第三章 金属电子论
1
能带理论
对能带的初步认识
固体：每立方1029 数量级的原子核和 电子的多粒子系统
根据原子结构理论，每个电子都占有一个分立的能级。 泡利(Pauli)不相容原理指出，每个能级只能容纳2个电子。
当N个原子相互靠近形成一个固体时，泡利不相容原理仍 然成立，即在整个固体中，也只能有2个电子占据相同的能级。 当这两个原子的距离足够近时，它们的同能级(例如2s)轨 道的电子就会相互作用，以致不能再维持在相同的能级。 当固体中有N个原子，这N个原子的2s轨道的电子都会相 互影响。这时就必须出现N个不同的分立能级来安排所有这些 (例如2s)轨道的电子，而这些电子共有2N个。 2s轨道的N个分立的能级组合在一起，成为2s的能带。
在这样一个具有晶格周期性的等效 势中, 薛定谔方程的解有什么特点？
在量子力学建立以后，布洛赫（F.Bloch） 和布里渊（Brillouin）等人就致力于研 究周期场中电子的运动问题。他们的工 作为晶体中电子的能带理论奠定了基础。
布洛赫定理
布洛赫
1905年10月23日出生于瑞士的苏黎世，上完中学后， 他本来想当一名工程师，于是就直接进入苏黎世的联邦 工业大学。一年后，决定转学物理，通过薛定谔、德拜 等教授的课程，他逐渐熟悉了量子力学。后来他到德国 莱比锡大学跟海森堡继续研究。1928年获得博士学位。 以晶体中电子的量子力学和金属导电理论方面的内容做 论文。1933年到美国。1934年起在斯坦福大学任教。 1939年加入了美国国籍。1952年获得诺贝尔奖。1954年 曾担任过欧洲核子研究中心的第一任主任，回到斯坦福 大学后，曾经研究过超导电性和低温下的其它现象。 1983年9月10日逝世于慕尼黑，享年78岁。
Байду номын сангаас12
§3.3 布洛赫定理 1.定理表述
表述一：对于周期性势场
V (r Rn ) V (r )
其中，Rn为布拉维格子的所有格矢，单电子薛定谔方程
2 2 V ( r ) ( r ) ( r ) 2m
的本征波函数是按布拉维格子周期性调幅的平面波 ，即
6
7
能带理论是一个近似的理论 1. 单电子近似 将价电子看成独立地在一个等效势场中运动, 它包 括离子实的势场, 其它价电子的平均势场以及考虑 电子波函数反对称性而带来的交换作用。采用哈特 里－福克(Hartree-Fock) 自洽场方法处理等效势场 2. 绝热近似 讨论共有化电子的运动状态时假定原子实处在其平 衡位置, 而把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰 3. 周期场近似 对于理想晶体, 原子规则排列成晶格, 晶格具有周 期性, 因而等效势场 V(r) 也应具有周期性
4
在Na的3s价带上，当温度为绝对零度时，只有一半的低能 级被电子占据，另一半的(高)能级没有电子占据。
能带中有一半的能级被电子占据，最高的占据能级称为费密能级。
而当温度大于绝对零度时，有一些电子获得了能量，跳到 价带里的较高能级，而在相对应的较低的能级上失去了电子， 产生了相同数量的空穴。
能带中电子随温度升高而进行能级跃迁 (a) 绝对零度时，所有外层电子占据低的能级； (b)温度升高，部分电子被激发到原未被填充的能级
这样，晶体中的电子就是在晶格周期性的等效势场 中运动，满足薛定谔方程为：
2 [ V ( r )] E 2m
晶格周期性势场
2
V ( r ) V ( r Rn )
任意晶格矢量。
9
V (r )
+ + + +
r
周期势场示意图
晶体中的电子就是在晶格周期性的等效势场中运动， 2 2 满足薛定谔方程 [ V ( r )] E 2m 晶格周期性势场 V ( r ) V ( r R ) n
5
能带理论 研究固体中电子分布、运动的主要理论基础 能带理论 —— 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点 —— 说明了导体、非导体的区别 —— 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距 —— 能带论提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导 体技术的发展 —— 随着计算机技术的发展，能带理论的研究从定性的普遍 性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计算
布洛赫定理 当平移晶格矢量 ，波函数只增加了位相因子
电子的波函数
ik r ( r ) e uk (r )—— 布洛赫函数
布洛赫是一位在近代物理理论和实验都作出过巨大贡献的物理学家。 他早年的博士论文“金属的传导理论”就是一项很有价值的科学文献， 提供了金属和绝缘体结构的近代图像，是半导体研究的理论基础。他的 名字在固体物理学中多次提到，例如：所谓的布洛赫方程、布洛赫波函 数、布洛赫自旋波、布洛赫壁，以及铁磁物质磁化时的布洛赫效应、自 发磁化的布洛赫 T3/2 定律等等都是出自他的创建。
2
电子数量增加时能级扩展成能带
3
例如Na，核外电子结构为：1s22s22p63s1。 当N个Na原子相互靠近形成一个固体时，形成能带，为1s带， 2s带，2p带，3s带，3p带。 内层电子受到外来影响小，3s带受到外来影响最大。 Na的3s电子是价电子，所以3s带也叫价带。由于钠原子只有 1个3s电子，所以在Na固体的3s价带上，只有一半的能级被电 子所占据。 自然，这些3s带里被电子占据的能级应该是能量较低的能级， 而能量较高的能级很少有电子占据。 Na的3p带也叫导带，由于Na的3p能级没有电子，所以Na固 体的3p带也没有电子，是空带。 如果受到外来能量的激发，3s带的电子可能跃迁到3p带上去。 在3s带和3p带之间有一段能量区域是永远不可能有电子的， 这个能量区域叫禁带，也称带隙。
且
ik r k ( r ) e uk ( r ) uk (r Rn ) uk (r )
表述二：对于上述薛定谔方程的每一本征解，存在一波矢k， 使得对于属于布拉维格子的所有格矢Rn都有：
ik Rn (r Rn ) e (r )