解 (1)当 0 时，方程通解为 X ( x) Ae x Be
x
,
x
从而有 X ' ( x) Ae
由边界条件得 A B 0,
A B 0,
x
Be
A B 0.
X ( x) 0.
即此时原问题没有非平凡解。
练习 14.(2) 求下列问题的特征值与特征函数
yn ( x)的具体表达式 (1)首先求出固有函数系 t t ln x 作变换 x e 则有
解
1 y x yt , x
y xx
1 1 1 1 1 ( y tt ) y t ( 2 ) 2 ytt 2 y t , x x x x x
代入原方程有
ytt yt yt y 0
2.6
固有值与固有函数
在本章的前三节我们应用分离变量法求解弦振
动方程、一维热传导方程和二维拉普拉斯方程的 有关定解问题时，都需要解决一个含参变量 的 常微分方程的边值问题，
X ( x) X ( x) 0, X (0) X (l ) 0.
这样的问题称为固有值问题。 也属于施图姆-刘维尔问题
1
施图姆-刘维尔方程的一般形式
d dy p( x) q( x) y ( x) y 0 dx dx
(95)
其中 1. p( x), p( x) C[a, b], p( x) 0 (a x b); 2. q( x) C[a, b], 或者 q( x) C (a, b), 而在 区间端点处至多有一阶极点，且 q( x) 0; 3. ( x) C[a, b], ( x) 0. 方程(95)加上边界条件就称为施图姆-刘维尔问题
n (n ) ,
yn (t ) sinnt (n 1, 2, ).
n ln x), 将 t ln x 代入即得 yn ( x) sin(
(n 1, 2, )
则原问题的固有函数系为 yn ( x) sin(n ln x)
(n 1, 2, )
7
练习 15. 试证问题
X ' ( x) A sin x B cos x
B sin 0.
A sin 0.
若 sin 0, n n2 (n 1, 2 , ). 代入通解有 X n ( x) An cosnx Bn sin nx (n 1, 2, ).
(97)
(n 2, 3, );
其中
cn

b
a
( x) f ( x) y n ( x)dx

b
a
2 ( x) y n ( x)dx
4
(3) 类似于傅里叶级数，按固有函数系展开有下 面的收敛性：
f ( x) cn y n ( x),
n 1
(97)
若函数 f ( x), f ( x) 在 (a, b) 内是分段连续函数， 则级数(97)在 f ( x) 的间断点 x0 处收敛于
对应的特征函数为：
1, cos x, sinx, cos2 x, sin2 x,, cosnx, sinnx,
练习
13. 用分离变量法写出下列定解问题： u t a 2 u xx (0 x l , t 0), (u x u ) | x 0 0, u x | x l 0, u ( x,0) ( x) 的固有值问题；并写出 (1)边界条件中的 0 时的固有值及固有函数；
n 0 (n 1, 2, 3, ); 对应于这些固有值 当 q( x) 0 时， 有无穷多个固有函数： y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x),. (2) 如果把对应于固有值 n 的固有函数记为 yn ( x), 那么所有yn ( x)组成一个带权函数 ( x) 的正交函数 系，即 b (m n). (96) a ( x)ym ( x) yn ( x)dx 0
yn ( x)的具体表达式 (1)首先求出固有函数系 t t ln x 作变换 x e 则有
解
1 y x yt , x
y xx
1 1 1 1 1 ( y tt ) y t ( 2 ) 2 ytt 2 y t , x x x x x
代入原方程有
ytt yt 3 yt y 0

e
1
1
x y n ( x) y m ( x)dx
t 作变换 x e
e 2t y n (t ) y m (t )dt
0
sin nt sin mtdt 1
0
1
0 , m n,
2 ,
m n.
11
练习 14.(2) 求下列问题的特征值与特征函数
X ' ' ( x) X ( x) 0, X ( ) X ( ), X ' ( ) X ' ( ).
X ' ' ( x) X ( x) 0, X ( ) X ( ), X ' ( ) X ' ( ).
解 (2)当 0 时，方程通解为 X ( x) A0 x B0 , 从而有
X ' ( x) A0
X ( x) B0
由边界条件得 A0 0,
练习 14.(2) 求下列问题的特征值与特征函数
X ' ' ( x) X ( x) 0, X ( ) X ( ), X ' ( ) X ' ( ).
解 (3)当 0 时，方程通解为 X ( x) A cos x B sin x. 由条件 X ( ) X ( ) 由条件X ' ( ) X ' ( )
n (n ) 1,
yn (t ) et sinnt (n 1, 2, ).
1 将 t ln x 代入即得 yn ( x ) x sin( n ln x ),
(n 1, 2, )
则原问题的固有函数系 1 为 y n ( x) sin(n ln x)
1 f ( x0 0) f ( x0 0), 2
且在 (a, b) 上失去一致收敛性。
5
练习 15. 试证问题
齐次欧拉方程
x 2 y xy y 0, (1 x e) y(1) y(e) 0 1 固有函数系 yn ( x) 在 [1, e] 上带权函数 x 正交。
练习 14.(2) 求下列问题的特征值与特征函数
X ' ' ( x) X ( x) 0, X ( ) X ( ), X ' ( ) X ' ( ).
解 将 0 和 0 时对应的结果综合即得：
2 n 特征值 n
(n 0, 1, 2 , ).
ytt 2 yt y 0
9
思考 试证问题
x 2 y 3xy y 0, (1 x e) y (1) y (e) 0 固有函数系 yn ( x) 在 [1, e] 上带权函数 x 正交。
解
ytt 2 yt y 0
2
y(0) y(1) 0.
x
(n 1, 2, )
10
思考 试证问题
x 2 y 3xy y 0, (1 x e) y (1) y (e) 0 固有函数系 yn ( x) 在 [1, e] 上带权函数 x 正交。
解
yn ( x)的函数正交性 (2)现在验证固有函数系
(3) 类似于傅里叶级数，按固有函数系展开有下 面的收敛性： 若函数 f ( x)在 (a, b) 内有一阶连续导数及分段 连续的二阶导数，并且满足所给的边界条件， 则 f ( x)在 (a, b) 内可以按固有函数展开为绝对且 一致收敛的级数：
f ( x) cn y n ( x),
n 1
(2)边界条件中的 时的固有值及固有函数；
18
13. 下列定解问题： u t a 2 u xx (0 x l , t 0), (u x u ) | x 0 0, u x | x l 0, u ( x,0) ( x) 的固有值问题为 X ( x ) X ( x ) 0, X ( x ) X ( x ) 0, ( X X ) | x 0 0, X (0) X (0), X | 0. X (l ) 0. x l
即此时原问题有一个非平凡解，
X 0 ( x) B0
其中 B0 为任意常数。
13
练习 14.(2) 求下列问题的特征值与特征函数
X ' ' ( x) X ( x) 0, X ( ) X ( ), X ' ( ) X ' ( ).
解 (3)当 0 时，方程通解为 X ( x) A cos x B sin x. 由条件 X ( ) X ( ) 由条件X ' ( ) X ' ( )
ytt y 0
6
练习 15. 试证问题
齐次欧拉方程
x 2 y xy y 0, (1 x e) y(1) y(e) 0 1 固有函数系 yn ( x) 在 [1, e] 上带权函数 x 正交。
解
ytt y 0
2
y(0) y(1) 0.
那些使施-刘问题存在非0解的 值， 称为该问题 的固有值，而相应于给定的固有值的非0解，称为 固有函数。 例如: r 2 F rF (r 2 n 2 )F 0