第六章微分中值定理及其应用
4 函数的极值与最大(小)值(讲义)
一、极值判别
定理6.10：(极值的第一充分条件)设f在点x0连续，在某邻域U0(x0,δ)内可导：
1、若当x∈(x0-δ,x0)时，f’(x)≤0，当x∈(x0,x0+δ)时，f’(x)≥0，则f 在点x0取得极小值.
2、若当x∈(x0-δ,x0)时，f’(x)≥0，当x∈(x0,x0+δ)时，f’(x)≤0，则f 在点x0取得极大值.
证：∵当x∈(x0-δ,x0)时，f’(x)≤0，∴f在(x0-δ,x0)内递减.
∵当x∈(x0,x0+δ)时，f’(x)≥0，∴f在(x0-δ,x0)内递增.
∴对任意x∈U(x0,δ)，恒有f(x)≥f(x0)，即f在x0取得极小值。

同理可证2.
定理6.11：(极值的第二充分条件)设f在点x0的某邻域U(x0,δ)内一阶可导，在x= x0处二阶可导，且f’(x0)=0，f”(x0)≠0.
1、若f”(x0)<0，则f在点x0取得极大值.
2、若f”(x0)>0，则f在点x0取得极小值.
证：依题意，f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+1
2!
f”(x0)(x-x0)2+o((x-x0)2).
∵f’(x0)=0，∴f(x)-f(x0)=1
2!f”(x0)(x-x0)2+o((x-x0)2)=[1
2!
f”(x0)+o(1)](x-x0)2.
又f”(x0)≠0，∴存在正数δ’≤δ，使当x∈U(x0,δ’)时，
1 2!f”(x0)与1
2!
f”(x0)+o(1)同号.
∴当 f ”(x 0)<0时，f(x)-f(x 0)<0，即f(x)<f(x 0)，∴f 在点x 0取得极大值. 当 f ”(x 0)>0时，f(x)-f(x 0)>0，即f(x)>f(x 0)，∴f 在点x 0取得极小值.
例1：求f(x)=(2x-5)23.
解：f(x)=(2x-5)√x 23=2x 53-5x 23, f ’(x)=103x 23−103x −13, f ”(x)=209x −13+109
x −43. 当f ’(x)=0时，103x 23−
103x −13=0，解得x=1. ∵f ”(1)=209+109=103>0，f(1)=2-5=-3. ∴f 在x=1取得极小值f(1)=-3.
又f 在x=0连续，f ’(0)不存在，当0<x<1时，f ’(x)= 103x 23−
103x −13<0， 当x<0时，f ’(x)= 103x 23−103x −13>0，∴f(x)在x=0取得极大值f(0)=0.
例2：求f(x)=x 2+
432x 的极值点及极值. 解：f ’(x)=2x −
432x 2, f ”(x)=2+864x 3. 当f ’(x)=0时，2x −432x 2=0，解得x=6. ∵f ”(6)= 2+
8646=6>0，f(6)=36+72=108. ∴f 在x=6取得极小值f(6)=108.
定理6.12：(极值的第三充分条件)设f 在x 0的某邻域内存在直到n-1阶导函数，在x 0处n 阶可导，且f (k)(x 0)=0 (k=1,2,…,n-1)，f (n)(x 0)≠0，则：
1、当n 为偶数时, f 在x 0取得极值，且当f (n)(x 0)<0时取极大值，当f (n)(x 0)>0时，取得极小值.
2、当n 为奇数时, f 在x 0处不取极值.
证：f(x)=f(x 0)+f ’(x 0)(x-x 0)+12!f ”(x 0)(x-x 0)2+…+1n!f (n)(x 0)(x-x 0)n +o ((x-x 0)n ). ∵f (k)(x 0)=0 (k=1,2,…,n-1)，
∴f(x)-f(x 0)=1n!f (n)(x 0)(x-x 0)n +o ((x-x 0)n )=[12!f (n)(x 0)+o (1)](x-x 0)n . 又f (n)(x 0)≠0，∴存在正数δ’≤δ，使当x ∈U(x 0,δ’)时，
1n!f (n)(x 0)与12!f (n)(x 0)+o (1)同号. ∴当n 为偶数时，有
当 f (n)(x 0)<0时，f(x)-f(x 0)<0，即f(x)<f(x 0)，∴f 在点x 0取得极大值. 当 f (n)(x 0)>0时，f(x)-f(x 0)>0，即f(x)>f(x 0)，∴f 在点x 0取得极小值. 当n 为奇数且f (n)(x 0)<0时，有
当x 0<x<x 0+δ’时，f(x)-f(x 0)<0，即f(x)<f(x 0).
当x 0-δ’<x<x 0时，f(x)-f(x 0)>0，即f(x)<f(x 0).
即f(x)递增. 同理可证，当n 为奇数且f (n)(x 0)>0时，f(x)递减. ∴当n 为奇数时, f 在x 0处不取极值.
例3：试求函数x 4(x-1)3的极值.
解：记f(x)=x 4(x-1)3=x 7-3x 6+3x 5-x 4.
当f ’(x)=7x 6-18x 5+15x 4-4x 3=0时，x=0或x=1或x=47. ∵f ”(x)=42x 5-90x 4+60x 3-12x 2，∴f ”(0)=0,f ”(1)=0,f ”(47)=6449>0. ∵f ”’(x)=210x 4-360x 3+180x 2-24x ，f ”’(0)=0, f ”’(1)=6(无极值).
f (4)(x)=840x 3-1080x 2+360x-24，f (4)(0)=-24<0.
∴x 4(x-1)3在x=0处有极大值f(0)=0，在x=47处有极小值f(47)=−6912823543.
四、最大值与最小值
比较f 的所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值，以取得f 的最值.
例4：求f(x)=|2x 3-9x 2+12x|在闭区间[−14,52]上的最大值与最小值. 解：当f(x)=|2x 3-9x 2+12x|=0时，x=0，∴f ’(x)=|6x 2-18x+12|, (x ≠0). 当f ’(x) =|6x 2-18x+12|=0时，x=1或x=2.
f(−14)=|2×(−14)3-9×(−14)2+12×(−14)|=3932
, f(1)=|2-9+12|=5, f(2)=|2×23-9×22+12×2|=4, f(52)=|2×(52)3-9×(52)2+12×52|=5. ∵0<3932<4<5，∴f 在x=0处取最小值0，在x=1,x=52处取最大值5.
例5：一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比. 已知当速度为10(km/h)时，燃料费为每小时6元，而其他与速度无关的费用为每小时96元. 问轮船的速度为多少时，每航行1km 所消耗的费用最小?
解：记速度为x km/h, 燃料费为y 元,
可设y=kx 3,将x=10, y=6代入上式得6=1000k, ∴k=0.006.
记每航行1km 所消耗的费用为f(x)=1x (0.006x 3+96). 当f ’(x)=0.018x −1
x 2(0.006x 3+96)=0时，x=20. 又当x<20时，f ’(x)<0，∴f(x)>f(20)；当x>20时，f ’(x)>0，∴f(x)>f(20)， 即x=20是f 唯一的极小值点，且f 在(0,+∞)处处可导，
∴当轮船的速度为20km/h 时，每航行1km 所消耗的费用 f(20)=120(0.006×203+96)=7.2(元)最小.
例6：剪去边长为a 的正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖
盒子，问剪去小方块的边长为何值时，可使盒子容积最大. 解：设小正方形的边长为x ，则0<x<a 2，记盒子的容积为： f(x)=x(a-2x)2=4x 3-4ax 2+a 2x, x ∈(0, a 2)， 当f ’(x)=12x 2-8ax+a 2=0时，x=a 2(舍去)或x=a 6. 又当x<a 6时，f ’(x)>0，∴f(x)<f(a 6)；当a 6<x<a 2时，f ’(x)<0，∴f(x)<f(a 6)； 即x=a 6是f 唯一的极大值点，且f 在(0, a 2)处处可导， ∴剪去小方块的边长为a 6时，盒子容积f(a 6)=a 6(a −2a 6)2=2a 327最大.。