利用量子力学研究金属电导理论的过程中建立 了能带理论。最初的成就在于解决了经典电子理论遇到的困难，阐明了