河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试数 学本试卷4页，总分150分．考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A ＝{}2430x x x -+≤，B ＝{}15x Z x ∈<<，则AB ＝A ．{2}B ．{3}C ．{2，3}D ．{1，2，3} 2．若复数1i z =-，则1zz-＝A ．1BC ．D ．43．某班级要从6名男生、3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案种数为A ．19B ．38C ．55D ．654．数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和．在该数列的前2020项中，偶数的个数为A ．505B ．673C ．674D ．1010 5．已知非零向量b a ,满足||||b a =，且|2|||b a b a -=+，则a 与b 的夹角为 A ．23π B ．2π C ．3π D ．6π 6．为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取合并检测法，即将多人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现对20名密切接触者的拭子样本进行合并检测，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的，每人检测结果呈阳性的概率为p ，且检测次数的数学期望为20，则p 的值为A ．12011()20- B ．12111()20- C ．12011()21- D ．12111()21-7．已知未成年男性的体重G （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）的关系可用指数模型G e bxa =来描述，根据大数据统计计算得到a ＝2.004，b ＝0.0197．现有一名未成年男性身高为110cm ，体重为17.5kg ．预测当他体重为35kg 时，身高约为(ln2≈0.69)A ．155cmB ．150cmC ．145cmD ．135cm8．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为CC 1的中点，点N 在侧面ADD 1A 1内，若BM ⊥A 1N ．则△ABN 面积的最小值为A ．5 B ．5C ．1D ．5 二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分， 共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．已知3cos()55πα+=，则3sin(2)5πα-＝ A ．2425- B ．1225- C ．1225D ．242510．已知抛物线C ：y 2＝4x ，焦点为F ，过焦点的直线l 与抛物线C 相交于A (1x ，1y )，B (2x ，2y )两点，则下列说法一定正确的是A ．AB 的最小值为2 B ．线段AB 为直径的圆与直线x ＝﹣1相切C ．12x x 为定值D ．若M (－1，0)，则∠AMF ＝∠BMF 11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x ＝1对称，则A ．(4)()f x f x +=B ．()f x 在区间(－2，0)上单调递增C ．()f x 有最大值D ．()sin2xf x π=是满足条件的一个函数12．若存在实数t ，对任意的x ∈(0，s ]，不等式2(2)(1)0x x t t x ----≤恒成立．则s 的值可以为A B C D三、填空题：本题共4小题， 每小题5分，共20分。

13．已知F 1，F 2为双曲线2214y x -=的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，且12PF 2PF =，则△PF 1F 2的面积为 ．14．已知实数a ，b ∈，+∞)，且满足2211ln b a b a->，则a ，b 的大小关系是 ． 15．数学多选题有A ，B ，C ，D 四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求全都选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的不得分，已知某道数学多选题正确答案为B ，D ，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率为 ．16．在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥AB ，P A ＝4，AB ＝3，二面角P -AB -C 的大小为30°，在侧面△PAB 内（含边界）有一动点M ，满足M 到P A 的距离与M 到平面ABC 的距离相等，则M 的轨迹的长度为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）在①对任意n ＞1，满足112(1)n n n S S S +-+=+，②12n n n S S a +-=+，③1n n S na +=-(1)n n +这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．问题：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =， ，若数列{}n a 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式；若数列{}n a 不一定是等差数列，说明理由．（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分）振华大型电子厂为了解每位工人每天制造某种电子产品的件数，记录了某天所有工人每人的制造件数，（1）若去掉[70，80)内的所有数据，则件数的平均数减少2到3（即大于等于2，且小于3），试求样本中制造电子产品的件数在[70，80)的人数x 的取值范围；（同一区间数据用该组区间数据的中点值作代表）（2）若电子厂共有工人1500人，且每位工人制造电子产品的件数X~N(70，112)，试估计制造电子产品件数小于等于48件的工人的人数．附：若X ~N (μ，2σ)，则P (x μσμσ-<≤+)≈0.68，P (22x μσμσ-<≤+)≈0.96．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，O B ·sin ∠ABD ＝OD ·sin ∠ADB ，∠ABC ＝3π，AB ＝3BC ＝3．（1）求sin ∠DAC ；（2）若∠ADC ＝23π，求四边形ABCD 的面积．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，平面P AC⊥底面ABCD，P A＝PC＝AC．（1）证明：AC⊥PB；（2）若PB与底面所成的角为45°，求二面角B-PC-A的余弦值．．已知椭圆C的焦点在x轴上，并且经过点(0，1)，离心率为2（1）求椭圆C的标准方程；（2）动直线l与圆O：x2＋y2＝1相切于点M，与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为D，求△OMD面积的最大值，并求此时点D的坐标．已知函数1()ln e x x f x x x -=-．（1）求函数()y f x =在x ＝1处的切线方程； （2）证明：（i ）()2f x <；（ii ）任意N n *∈，1e(2ln )n n n n -<-．数学参考答案一、选择题1．C 【解析】因为≤≤=≤+-=x x x x x A 1|{}034|{2}3，}4,3,2{=B ，所以}.3,2{=B A 2．B 【解析】由i z -=1，得i iiz z --=-=-111，则.2|1|1=--=-i z z 3．D 【解析】至少有2名女生参加包括2名女生4名男生与3名女生3名男生两种情况，所以不同选派方案种数为.6536334623=+C C C C4．B 【解析】由斐波那契数列的特点，可得此数列只有第)(3*N k k ∈项为偶数，所以前2020项中偶数的个数为673．5．C 【解析】设a 与b 的夹角为θ．由|2|||b a b a -=+得221a b a =⋅，所以21||||cos =⋅=b a b a θ，所以.3πθ= 6．A 【解析】若合并检测，检测次数取值为1，21，对应的概率分别为2020)1(1,)1(p p ---，数学期望为⨯1])1(1[21)1(2020p p --+-，由+-⨯=20)1(120p ])1(1[2120p --，解得.2011201⎪⎭⎫⎝⎛-=p7．C 【解析】将5.17,110==G x 代入xeG 0197.0004.2=，得1100197.0004.25.17⨯=e①，将35=G 代入=G x e 0197.0004.2，得x e 0197.0004.235=②．由②÷①得2=1100197.00197.0⨯-x e ，即2ln )110(0197.0=-x ，解得.145≈x s8．B 【解析】如图，取1DD 的中点为'M ，易知//'AM .BM 点P 为AD 的中点，则在正方形D D AA 11中，'1AM P A ⊥，即BM P A ⊥1．所以，点N 的轨迹为线段P A 1．易知ABN ∆为直角三角形，当P A NA 1⊥时，NA 取最小值为552，此时ABN ∆面积最小，最小值为.552二、选择题9．AD 【解析】=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-παπα522sin 532sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-5cos 5sin 2παπα．因为535cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，所以545sin ±=⎪⎭⎫⎝⎛+πα，所以.2524532sin ±=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα 10．BCD 【解析】抛物线x y C 4:2=的焦点坐标为(1，0)，准线方程为1-=x ，过焦点的弦中通径最短，所以||AB 最小值为42=p ，故A 不正确；如图，设线段AB 中点为D ，过点D B A ,,作准线的垂线，垂足分别为111,,D B A ，由抛物线定义可知==|||,|||11BB AF AA ||BF ，所以||21|)||(|21||111AB BB AA DD =+=，所以以线段AB 为直径的圆与直线1-=x 相切，故B 正确；设AB 所在直线的方程为1+=ny x ，由⎩⎨⎧=+=,4,12x y ny x 消去x ，得0442=--ny y ，所以421-=y y ，116)(22121==y y x x ，故C 正确；又n y y 421=+，=+++++=+++=+)1)(1()1()1(112112212211x x x y x y x y x y k k BM AM 0)1)(1()(22)1)(1()2()2(212121211221=++++=+++++x x y y y ny x x ny y ny y ，故D 正确．11．AD 【解析】由)(x f 是定义在R 上的奇函数得)()(x f x f --=，图象关于直线1=x 对称可得)2()(x f x f +=-，所以+-=+4(),()2(f x f x f )()2()x f x f x =+-=，故A 正确；无法判断单调性，故B ，C 错误；2sin)(xx f π=是奇函数，且=-)2(x f )(x f ，故D 正确.12．ABC 【解析】不等式0)1)(2(2≤----x t t x x 可化为0])1][()1()1[(2≤-----x t x t ，问题转化为：存在实数t ，使得在区间],0(s 上，函数-=x y (2)1与函数x y =的图象恒在直线t y -=1的两侧，如图画出函数2)1(-=x y 与函数x y =的图象，由⎩⎨⎧-==,)1(,2x y x y 得253-=x 或253+=x （舍去），从而得2152531-=--=t ，由抛物线的对称性知t y -=1与2)1(-=x y 图象的右边交点的横坐标为215+，故在区间⎥⎦⎤ ⎝⎛+215,0上，函数2)1(-=x y 与函数x y =的图象恒在直线t y -=1的两侧，所以实数s 的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛+215,0．即选项ABC 符合题意. 三、填空题13．4 【解析】由题意得||2||21PF PF =，又-||1PF 2||2=PF ，所以4||1=PF ，2||2=PF ．又=||21F F 52，所以2212221||||||F F PF PF =+，所以221π=∠PF F ，所以.4||||212121=⋅⋅=∆PF PF S F PF14．b ab a >>【解析】由a b b a ln 1122>-，得+21a b b a ln 1ln 2+>．设x xx f ln 1)(2+=，则-=x x f 1)('32322x x x-=，当),2(∞+∈x 时，)(,0)('x f x f >在区间),2(∞+上单调递增，故b a >，所以.b ab a >>15．51【解析】随机地填涂了至少一个选项共有+14C 15443424=++C C C 种涂法，得分的涂法为3种，故他能得分的概率为.51 16．556【解析】如图，过M 作PA MN ⊥于⊥MO N ,平面ABC 于O ，过O 作AB OQ ⊥ 于Q ，连接MQ ，则MQO ∠为二面角C AB P --的平面角，由︒=∠30MQO 得MO MQ 2=．又MN MO =，所以MN MQ 2=，在PAB ∆中，以AB 所在直线为x 轴，AP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则直线AM 的方程为=y x 2，直线PB 的方程为01234=-+y x ，所以直线AM 与PB 的交点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛512,56R ，所以M 的轨迹为线段AR ，长度为⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛5565125622四、解答题17．解：选择条件①：因为对任意*∈>N n n ,1，满足)1(211+=+-+n n n S S S ， 所以211+-=--+n n n n S S S S ，（4分） 所以.21=-+n n a a （6分） 因为无法确定1a 的值， 所以12a a -不一定等于2．所以数列}{n a 不一定是等差数列． （10分） 选择条件②：由n n n a S S +=-+21，得21=--+n n n a S S ，即.,2*1N n a a n n ∈=-+（6分）又因为42=a ，所以.21=a所以数列}{n a 是等差数列，其公差为2． （8分） 因此，数列}{n a 的通项公式为.2n a n = (10分) 选择条件③：因为),1(1+-=+n n na S n n所以)2)(1()1(1≥---=-n n n a n S n n ，（2分） 两式相减得),2(2)1(1≥---=+n n a n na a n n n 即).2(21≥=-+n a a n n （6分）又221-=a S ，即,212=-a a 所以*+∈=-N n a a n n ,21，又2,4122=-=a a a ，所以21=a ，所以数列}{n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，（8分） 所以.2)1(22n n a n =-+= (10分)18．解：(1)由题意，当0=x 时计算其他数据的平均数为68)1954851165355145(201=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯，故原平均数应满足712075136070<++≤xx， （3分）解得Z x x ∈<≤,158，所以件数在)80,70[的人数的取值范围为158<≤x ，.Z x ∈ （6分）(2)因为件数)11,70(~2N X ， 所以02.021)96.01()48(=⨯-≈≤X P ，（9分） 所以估计1500人中每天制造产品件数小于等于48的人数为0.02×1500=30． （12分）19．解：(1)在ABC ∆中，3π=∠ABC ，3=AB 1=BC ，由余弦定理得⨯⨯-+=BC AB BC AB AC 222272113213cos 22=⨯⨯⨯-+=∠ABC ，所以.7=AC （2分） 由正弦定理得ABC AC BAC BC ∠=∠sin sin ，.1421723sin sin ==∠⋅=∠AC ABC BC BAC （4分）在AOB ∆中，由正弦定理得ABDOABAC OB ∠=∠sin sin ， 即BAC OA ABD OB ∠⋅=∠⋅sin sin ，同理，在AOD ∆中，⋅=∠⋅OA ADB OD sin .sin DAC ∠又因为ADB OD ABD OB ∠⋅=∠⋅sin sin ，所以.sin sin DAC OA BAC OA ∠⋅=∠⋅ 所以.1421sin sin =∠=∠BAC DAC （6分） (2)在ADC ∆中，由正弦定理得ADCACDAC CD ∠=∠sin sin ， 即2371421=CD ，所以.1=CD （8分） 又由余弦定理得CD AD AC CD AD ADC ⋅-+=∠2cos 222，即ADAD 271212-+=-，解得.2=AD （10分）⨯⨯⨯=+=∆∆AC AD S S S ABC ADC ABCD 21四边形⨯=∠⨯⨯+∠AC BAC AC AB DAC 21sin 21sin.435)(sin=+⨯∠ABADDAC(12分)20．(1)证明：连接BD交AC于O，因为底面ABCD为菱形，所以.BDAC⊥（1分）因为OPCPA,=为AC的中点，所以.POAC⊥（2分）又⊂=BDOPOBD,平面⊂POPBD,平面PBD，所以⊥AC平面.PBD（4分）又⊂PB平面PBD，所以.PBAC⊥（5分）(2)解：因为OPCPA,=为AC的中点．所以.ACPO⊥又平面⊥PAC底面ABCD，平面PAC底面=ABCD⊂POAC,平面PAC，所以⊥PO底面ABCD，所以OPOCOB,,两两垂直．（6分）以O为坐标原点，分别以OPOCOB,,所在直线为x，zy,轴，建立如图所示空间直角坐标系xyzO-，PB 与底面所成的角即为45=∠PBO，所以OPOB=．设3=OP，则3,1==OBOC，所以,1,0(),3,0,0(),0,1,0(),0,0,3(-APCB)0,1,3(),3,0,3(),0-=-=．（7分）设平面BPC的一个法向量为),,(zyxn=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0BCnBPn即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-,03,033yxzx令1=x，得)1,3,1(=n，（9分）又平面APC的一个法向量为),0,0,3(==OBm（10分）所以.55353||||,cos=⨯=⋅>=<nmnmnm又因为二面角APCB--为锐角，所以二面角APCB--的余弦值为55．(12分)21．解：(1)设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，由题意得，.23,1==ac b 因为222c b a +=，（2分） 所以3,2==c a ，所以椭圆C 的标准方程为1422=+y x ．（4分） (2)设动直线l 的方程为).0(=/+=m n my x 由直线l 与圆O 相切得11||2=+m n ，即.122+=m n （5分）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,14,22y x n my x 得042)4(222=-+++n mny y m ，其中-+=-+-=∆4(16)4)(4(4422222m n m n m .0482>=）n （6分） 设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ，则42221+-=+m mn y y ，从而.44,42020+=+-=m nx m mn y （7分） 所以||21||||21MD MD OM S OMD ==∆121||||21202022-+=-=y x OM OD1)4()4(16212222222-+++=m n m m n 4||.23)4(9212222+=+=m m m m .||4||1.23m m += （9分）因为4||4||≥+m m ，所以.83≤∆OMD S 当2||=m 时，上式等号成立，此时.5||=n （10分）故OMD ∆的面积最大值为83，此时D 点的坐标为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛45,25或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-45,25或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-45,25或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--45,25. （12分）22．(1)解：)(x f 的定义域为),0(∞+，1)1(,1)1(',1ln 1)('1=-=---=-f f x e xx f x ， （2分） 所以)(x f 在1=x 处的切线方程为--=-x y (1)1，即.02=-+y x （3分）(2)证明：2)()i (<x f 可化为.ln 21x x ex x +<-设1)(-=x e x x h ，则11)('--=x e xx h ， 当)1,0(∈x 时，)(,0)('x h x h >在区间(0，1)上单调递增， 当),1(∞+∈x 时，)(,0)('x h x h <在区间),1(∞+上单调递减， 故.1)1()(max ==h x h （5分）设2ln )(+=x x x g ，则1ln )('+=x x g ，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈e x 1,0时，)(,0)('x g x g <在区间⎪⎭⎫⎝⎛e 1,0上单调递减， 当⎪⎭⎫⎝⎛∞+∈,1ex 时，)(,0)('x g x g >在区间,1(e)∞+上单调递增，故.121)(min ee g x g -=⎪⎭⎫ ⎝⎛= （7分）因为e 121-<，所以x x ex x ln 21+<-，所以.2)(<x f （8分） (ii)由2)(<x f ，得2ln 1<--x x e xx ，令*,1N n n x ∈=，得2ln 1111<+-n n ne n ，即n n e n2ln 111<+-，（10分）所以.ln 21n n enn -<-所以0ln 2>-n n ， 所以.)ln 2(1n n n n e -<- (12分)。