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点 O 为△ABC 的外接圆圆心． 又点 P 在平面 ABC 上的射影为△ABC 的外接圆圆心， 所以 PO⊥平面 ABC， 又 PO⊂平面 PAC，所以平面 PAC⊥平面 ABC． （2）解：由（1）可知 PO⊥平面 ABC， 所以 PO⊥OB，PO⊥OC，OB⊥AC， 以 OC，OB，OP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐 标系， 则 O（0，0，0），C（1，0，0），B（0，1，0），A（﹣1，0，0），P（0，0， 1）， 设 ＝ ，λ∈[0，1]， ＝（1，0，1），M（λ﹣1，0，λ），
.
所以△ABC 面积的最大值为
.
18. 如图，在三棱锥 面 上的射影为
（1）证明：平面
中，已知
，
的外接圆圆心．
⊥平面 ；
（2）若点 M 在棱 PA 上，
，且二面角
求 的值．
，顶点 在平 的余弦值为 ，试
解：（1）证明：如图，设 AC 的中点为 O，连接 PO， 由题意，得 BC2+AB2＝AC2，则△ABC 为直角三角形，
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2020届河北省衡水中学2017级高三下学期九调考试数学（理）试卷
＝2 ．
6. 设 m，n 为正数，且 m+n＝2，则 1 n 3 的最小值为（ ） m1 n 2
A．
B．
C．
D．
解：当 m+n＝2 时，
，
因为
，
当且仅当 m+1＝n+2，即
， 时取等号，则
，即最小
值为 ．
故选：D．
7. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表
＝（1，﹣1，0）， ＝（1，0，﹣1）， ＝（2﹣λ，0，﹣λ）， 设平面 MBC 的法向量为 ＝（x，y，z），
则
，令 x＝1，得 ＝（1，1， ），
设平面 PBC 的法向量为 ＝（x，y，z），
由
，令 x＝1，得 ＝（1，1，1），
∵二面角 P﹣BC﹣M 的余弦值为
，
∴cos＜ ＞＝ 解得
＝
＝
2. 复数 z i 的虚部为（ ） 5i
A． 5 26
B． 5 i 26
解：∵
＝
C． 5 26
，
D． 5 i 26
∴复数
上的虚部为 ．
故选：A． 3. 某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择 15 名志愿者，对其身高和臂展 进行测量（单位：厘米），左图为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图，右图
可得 的取值范围为[﹣ ，0），
故选：A．
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二、 填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.）
13.
x
1 7x
7
的展开式的第
2
项为
．
解：（x﹣ ）7 的展开式的第 2 项为 T2＝ •
•x5＝﹣x5，
故答案为：﹣x5．
1（a＞0，b＞0），点 P（x0，y0）是直线 bx﹣ay+4a
＝0 上任意一点，若圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝1 与双曲线 C 的右支没有公共点， 则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A．（1，2]
B．（1，4]
C．[2，+∞） D．[4，+∞）
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为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 中不正确的为（ ）
1.16x﹣30.75，以下结论
A．15 名志愿者身高的极差小于臂展的极差
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B．15 名志愿者身高和臂展成正相关关系
C．可估计身高为 190 厘米的人臂展大约为 189.65 厘米
D．身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11.6 厘米
14. 已知 中，
，
，
，若点 满足
________.
解： ＝
，所以：
，
Hale Waihona Puke ，则以及 AB＝3，AC＝5，BC＝7，cos∠BAC＝
＝﹣
可得 所以 ＝
＝ ＝（
＝， ）•（ ﹣ ）
＝
＝﹣12．
故答案为：﹣12．
15. 记 等 差 数 列 的 前 项 和 为 ， 若
1n a3n 的前 项和
．
，
，则数列
解：因为{an}是等数差数列，S17＝459⇒17a9＝459⇒a9＝27，而 a2+a4＝18，
即 sinC（1+3cosA）＝0，
因为 sinC≠0，
，且 D．
所以 cosA＝﹣ ，
由余弦定理可得 a2﹣b2﹣c2＝﹣2bccosA＝ bc＝2，
所以 bc＝3，
由△ABC 的面积公式可得 S＝
＝
＝
． 故选：A．
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8. 执行如图所示的程序框图，则输出的 a 值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
解：当 i＝1 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a＝﹣3，i＝2；
当﹣ ＜x＜ ，f′（x）＜0，函数 f（x）单调递减，
由图象可得﹣ ＜x2＜0，
D． 0, 2e 2
又＝
＝x2 ，
设 g（x）＝xex，（﹣ ＜x＜0）， ∴g′（x）＝（x+1）ex，
∴g′（x）在（﹣ ，﹣1）上是减函数，在（﹣1，0）上是增函数，
由 g（﹣1）＝﹣ ，g（﹣ ）＝﹣
，g（0）＝0，
所以
，解得 d＝3，a1＝3，
则 an＝3+（n﹣1）×3＝3n，n∈N*； 数列{a3n}构成首项为 9，公差为 9 的等差数列；
若 n 为偶数，则
，
若 n 为奇数，
则 Tn＝﹣9+18﹣27+36+…﹣9（n﹣2）+9（n﹣1）﹣9n＝﹣
，
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故 Tn＝
；
故答案为：
16. 已知三棱锥 ，
解：如图：
﹣1+ ＞0，
∴f（x）在（﹣∞，﹣ ）上单调递减，在（﹣ ，0）上单调递增，图象为 D；
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（3）当 a＜0 时，﹣1+ ＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
令 1+ ＝0 得 x＝ ，∴当 x＞ 时，1+ ＞0，当 0＜x＜ 时，1+
＜0， ∴f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增，图象为 B； 故选：C．
即 e 4，
故 e 的取值范围为 ， 故选：B．
11. 直线 与函数
（
）的图象的相邻两个交点的距
离为 ，若 在
（
）上是增函数，则 的取值范围是（ ）
A．
0,
4
B．
0,
2
C．
0,
3 4
D．
0,
3 2
解：直线 y＝a 与函数 f（x）＝tan（
）图象的相邻两个交点的距离为
一个周期，则 T＝2π， 所以 ω＝ ＝ ，
解：对于 A，身高极差大约是 25，臂展极差大于等于 30，故 A 正确；
对于 B，很明显根据散点图以及回归方程得到，身高矮展臂就会短一些，
身高高一些，
展臂就会长一些，故 B 正确；
对于 C，身高为 190 厘米，代入回归方程可得展臂等于 189.65 厘米，但不
是准确值，故 C 正确；
对于 D，身高相差 10 厘米的两人展臂的估计值相差 11.6 厘米，但不是准
所以 f（x）＝tan（ x+ ），
由 kπ﹣ ＜ x+ ＜kπ+ ，
解得 2kπ﹣ ＜x＜2kπ+ ，（k∈Z）；
所以函数 f（x）在（﹣ ， ）上是单调增函数； 又 f（x）在（﹣m，m）上是单调增函数， 即（﹣m，m）⊆（﹣ ， ），
解得 0＜m≤ ；
所以 m 的取值范围是（0， ]．
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故选：B．
【解答】解：双曲线 C：
1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为 y x，
即 bx﹣ay＝0，
∵P（x0，y0）是直线 bx﹣ay+4a＝0 上任意一点，
则直线 bx﹣ay+4a＝0 与直线 bx﹣ay＝0 的距离 d
，
∵圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝1 与双曲线 C 的右支没有公共点， ∴，
∴ 1，
三、 解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明或演算步骤.）
17. 设
.
（1）求 的单调区间；
（2）在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， . 若
， ，求
面积的最大值．
解：(1)由题意知 f(x)＝
－
＝
－
＝sin2x－ .
由－ ＋2kπ≤2x≤ ＋2kπ，k∈Z,可得－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z； 由 ＋2kπ≤2x≤ ＋2kπ，k∈Z,可得 ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z.
由 2020÷4＝505，
故当 i＝2021 时，满足退出循环的条件，故输出的 a 值为 2，
故选：D．
9. 若
，
，
，
，则 x，y，z 大小关系正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：∵0＜a＜b＜1；
∴ab＜aa＜ba＜b0＝1，logba＞logbb＝1； ∴x＜y＜z．
故选：A．
10. 已知双曲线 C：
5. 某几何体的三视图如图，该几何体表面上的点 P 与点 Q 在正视图与侧视图上 的对应点分别为 A，B，则在该几何体表面上，从点 P 到点 Q 的路径中，最短路 径的长度为（ ）