【题1】将一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1=60°，则∠2
的度数为
【题2】如图，AB ∥DE ，∠1=25°，∠2=110°，求∠BCD
的度数．
【题3】如图，AM ∥BN ，C 是BN 上一点，O 是射线CP 上的点，∠MAO 的平分线与∠OBN 的平分线交于点D ．
（1）当点O 在AM 与BN 之间时，如图2所示，求证：∠D=12
∠AOB ；（2）当点O 在AM 上方时，如图3所示，试判断（1）中的结论是否依然成立，给出结
论，并对你给出的结论加以证明．
平行线动点问题
模块一课前检测
变相考察平行线四大模型，依然遵循“逢拐作平行”原则。
【例1】已知AB ∥CD ，线段EF 分别与AB 、CD 相交于点E 、F ．
（1）如图①，当∠A=20°，∠APC=70°时，求∠C 的度数；
（2）如图②，当点P 在线段EF 上运动时（不包括E 、F 两点），∠A 、∠APC 与∠C 之间有怎样的数量关系？试证明你的结论；
（3）如图③，当点P 在线段EF 的延长线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，
请说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的数量关系并证明．
模块二
动点与角度
知识点睛典型例题
【巩固】直线AB∥CD，直线a分别交AB，CD于点E，F，点M在直线EF上，点P是直线CD上的一个动点（点P不与点F重合）
（1）如图，当点P在射线FC上移动时，∠FMP+∠FPM与∠AEF有什么数量关系，请说明理由．
（2）当点P在射线FD上移动时，请画出图形并探究∠BEM，∠DPM，∠EMP有什么数量关系，请说明理由
【变式】如图，已知直线EF∥MN，点A、B分别为EF、MN上的动点，且∠ACB=90°，BD 平分∠CBN交EF于D．
（1）若∠FDB＝120°，如图1，求∠MBC的度数；
（2）在（1）的条件下，如图1，求∠EAC的度数；
（3）延长AC交直线MN于G，如图2，GH平分∠AGB交DB于H，问∠GHB是否为定值，若是，请求值，若不是，请说明理由．
【例2】已知：如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点，直线d与直线a、b分别相交于A、B两点．
（1）如图1，当点P在线段AB上（不与A、B两点重合）运动时，∠1、∠2、∠3之间有怎样的大小关系？请说明理由；
（2）如图2，当点P在线段AB的延长线上运动时，∠1、∠2、∠3之间的大小关系为；
（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上运动时，∠1、∠2、∠3之间的大小关系为．
【巩固】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
（2）如图2，当∠E=90°且AB与CD的位置关系保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD否存在确定的数量关系？并说明理由；
（3）如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持不变，当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．
【变式】如图，已知AB ∥CD ，直线l 分别截AB 、CD 于E 、C 两点，M 是线段EC 上一动点（不与E 、C 重合），过M 点作MN ⊥CD 于点N ，连结EN ．
（1）如图1，当∠ECD=40°时，填空：∠FEB=；∠MEN+∠MNE=；
（2）如图2，当∠ECD=α°时，猜想∠MEN+∠MNE 的度数与α的关系，并证明你的
结论．
三角板有特殊的直角与直角顶点，通常该顶点与平行线结合会组成我们熟悉的平行线四大模型，同样采取“逢拐作平行”的思路，将结论合理运用。
模块三平行线与三角板
知识点睛
【例3】将一副三角板如图所示位置摆放．
（1）直接写出∠AOC 与∠BOD 的大小关系，不需证明；
（2）图1中的三角板AOB 不动，将三角板COD 绕点O 旋转至CO ∥AB （如图2），判断DO 与AB 的位置关系，并证明．
（3）在（2）的条件下，三角板COD 绕点O 旋转的过程中，能否使CD ⊥AB ？若能，求出此时∠AOC
的度数；若不能，请说明理由
【巩固】小明将一直角三角板(∠A=30°）放在如图所示的位置，
（1）经测量知∠GEA=∠A ，求∠BDF ；
（2）将三角板进行适当的转动，直角顶点始终在两直线间，M 在线段CD 上，且∠CEM=∠CEH ，给出下列结论：①∠MEG/∠BDF 的值不变；②∠MEG —∠BDF 的值不变。
其中
只有一个是正确的，请你做出正确的选择并求值。
典型例题
能力提升
图形通常与平行线四大模型相结合，同样采取“逢拐作平行”的思路，将结论合理运用。
【例4】如图，已知直线CB ∥OA ，∠C=∠OAB=100°，E ，F 在BC 上，满足∠FOB=∠AOB ，OE 平分∠COF ．
（1）求∠EOB 的度数；
（2）若平行移动AB ，则∠OBC ：∠OFC 的值是否发生变化？若变化找出变化规律，
若不变求其比值．
【巩固】AB ∥CD ，点C 在点D 的右侧，∠ABC ，∠ADC 的平分线交于点E （不与B ，D 点重合）．∠ABC ＝n °，∠ADC ＝80°.
（1）若点B 在点A 的左侧，求∠BED 的度数（用含n 的代数式表示）；
（2）将（1）中的线段BC 沿DC 方向平移，当点B 移动到点A 右侧时，请画出图形并判断∠BED 的度数是否改变.若改变，请求出∠BED 的度数（用含n 的代数式表示）；若不
变，请说明理由.
模块四
动线段（动直线）与平行线知识点睛
典型例题
能力提升
【2014-2015洪山区期末】如图，长方形ABCD 在平面直角坐标系中，点A(1，8)，B(1，
6)，C(7，6)，点X 、Y 分别在x 、y 轴上
(1)请直接写出D 点的坐标_________
(2)连接线段OB 、OD ，OD 交BC 于E ，∠BOY 的平分线和∠BEO 的平分线交于点F ，若∠BOE ＝n ，求∠OFE 的度数
(3)若长方形ABCD 以每秒2
3个单位的速度向下运动，设运动的时间为t 秒，问在第一象限内是否存在某一时刻t ，使△OBD 的面积等于长方形ABCD 的面积的？若存在，请求出t
的值；若不存在，请说明理由
模块五真题链接
【题1】如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C 和D ，在C 、D 之间有一点P ，
（1）如果P 点在C 、D 之间运动时，问∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系是否发生变化．
（2）若点P 在C 、D 两点的外侧运动时（P 点与点C 、D 不重合），试探索∠PAC ，∠APB ，∠PBD
之间的关系又是如何？
【题2】如图，AB ∥CD ，P 为定点，E 、F 分别是AB 、CD 上的动点．
（1）求证：∠P=∠BEP+∠PFD ；
（2）若M 为CD 上一点，MN 交PF 于N ．证明：∠PNM=∠NMF+∠NFM ；（说明：不能运用三角形内角和定理）
（3）在（2）的基础上，若∠FMN=∠BEP ，试说明∠EPF 与∠PNM 的关系，并证明你
的结论．
课后作业。