2005年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学 试卷一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题无分.1.函数xx y --=5)1ln(的定义域为为 （ ）A. 1>xB.5<xC.51<<xD. 51≤<x2.下列函数中,图形关于y 轴对称的是 （ ） A ．x x y cos = B. 13++=x x yC. 222x x y --= D. 222xx y -+=3. 当0→x 时，与12-x e 等价的无穷小量是 （ ）A. xB.2xC. x 2D. 22x4.=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→121lim n n n （ ） A. e B. 2e C. 3e D. 4e5.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,0,11)(x a x xxx f 在0=x 处连续，则 常数=a （ ） A. 1 B. -1 C. 21 D. 21-6.设函数)(x f 在点1=x处可导,且21)1()21(lim0=--→h f h f h ,则=')1(f （ ）A. 1B. 21-C. 41D. 41-7.由方程yx e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dydx 为 （ ）A.)1()1(x y y x -- B.)1()1(y x x y -- C.)1()1(-+y x x y D.)1()1(-+x y y x8.设函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n （ ）A. 1)]([+n x f nB. 1)]([!+n x f nC. 1)]()[1(++n x f n D. 1)]([)!1(++n x f n9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ） A.]1,1[,1)(2--=x x f B.]1,1[,)(-=-xxe x fC.]1,1[,11)(2--=xx f D ．]1,1[|,|)(-=x x f 10.设),(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f ,则在)1,21(内,)(x f 单调 ( )A.增加,曲线)(x f y =为凹的B.减少,曲线)(x f y =为凹的C.增加,曲线)(x f y =为凸的D.减少,曲线)(x f y =为凸的11.曲线xe y 1-= （ ） A. 只有垂直渐近线 B. 只有水平渐近线 C. 既有垂直渐近线，又有水平渐近线， D. 无水平、垂直渐近线12.设参数方程为⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos ,则二阶导数=22dx yd （ ） A.ta b 2sin B.t a b 32sin -C.t a b 2cosD.tt a b 22cos sin - 13.若⎰+=C e dx ex f xx11)(，则=)(x f （ ）A. x 1-B. 21x -C. x 1D. 21x14. 若⎰+=C x F dx x f )()( ，则⎰=dx x xf )(sin cos （ ）A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C x F +)(cosD.C x F +-)(cos15.下列广义积分发散的是 （ ）A.⎰+∞+0211dx x B.⎰-10211dx xC.⎰+∞e dx x x lnD.⎰+∞-0dx e x16.=⎰-11||dx x x （ ）A.0B.32 C.34 D.32-17.设)(x f 在],[a a -上连续,则定积分⎰-=-aadx x f )( （ ）A.0B.⎰adx x f 0)(2C.⎰--aadx x f )( D.⎰-aadx x f )(18.设)(x f 的一个原函数是x sin ,则='⎰xdx x f sin )( （ ）A.C x x +-2sin 2121 B.C x x ++-2sin 4121 C.x 2sin 21 D.C x +-2sin 21 19.设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则不正确的是 （ ）A.⎰ba dx x f )(是)(x f 的一个原函数 B.⎰xadt t f )(是)(x f 的一个原函数C.⎰axdt t f )(是)(x f -的一个原函数 D.)(x f 在],[b a 上可积20.直线22113+=-=-z y x 与平面01=+--z y x 的关系是 （ ） A. 垂直 B.相交但不垂直 C. 直线在平面上 D. 平行 21.函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数x z ∂∂和yz∂∂存在是它在该点处可微的 （ ）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件22.设yxz 2ln = ，则=)2,1(dz （ ） A.dx x y 2 B.dy dx 2121- C.dy dx 21- D.dy dx 21+23.函数1),(22+-+++=y x y xy x y x f 的极小值点是 （ ） A.)1,1(- B.)1,1(- C. )1,1(-- D. )1,1(24.二次积分⎰⎰22),(x dy y x f dx 写成另一种次序的积分是 （ ）A. ⎰⎰402),(ydx y x f dy B. ⎰⎰400),(ydx y x f dy C.⎰⎰422),(xdx y x f dy D. ⎰⎰402),(ydx y x f dy25.设D 是由上半圆周22x ax y -=和x 轴所围成的闭区域,则⎰⎰=σDd y x f ),(（ ）A.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (ardr r r f d B.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (adr r r f dC.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d D.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a dr r r f d26.设L 为抛物线2x y =上从)0,0(O 到)1,1(B 的一段弧，则=+⎰Ldy x xydx 22（ ）A. -1B.1C. 2D. -127.下列级数中，条件收敛的是 （ ）A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-1321)1(n nnC ．∑∞=-121)1(n n n D ．∑∞=+-1)1()1(n n n n 28. 下列命题正确的是 （ ） A ．若级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛，则级数21)(n n nv u+∑∞=收敛B ． 若级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛，则级数)(212n n n v u+∑∞=收敛C ． 若正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛，则级数21)(n n nv u+∑∞=收敛D ． 若级数∑∞=1n nn vu 收敛，则级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv都收敛29. 微分方程y x y y x -='-2)2(的通解为 （ ） A. C y x =+22B. C y x =+C. 1+=x yD. 222C y xy x =+-30.微分方程0β222=+x dtx d 的通解是 （ ）A. t C t C x βsin βcos 21+=B. tt e C e C x β2β1+=-C. t t x βsin βcos +=D. tt e e x ββ+=-二、填空题（每小题2分，共30分）1.设2)1(2+=+x x f ,则=-)2(x f _________.2.526lim22=--+→x ax x x ,则=a _____________. 3.设函数x y arctan =在点)4π,1(处的切线方程是__________.4.设x xe x y 1=，则=dy ___________.5.函数x x y ln 22-=的单调递增区间是 __________. 6.曲线x ey =的拐点是_________.7.设)(x f 连续,且x dt t f x ⎰=3)(,则=)27(f _________.8.设3)2(,2)2(,1)0(='==f f f ，则 ⎰=''1)2(dx x f x __________.9.函数⎰-=xt dt te y 0的极小值是_________.10.⎰=+-dx x x xcos sin 1 ________.11. 由向量}2,1,0{},1,0,1{=-=b a ρρ为邻边构成的平行四边形的面积为______.12.设yz z x ln = ，则=∂∂+∂∂y zx z _________. 13.设D 是由0,,12==-=y x y x y ，所围成的第一象限部分,则⎰⎰Ddxdy x y 2)( =_______.14.将223)(xx x f -+=展开为x 的幂级数是_________. 15.用待定系数法求方程xe x y y y 2)12(44+=+'-''的特解时,特解应设为_____ _____.三、计算题（每小题5分，共40分）1．xx x x x cos sin 1lim2-+→.2.已知2arctan )(,2523x x f x x y ='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=,求=x dx dy .3.求不定积分⎰+dx xx 231.4.设⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=0,210),1ln()(x xx x x f ,求⎰-20)1(dx x f .5.设),sin (22y x y e f z x+= ，其中),(v u f 可微，求yzx z ∂∂∂∂,. 6．求⎰⎰Ddxdy yx 22，其中D 是由2,1===x x y xy 及所围成的闭区域. 7．求幂级数12012)1(+∞=∑+-n n n x n 的收敛域（考虑区间端点）.8．求微分方程 0cos 2)1(2=-+'+x xy y x 通解.四、应用题（每小题7分，共计14分）1. 一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去,当月租金每增加100元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费200元的维修费.试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?2.平面图形由抛物线x y 22=与该曲线在点)1,21(处法线所围成,试求: (1)该平面图形的面积;x 轴旋转所成的旋转体的体积.五、证明题（6分）试证：当0>x 时，有xx x x 11ln 11<+<+.。