2
在F检验时，A因素、B因素和互作效应的检验统计 量 均 以 MSe 做 分 母 ： FA=MSA/MSe FB=MSB/MSe FAB=MSAB/MSe
用F分布的上尾检验，拒绝域为F>Fα
4、均方期望
E (MS e)
b n a 2 E ( MS ) ＋ A i a 1 i 1
3、检验统计量的计算
计算平方和(SS)
AB交互作用误差平方和
SS n y y y y AB ij i j i 1j 1 随机误差项平方和
a b
2 SSe （ y y ） ijk ij i 1 j 1k 1 a b n
a b 2 i 1 i j 1 j ij
0 ； 0 ； 为相互独立且服从正态 分布 N 0 ， 的随机变
2、提出假设
H ： 0 ,H ： 0 01 i A1 i H ： 0 ,H ： 0 02 i A2 i
3、检验统计量的计算
（四）平方和的简便计算方式
SS y C T
i 1 j 1 k 1
b
a
b
n
2 ijk
2 1 SS y C A bn i i 1
a
1 SS y C B j an j 1
2
SS n y y y y A B ij i j
2
a n 2 E ( MS ) ＋ A B ij （ a 1 )( b 1 )i 1 2
2
a a n 2 2 E ( MS ) ＋ B j b 1 i 1

（二）无重复无交互作用实验的双因素方
差分析
1、观测值的描述
y ，其中 i 1 ,2 ， ... a ;j 1 ,2 ， ... b ; ijk i j ij
40℃
1
41
49
23
25
11
13
25
24
6
22
26
18
2
47
59
50
40
43
38
33
36
8
22
14
18
3
35
53
50
43
38
47
44
55
33
26
29
30
题解
本题中显然温度是一个因素，原料种类是另一个 因素。这两个因素各有三个水平。由于它们的影响都
是可控制、可重复的，因此都是固定因素。在同样温
度、原料下所做的几次实验应视为重复，它们之间的 差异是由随机误差所造成的
第五节 数据变换
第一节 双因素方差分析概述

一、双因素试验汇中的几个基本概念
效应，该效应水平的改变会造成因素效应的改变，
如包装方式对果汁销售量的影响。
1 、主效应（ main effect ）：各实验因素相对独立的
2、互作效应（interaction）：两个或多个实验因素的
相互作用而产生的效应。
3、无交互作用的双因素方差分析或无重复双因素方
至x9差异均不显著。而x1，x2，x3与x6 ~ x9差异均达极显著。
另外，x1，x2，x3以及x7，x8，x9之间的差异都很小。由于 现在的数据是发酵产量，显然是越高越好，因此我们主要 关心x1，x2，x3。从以上分析中可知，基本上可把x1，x2， x3视为无差异
几点注意事项：
当交互作用存在时，对固定模型若不设置重 复，则无法把SSAB与SSe分开，这样将无法进行任 何统计检验。因此在固定模型中有交互作用时， 不设置重复的试验是无意义的。 对固定模型来说，结论只能适用于参加实
b j 1
2
AB交互作用误差平方和
SS n y y y y
a b A B i 1j 1 ij i j
2
随机误差项平方和
2 SSe （ y y ） ijk ij i 1 j 1k 1 a b n

2、平方和的分解
与平方和相应的自由度分别为：
总自由度：df =abn-1
T

A因素处理间自由度：df =a-1
A
B因素处理间自由度：df =b-1
B
交互作用自由度：df =(a-1)(b-1)
AB
处理内自由度：dfe=ab(n-1) df =df +df +df +dfe
T A B AB
x7
30.75** 27.75** 27** 19.25** 16.25** 8.75
x6
22** 19** 18.25** 10.5 7.5
x5
14.5* 11.5 10.75 3
x4
11.5 8.5 7.75
x3
3.75 0.75
x2
3
x1，x2，x3视为无差异
分析：从这一差值表中可见，x1至x5，除x1至x5外相互间都 没有显著差异。但x4，x5与其他3个值差异相对大一些。x6
第九章 双因素和多因素方差分析
学习目标

掌握：两因素交叉分组（有重复观察值、
无重复观察值）资料的方差分析方法。

熟悉：多因素试验线性模型和不同变异来
源期望均方构成。

了解：缺失数据的估计原理及方差分析方 法。
讲授内容

第一节 双因素方差分析概述 第二节 不同实验类型的双因素方差分析 第三节 多因素试验的方差分析 第四节 缺失数据的估计
常用Duncan法。
多重比较
把各处理平均数从大到小排列(记为x1～x9)： 49, 46, 45.25, 37.5, 34.5, 27, 18.25, 18, 15.5，求出各对差值，
列成下表：
x9
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
33.5 30.5 29.75 22 19 11.5 2.75 2.5
a b i 1j 1
2 ijk i 1 j1 k 1 a bn
2
ab 1 2 SSe y y SS SS SS SS n ij T A B A B i 1 j1
（五）各项均方的计算
SS SS T T MT S df abn 1 T

一、固定模型
（一）重复试验时的双因素方差分析 1、观察值的线性统计模型
y ，其中 i 1 ,2 ， ... a ; j 1 ,2 ， ... b ; k 1 ,2 ， ... n ; ijk i j i jk j i

2、提出假设
H ： 0 ,H ： 0 01 i A1 i H ： 0 ,H ： 0 02 i A2 i H ：（ ） 0 ， H ：（ ） 0 ，其中 i 1 ,2 ， ..., a ;j 1 ,2 ， ..., b 03 ij A3 ij
各处理间进行多重比较
在固定效应模型中，若各F统计量有达到显著或极显著 水平时，常常还需要在各处理间进行多重比较，以选出所需 要的条件组合。例如在上例中，我们已经发现原料，温度以 及它们的交互作用都对酒精的产量有影响，显然我们应进一 步找出最优的条件组合以用于生产。这就需要进行多重比较 了。 如果有交互作用存在，则一般需要把所有 ab个水平组 合放在一起比。比较的方法仍与单因素方差分析相同，最
F0.95(4,27)≈F0.95(4,30)=2.690,
F0.99(4,27)≈F0.99(4,30)=4.018, ∴FA,FB均达极显著，标上“* *”，FAB只达显著，标上 “ * ”。因此酒精产量不仅与原料和温度的关系极显著，与它 们的交互作用也有显著关系。即对不同原料应选用不同的发酵
温度。
验的几个水平，不能任意推广到其他水平上去。
y e
查Duncan检验的r值表， df=27, k=2~9, K
2 3 4 5 6 7 8 9
r0.05
2.91 3.05 3.14 3.21 3.27 3.30 3.34 3.36
R0.05
11.40 11.94 12.30 12.57 12.81 12.92 13.08 13.16
r0.01
3.92 4.10 4.20 4.29 4.35 4.40 4.45 4.49
SS SS A A MS A df a-1 A
SS SS B B MS B df b1 B
SS SS A B A B MS A B df a 1 b 1 A
SS SS e e MS e df ab （ n-1 ） e
第二节 不同实验类型的双因素方差分析
发酵实验方差分析表
变差来源 原料A 温度B AB 误差 总和 平方和 1554.18 3150.50 808.82 1656.50 7170.00 自由度 2 2 4 27.67** 25.68** 3.30*
F测验
查 F 分 布 表 ， 得 ： F0.95(2,27)≈F0.95(2,30)=3.316, F0.99(2,27)≈F0.99(2,30)=5.390,
（三）平方和与自由度的分解

1、平方和的分解
总平方和SST被分解为A因素所引起的平方和SSA、 B因素所引起的平方和SSB、AB交互作用所引起 的平方和SSAB、误差平方和SSe
A因素误差平方和
SS bn y y A i
i 1
a
2
B因素误差平方和 SS yj y an B
R0.01
15.35 16.06 16.45 16.80 17.04 17.23 17.43 17.58