ˆ ˆ H (r )TRn (r ) ˆ, H ˆ]0 [T
所以平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。
推导中用到了周期势的假定和微分算符中的变量 改变一常矢量不影响微分结果。即：
V (r ) V (r Rn ) 2 2 2 2 2 2 2 2 r 2 2 2 r R 2 2 2 n ( x n a ) ( y n a ) ( z n a ) x y z 1 1 2 2 3 3
n
（3）平移算符的本征值 设 TR 对应的本征值为 (Rn )，波函数 ( r ) 和 是 TR ˆ 共同的本征函数。则有 H
n
ˆ T ( Rn ) (r ) (r Rn ) ( Rn ) (r ) H (r ) E (r )
(3)
对易的算符有共 同的本征函数
ˆ T
ik Rn ( Rn ) e
(1)引入平移对称算符 TR n
f (r ) f (r R ) 平移对称算符的定义： TR n n
平移对称算符的性质： 2 f (r ) T f (r R ) f (r 2 R ) TR n n Rn n l f (r ) f (r lR ) TR n n T T T T TR Rm Rn Rn Rm n Rm
根据波函数的归一性：
2 2 2 ( r ) dr T ( R ) ( r ) dr ( R ) ( r ) dr 1 n n
但是： ( Rn ) (r ) (r ) 2 所以只能有： ( R ) 1 n 从而 ( Rn )可以写成如下形式 ：
i ( Rn ) ( Rn ) e
( Rn ) k Rn
所以平移算符的本征值为：
ik Rn (Rn ) e
所以：
ik Rn (r Rn ) e (r )
---布洛赫定理得证。
ˆ TRn (r ) (r Rn ) ( Rn ) (r )
e
i ( Rm Rn )
e
i ( Rm ) i ( Rn )
e
两边取对数得：
上式仅当 与Rn 之间呈线性关系才能得到满
足，所以，可取：
( Rm Rn ) ( Rm ) ( Rn )
( Rn ) k Rn
2 2 2 2 ˆ ˆ H (r Rn ) rR V (r Rn ) r V (r ) H (r ) n 2m 2m ˆ 具有晶格周期性。 晶体中单电子哈密顿量 H
由于对易的算符有共同的本征函数,所以如 的本征函数,那么 ( r ) 也一定 果波函数 ( r ) 是 TR ˆ 的本征函数。 是算符 H
把遵从周期势单电子薛定谔方程的电子,或用布洛 赫波函数描述的电子称为布洛赫电子(Bloch electron), 相应的描述晶体电子行为的这种波称为布洛赫波.
ik Rn (r Rn ) e (r )
ik r k (r ) e ukRn ) e (r )
可以看出平面波 e
ik r
能满足上式：
1 ik( r 1 Rn ) ik Rn ik r ik Rn (r Rn ) e e e e (r ) V V
V
所以,对自由电子情形,动量算符有确定的本 征值,代表电子的动量。 但是,对于布洛赫电子,由 于布洛赫波函数： ik r ik r (r ) e u (r ) i k (r ) k k (r ) ie uk (r )
(r R ) u (r ) uk n k
i ( k G 1 iGh r ik r h ) r a(k Gh )e e a(k Gh )e V h h
所以,线性叠加后的平面波是布洛赫波函数,可 以描述晶体电子.
说明： 在第一章描述的自由电子情形,由于波函数： 1 ik • r k (r ) e i (r ) k (r ) k k
因此矢量 k 具有波矢的意义
当波矢增加一个倒格矢Gh ,平面波 e
i ( k Gh )r
也满足上式。 因此电子的波函数一般是这些平面波的线 性叠加。
1 k (r ) V
iG 1 h r 设uk (r ) a ( k G ) e h V h iG 1 h ( r Rn ) (r R ) uk a ( k G ) e n h V h 1 iG 1 h r iGh Rn a(k Gh )e e uk ( r ) V h ik r k ( r ) e uk ( r ) 则上式化为
2m
V r V r Rn 其中 Rn
的本征函数是按布拉维格子周期性调幅的平面 波,即: ik r k (r ) e uk (r ) 且 uk r uk r Rn
且对 Rn 取布拉维格子的所有格矢成立。
所以 ,布洛赫波函数不再是动量算符的本征函 数, k 不再代表布洛赫电子的动量。
k k
一般把 k称为晶体动量(crystal momentum),而把 k 理
解为标志电子在具有平移对称性的周期场中不同状态 的量子数,其取值由边界条件来确定.
3. 波矢k 的取值
设晶体在三个基矢a1、a2、a3方向各有N1、N2、 N3个原胞，与第一章类似，我们选取周期性边 界条件(平移对称性的要求) 则波函数应满足： (r Ni ai ) (r ) i 1, 2,3 (r ) ( r N1a1 ) 即： (r ) (r N 2 a2 ) (r ) ( r N 3 a3 ) 其中 ai为布拉维格子的三个基矢；N i 为晶 1 体沿 a 方向的原胞数目, N i 的量级为 N 3 的整 i 数；原胞总数 N N1 N2 N3
因此,布洛赫定理也可以表述为: 在以布拉维格子原胞为周期的势场中运动的电 子，当平移晶格矢量 R 时，单电子态波函数只 n ik Rn 增加一个相位因子e , 亦即满足 成立。 具有上述形式的波函数称为布洛赫波函数。
对属于布拉维格子的所有格矢 Rn
ik Rn (r Rn ) e (r )
ˆ T ˆ T ˆ ( R ) ( R ) ( R ) ( R R ) T m m n m n Rn Rm Rn
( Rm Rn ) ( Rm ) ( Rn )
i ( Rn ) 将 ( Rn ) e 代入 ( Rm Rn ) ( Rm ) ( Rn ) 中得：


这就是布洛赫定理
Rn n1a1 n2 a2 n3a3
ik r 显然,按照该定理： k (r ) e uk (r ) 且 uk r uk r Rn
ik ( r Rn ) (r R ) k (r Rn ) e uk n ik Rn ik r ik Rn e e uk ( r ) e k ( r )
2 2 (r ) k ( r Rn ) k
uk (r Rn ) uk (r )
与自由电子相比,晶体周期势场的作用只是用一个调 幅平面波取代了平面波.显然,它是一个无衰减的在晶 体中传播的波,不再受到晶格势场的散射.因此可以认 为布洛赫电子在整个晶体中自由运动,布洛赫函数的 平面波因子描述晶体中电子的共有化运动,而周期函 数的因子描述电子在原胞中运动,这取决于原胞中电 子的势场.
2 ˆ H V (r ) 2m
2
V (r ) V (r Rn ),
因为：
2 2 ˆ ˆ ˆ T ( Rn ) H (r ) (r ) T ( Rn ){[ r V (r )] (r )} 2m
2 2 [ r Rn V (r Rn )] (r Rn ) 2m 2 2 [ r V (r )] (r Rn ) 2m
2. 布洛赫定理的证明
Rn n1a1 n2 a2 n3a3
Rn ,只要证得 对属于布拉维格子的所有格矢
ik Rn (r Rn ) e (r ) 即可。
证 明 思 路
(1)引入平移对称算符 TR n
ˆ, H ˆ ] 0 (2)说明: [T
i ( Rn ) ( Rn ) e
i ( Rn ) ( Rn ) e
(r Rn )和 (r ) 从 (r Rn ) ( Rn ) (r ) 可以看出，
仅差一个相位因子。 另外，根据平移算符的性质： T T T T TR Rm Rn Rn Rm n Rm
n
ˆ ˆ ˆ ( R ) (r ) HT ( Rn ) (r ) T ( Rn ) H (r ) (r ) ET n
n
利用对易性，则有:
所以波函数 ( r ) 和 TR (r ) 或 (r Rn ) 是哈密顿
算符的同一能量本征值的本征函数，它们只能相 差一个常数。
第一节 布洛赫定理、布洛赫波及能带 本节主要内容: 一、 布洛赫定理及证明 二、 布洛赫波能谱特征 三、 能带的图示 四、 能带的对称性 五、 等能面垂直于布里渊区界面