2006年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试《高等数学》试卷一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题无分.1.已知函数)12(-x f 的定义域为]1,0[ ，则)(x f 的定义域为 （ ） A. ]1,21[ B. ]1,1[- C. ]1,0[ D. ]2,1[-2.函数)1ln(2x x y -+=)(+∞<<-∞x 是 （ ） A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数3. 当0→x 时，x x sin 2-是x 的 （ ） A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶非等价无穷小 D. 等价无穷小 4.极限=+∞→nnn n sin 32lim（ ）A. ∞B. 2C. 3D. 55.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠-=0,10,1)(2x a x x e x f ax ，在0=x 处连续，则 常数=a （ ）A. 0B. 1C. 2D. 36. 设函数)(x f 在点1=x 处可导 ，则=--+→xx f x f x )1()21(lim0 （ ）A. )1(f 'B. )1(2f 'C. )1(3f 'D. -)1(f '7. 若曲线12+=x y 上点M 处的切线与直线14+=x y 平行，则点M 的坐标（ ）A. （2，5）B. （-2，5）C. （1，2）D.（-1，2）8.设⎪⎩⎪⎨⎧==⎰202cos sin t y du u x t ，则=dx dy （ ）A. 2tB. t 2 2t D. t 2-9.设2(ln )2(>=-n x x y n ，为正整数),则=)(n y （ ）A.x n x ln )(+B.x 1 C.1)!2()1(---n n x n D. 0 10.曲线233222++--=x x x x y （ ）A. 有一条水平渐近线，一条垂直渐近线B. 有一条水平渐近线，两条垂直渐近线C. 有两条水平渐近线，一条垂直渐近线，D. 有两条水平渐近线，两条垂直渐近线11.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ）A.]2,0[|,1|-=x y B. ]2,0[,)1(132-=x yC.]2,1[,232+-=x x y D ． ]1,0[,arcsin x x y =12. 函数xe y -=在区间),(+∞-∞内 （ ）A. 单调递增且图像是凹的曲线B. 单调递增且图像是凸的曲线C. 单调递减且图像是凹的曲线D. 单调递减且图像是凸的曲线 13.若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=--dx e f e x x )( （ ）A.C e F ex x++--)( B. C e F x +-)(C. C e F ex x+---)( D. C e F x +--)(14. 设)(x f 为可导函数，且xe xf =-')12( ，则 =)(x f （ ）A. C e x +-1221 B. C ex ++)1(212 C. C e x ++1221 D. C e x +-)1(212 15. 导数=⎰batdt dx d arcsin （ ）A.x arcsinB. 0C. a b arcsin arcsin -D. 211x-16.下列广义积分收敛的是 （ ）A. ⎰+∞1dx e xB. ⎰+∞11dx x C. ⎰+∞+1241dx x D. ⎰+∞1cos xdx17.设区域D 由)(),(,),(,x g y x f y a b b x a x ==>==所围成，则区域D 的面积为 （ ）A. ⎰-badx x g x f )]()([ B. ⎰-badx x g x f )]()([C.⎰-badx x f x g )]()([ D. ⎰-badx x g x f |)()(|18. 若直线32311-=+=-z n y x 与平面01343=++-z y x 平行，则常数=n （ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 19.设yxy x y x f arcsin)1(),(-+=，则偏导数)1,(x f x '为 （ ）20. 设方程02=-xyz ez确定了函数),(y x f z = ，则xz∂∂ = （ ） A. )12(-z x z B. )12(+z x z C. )12(-z x y D. )12(+z x y21.设函数xy y x z +=2，则===11y x dz （ ）A. dy dx 2+B. dy dx 2-C. dy dx +2D. dy dx -222.函数2033222+--=y x xy z 在定义域上内 （ ）A.有极大值，无极小值B. 无极大值，有极小值C.有极大值，有极小值D. 无极大值，无极小值23设D 为圆周由012222=+--+y x y x 围成的闭区域 ，则=⎰⎰Ddxdy（ ）A. πB. 2π π D. 16π24.交换二次积分⎰⎰>axa dy y x f dx 00(),(，常数）的积分次序后可化为（ ）A. ⎰⎰aydx y x f dy 00),( B. ⎰⎰a aydx y x f dy 0),(C.⎰⎰aa dx y x f dy 0),( D. ⎰⎰a yadx y x f dy 0),(25.若二重积分⎰⎰⎰⎰=20sin 20)sin ,cos (),(πθθθθrdr r r f d dxdy y x f D ，则积分区域D为（ ）A. x y x 222≤+ B. 222≤+y xC. y y x 222≤+ D. 220y y x -≤≤26.设L 为直线1=+y x 上从点)0,1(A 到)1,0(B 的直线段,则=-+⎰Ldy dx y x )( （ ） A. 2 C. -1 D. -227.下列级数中，绝对收敛的是 （ ）A ．∑∞=1sinn nπB ．∑∞=-1sin)1(n n nπC ．∑∞=-12sin)1(n nnπD ．∑∞=1cos n n π28. 设幂级数n n n na x a(0∑∞=为常数 ,2,1,0=n ），在点2-=x 处收敛，则∑∞=-0)1(n n na（ ）A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不确定29. 微分方程0sin cos cos sin =+ydx x ydy x 的通解为 （ ） A. C y x =cos sin B. C y x =sin cos C. C y x =sin sin D. C y x =cos cos 30.微分方程xxe y y y -=-'+''2的特解用特定系数法可设为 （ ）A. x eb ax x y -+=*)( B. xeb ax x y -+=*)(2C. xe b ax y -+=*)( D. xaxe y -=*二、填空题（每小题2分，共30分）31.设函数,1||,01||,1)(⎩⎨⎧>≤=x x x f 则=)(sin x f _________.32.=--+→xx x x 231lim 22=_____________. 33.设函数x y 2arctan =，则=dy __________.34.设函数bx ax x x f ++=23)(在1-=x 处取得极小值-2，则常数b a 和分别为___________.35.曲线12323-+-=x x x y 的拐点为 __________.36.设函数)(),(x g x f 均可微，且同为某函数的原函数，有1)1(,3)1(==g f 则=-)()(x g x f _________.37.⎰-=+ππdx x x )sin (32 _________.38.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,0,)(2x x x e x f x，则 ⎰=-20)1(dx x f __________.39. 向量}1,1,2{}2,1,1{-==b a与向量的夹角为__________.40.曲线⎩⎨⎧==022z xy L ：绕x 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为 _________. 41.设函数y x xy z sin 2+= ，则 =∂∂∂yx z 2_________.42.设区域}11,10|),{(≤≤-≤≤=y x y x D ，则________)(2⎰⎰=-Ddxdy x y . 43. 函数2)(x e x f -=在00=x 处展开的幂级数是________________.44.幂级数∑∞=+++-0112)1()1(n n n nn x 的和函数为 _________. 45.通解为xx e C e C y 321+=-（21C C 、为任意常数）的二阶线性常系数齐次微三、计算题（每小题5分，共40分）46．计算 xx e x xx 2sin 1lim 3202-→--.47.求函数xx x y 2sin 2)3(+=的导数dxdy. 48.求不定积分⎰-dx x x 224.49.计算定积分⎰--+102)2()1ln(dx x x . 50.设),()2(xy x g y x f z ++= ，其中),(),(v u g t f 皆可微，求 yzx z ∂∂∂∂,. 51．计算二重积分⎰⎰=Dydxdy x I 2， 其中D 由12,===x x y x y 及所围成. 52．求幂级数n n nx n∑∞=--+0)1()3(1的收敛区间（不考虑区间端点的情况）.53．求微分方程 0)12(2=+-+dy x xy dy x 通解. 四、应用题（每小题7分，共计14分）54. 某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别为y x ,千件；甲厂月生产成本是5221+-=x x C （千元），乙厂月生产成本是3222++=y y C （千元）.若要求该产品每月总产量为8千件，并使总成本最小，求甲、乙两厂最优产量和相应最小成本.55.由曲线)2)(1(--=x x y 和x 轴所围成一平面图形,求此平面图形绕y 轴旋转.五、证明题（6分）56.设)(x f 在],[a a -（0>a ，为常数）上连续， 证明：⎰⎰--+=aaadx x f x f dx x f 0)]()([)(.441 cosππdx exx.并计算⎰--+。