2、积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连续处，其挠曲线的近似 微分方程应分段列出，并相应地分段积分。
3、积分常数由位移边界条件确定。
积分常数C1、C2由边界条件确定
X
x0 xL
0 0
X
y
x0
0
0
y
例题 5.1
求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。
F
x
A A
A
l
M x Fx
B
xddEExຫໍສະໝຸດ IzzddxFx22MEI(CFZx1x) ddxxCC11
§2 梁的挠曲线近似微分方程及积分
1 M (x)
EI Z
1
d 2
dx 2
1
(
d
dx
)2
3
d 2
dx 2
M (x)
1
(
d
dx
)
2
3
EI Z
d 2
dx 2
M (x) EI Z
d 2
M (x)
dx2 EIZ
o
xo
x
M
M
d2y dx2
0
y
d 2 M (x)
dx 2
EI Z
M
M
d2y dx2
F
A
B
a
y
q
EI z
L
Cx
挠曲线方程应分两段AB,BC.
共有四个积分常数
边界条件
xa
xaL
连续条件
B 0 C 0
xa
B1 B2 B1 B2
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
挠曲线方程应分两段AB,BC.
xx2 1FFbx
2L
x
aF2 xC2
a
EI z1
Fb 6L
x3
C1x
D1
x 0D1 00 0 x L L 0
EI z2
Fb 6L
x3
1 6
Fx
a3
C2 x
D2
x a 1Da1 D22a 1aC1C22a
6FEELbI2FIzaZLb32Ca1L3C1aCC2F1Lb2 D6FxL1b26FL2FLb3L12b6FLFa16Lb22Fax3bL122aF162aFa3aFaCba22L6L23LC0bC2 22a D2
Fb L2 b2 6EIz L
Fab L b 6EIz L
最大挠度 0 令x=a
B
x
EI z1
Fb 2L
x2
Fb
L2 6L
b2
Fa L
EI z 2
EI z1
Fb 6L
x3
Fb
L2 6L
b2
x
Fb x2 1 Fx a2 Fb L2 b2
2L 2
6L
EIz2
Fb 6L
L2 b2 3
一般认为梁的最大挠度就发生在跨中
转角为零的点在AC段
b1L 2
b0
x0
1 2
L
x0
3 L 0.577L 3
例题 5.4 A
画出挠曲线大致形状。图中C为中间铰。
F
两根梁由中间铰连接，挠曲线在 中间铰处，挠度连续，但转角不 连续。
1 2 1 2
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
共有四个积分常数
q
边界条件
A
Cx
B
EI z
k
x 0 A 0
l2
l2
xL
C
Fc k
qL 8k
y
连续条件
x L 2
B1 B2 B1 B2
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
F
EI z1
aB
L
Me
Cx
共有四个积分常数 边界条件
x 0 A 0
0
y
梁挠曲线近似微分方程
d 2
dx 2
M (x) EI Z
A
C
Bx
C y
d
dx
B
M (x) EI Z
dx
C1
tan d
dx
M ( x) 在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线 EI Z d在该x截•面d处x的切线C 斜率1。x C2
通过积分求弯曲位移的特征：
1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。
y
边界条件
x L B 0 x L B 0
x0
A
FL2 2EI z
CC1 23F2FEELIL3Iz2z
A
FL3 3EI z
EEIIzz FF2x6x2 3dx CC11xxCC22
Fx2 FL2
2EIz 2EIz
Fx3 FL2 x FL3
6EIz 2EIz 3EIz
例题 5.2
C
q
EA
L1
x
B EI Z
L
全梁仅一个挠曲线方程
共有两个积分常数
边界条件
x0
A 0
xL
B
LBC
qLL1 2EA
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁 的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个 积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
挠曲线方程应分两段AB,BC.
A
EI z
求图所示悬臂梁B端的挠度与转角。
A
x
l
y
边界条件
x0 0
x0 0
xL
B
qL3 6EI z
M x 1 qL x2
B
2
x
EI z
M
x
1 2
q
L
x
2
EI z
EI z
1 6
qL
x3
C1
EI z
1 24
qL
x4
C1x
C2
C1
qL3 6EI z
qL3 C2 24EIz
B
qL4 8EI z
q L x3 L3 6EI z
q L x4 4L3x L4 24 EI z
例题 5.3 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。
a A
F b
B
M1x x
Fb L
x
0 xa
C
Fb
l
L
x
y
x
Fa
M 2x
Fb L
x
F x
a
axL
L
AC段
EEIIzz11M2F1Lbxx 2
CF1b L
x
CB段
EI
zz222FMLb2
EIz2
Fb 6L
x3
1 6
Fx
a3
Fb
L2 6L
b2
x
EIz1
Fb 2L
x2
Fb
L2 6L
b2
EIz1
Fb 6L
x3
Fb
L2 6L
b2
x
例题 5.3 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。
a A
Fb L
x
F b
C
l
y
x
最大转角 0 M x 0
A
EI z2
x
A
L2
B
L2
C
y
挠曲线方程应分两段AB,BC.
共有四个积分常数 边界条件
x0
连续条件
A 0 A 0
x L 2
B1 B2 B1 B2
例题 5.5
A
y
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
x3
1 6
Fx
a3
Fb
L2 b2 6L
x
x 0 x L
EI z B
2FLbB
L2F1aFbLL aa2
2 6EIz L
Fb
L2 b2 6L
力靠近哪个支座，哪边的转角最大。
EIzC
Fb 2L
a2
Fb
L2 b2 6L
C
Faba b
3L
Fb 2L
x0 2
Fb
L2 6L
b2
0
x0