pij 第一放大系数（开环增益） qij 第二放大系数（闭环增益）
2. 相对增益与相对增益矩阵
第一放大系数pij （开环增益） 指耦合系统中，除Uj到Yi通道外，其它通道 全部断开时所得到的Uj到Yi通道的静态增益; 即，调节量 Uj 改变了 Uj 所得到的 Yi 的变化 量 Yi 与 Uj 之比，其它调节量 Uk （ k≠j ）均 不变。 pij可表示为：
通过计算过程的微分分别计算出第一放大系数和 第二放大系数，从而得到相对增益矩阵。
另一种方法是增益矩阵计算法
先计算第一放大系数，再由第一放大系数直接计 算第二放大系数，从而得到相对增益矩阵。
2. 相对增益与相对增益矩阵
增益矩阵计算法
即由第一放大系数直接计算第二放大系数。
2. 相对增益与相对增益矩阵
的根所决定。即特征方程的根具有负实部， 两个关联回路是稳定的。
1. 耦合过程及其要解决的问题
通常认为，在一个多变量被控过程中，如果每一个被控
变量只受一个控制变量的影响，则称为无耦合过程，其分 析和设计方法与单变量过程控制系统完全一样。
存在耦合的多变量过程控制系统的分析与设计中需要解决 的主要问题： 1. 如何判断多变量过程的耦合程度？ 2. 如何最大限度地减少耦合程度？ 3. 在什么情况下必须进行解耦设计，如何设计？
1. 耦合过程及其要解决的问题
稳定性如何判别？
1. 耦合过程及其要解决的问题
当两个回路有关联时，则闭环稳定性由特征方程：
Q(s) [1 G11 (s)Gc1 (s)][1 G22 (s)Gc 2 (s)] G12 (s)G21 (s)Gc1 (s)Gc 2 (s) 0
式中
K 22 h11 K11 K 22 K12 K 21
K12 h12 K11 K 22 K12 K 21
由相对增益ij元素构成的矩阵，即
11 12 21 22 n1 n 2
yi
1n 2 n nn
uj
2. 相对增益与相对增益矩阵
相对增益的计算
确定相对增益，关键是计算第一放大系数和 第二放大系数。 一种方法是偏微分法
Yi pij U j
U k const
Uj → Yi的增益 （仅Uj → Yi通道投运， 其他通道不投运）
2. 相对增益与相对增益矩阵 第二放大系数qij （闭环增益）
指除所观察的 Uj 到 Yi 通道之外，其它通道均 闭合且保持Yk（k≠j）不变时，Uj到Yi通道之 间的静态增益。 即，只改变被控量Yi所得到的变化量Yi与Uj 的变化量Uj之比。 qij可表示为：
（7.3）
2. 相对增益与相对增益矩阵
引入 H 矩阵，则（ 7.3 ）式可写成矩阵形式， 即
U1 ( s) h11 h12 Y1 ( s) U ( s) h 1 21 h22 Y2 ( s)
（7.4）
2. 相对增益与相对增益矩阵
Y1 K11 K12 U1 Y K K U 2 21 22 2
（7.2）
2. 相对增益与相对增益矩阵
由（7.2）式得
K 22 K12 U1 Y1 Y2 K11 K 22 K12 K 21 K11 K 22 K12 K 21 K 21 K11 U 2 Y1 Y2 K11 K 22 K12 K 21 K11 K 22 K12 K 21
如果G12(s)和G21(s)有一个不等于零，系统为半耦合或 单方向关联系统。 如果G12(s)和G21(s)都不等于零，系统为耦合或双向关 联系统。
1. 耦合过程及其要解决的问题
U1控y1,u2控y2?还是U1控y2,u2控y1? 选择控制作用Uj和yi的影响条件：
1. 选择u对y 有直接和快速影响，同时， y 对u的滞 后很小。 2. 选择(u,y)后使控制回路间的关联程度最小。
解耦控制系统
学习内容
1 耦合过程及其要解决的问题 2 相对增益与相对增益矩阵 3 解耦控制系统的设计
1. 耦合过程及其要解决的问题
在一个生产装置中，往往需要设置若干个控制回路， 来稳定各个被控变量。在这种情况下，几个回路之间， 就可能相互关联，相互耦合，相互影响，构成多输入多输出的相关（耦合）控制系统。
2. 相对增益与相对增益矩阵
令某一通道在其它系统均为开环时的放大系 数与该一通道在其它系统均为闭环时的放大 系数之比为λij，称为相对增益; 相对增益 λ ij 是 Uj 相对于过程中其他调节量对 该被控量Yi而言的增益（ Uj → Yi ）； λ ij定义为
pij ij qij
PC FC
u1
PT
FT
u2
图 6-8 关联严重的控制系统
1. 耦合过程及其要解决的问题
控制回路间的关联
控制系统的关联情况可以 通过传递函数矩阵来表示。
u1
G11(s) G12(s) G21(s)
u2
y1
Gij(s)表示第i个输入Ui 对第j 个输出yj的传递函数。
y2
G22(s)
1. 耦合过程及其要解决的问题
U1
K11 K2
图7.2 双变量静态耦合系统
Y2
2. 相对增益与相对增益矩阵
由图可得
Y1 K11U1 K12 U 2 Y2 K 21U1 K 22 U 2
（7.1）
2. 相对增益与相对增益矩阵
引入K矩阵，（7.1）式可写成矩阵形式，即
Yi qij U j
Yk const
Uj → Yi的增益 （不仅Uj → Yi通道投运，其 他通道也投运）
2. 相对增益与相对增益矩阵
相对增益ij定义为：
Yi ij qij U j pij
U k const
Yi U j
Yk const
2. 相对增益与相对增益矩阵 相对增益矩阵