高等数学测试题（二）导数、微分部分答案及解析
一、选择题（每小题4分，共20分）
1、
设函数0
()10
2
x f x x ≠=⎨⎪=⎪⎩ 在0x =处（ B ）
A 不连续
B 连续但不可导
C 二阶可导
D 仅一阶可导 2、若抛物线2y ax =与曲线ln y x =相切，则a 等于（ C ） A 1 B
12 C 12e
D 2e 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ B ） A 1 B
2e C 2
e
D e 4、设函数()f x 在点x a =处可导，则0
()()
lim
x f a x f a x x
→+--等于（ C ）
A 0
B ()f a '
C 2()f a '
D (2)f a '
5、设函数()f x 可微，则当0x ∆→时，y dy ∆-与x ∆相比是（ ） A 等价无穷小 B 同阶非等价无穷小 C 低阶无穷小 D 高阶无穷小
二、填空题（每小题4分，共20分） 1、设函数()f x x x =，则(0)f '= 0
2、 设函数()x
f x xe =，则(0)f ''= 2
3、 设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则01
l i m
()n n f x n
→∞
+
= 4、 曲线2
28y x x =-+上点 处的切线平行于x 轴，点_____
处的切线与x 轴正向的交角为
4
π。

x=1 23=x
5、 d = x e dx - x
e --
三、解答题
1、（7分）设函数()()()
,()f x x a x x ϕϕ=-在x a =处连续，求()f a '
)
()(')(')()()(')(')()()('a x )()()()(a a f a a a a a f x a x x x f x x a x x f ϕϕϕϕϕϕϕ=-+=-+==-=连续在又
2、（7分）设函数
()a a x
a x a f x x a a
=++，求()f x '
设a
a m = a x n = x
a
t =
a
a a a aax
a x
a x f t a a n a a mx x f a a x x f x a a x a a
t n m t
n m x
a
a ln *ln ln )(')'(ln )'(ln )(')(1
1
1+++=++=++=---x a a x a a
a a a aax
a x
a x f x
a
a *ln ln )('21
1
+++=--
3、（8分）求曲线 sin cos 2x t y t
=⎧⎨
=⎩ 在 6t π
= 处的切线方程和法线方程
∵sin cos 2x t y t
=⎧⎨
=⎩ ∴122
+-=x y 6π=t 时 x=21 21=y
14203242
y'2
1
x x
4-y'=+-=-+-===y x y x 法线方程所以切线方程时当
4、（7分）求由方程 1sin 02x y y -+=所确定的隐函数y 的二阶导数22d y
dx
对x 求导
0*cos 211=+-
dx
dy
y dx dy y dx
dy dx
dy y cos 2
111
1)1cos 21(-=
-=- 在对x 求导
3
22
2
)cos 2
11(sin 21)cos 211(sin 21y y
y dx dy y dx
y d --=--=
6、（10分）设函数21
2
()12
x x f x ax b x ⎧≤
⎪⎪
=⎨
⎪+>
⎪⎩
，适当选择,a b 的值，使得()f x 在1
2x =
处可导 ∵()f x 在12x =处可导 ∴412
2
1
lim =→
x x
b a b ax x +=
+→
2
1
lim
2
1 4
121=+b a 。

① 1)2
1
('=-
f
a f =+')2
1( ∴a=1.。

② 由①②得a=1 b=4
1
7（7分）若2
2)()(x x xf x f y =+，其中 ()f x 为可微函数，求dy
∵2
2
)()(x x xf x f y =+ 对x 求导
x
dx y y x dy x y dx
dy
x
y )32(232
2--=
=++
8、（7分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，且满足
()()0,()()0f a f b f a f b +-''==∙>，证明：()f x 在(,)a b 内至少存在一点c ，使得 ()0f c =
8、假设0)('>a f 0)('>b f
x1，x2分别是x=a x=b 领域内的一点x1>a x2<b 在x=a 的领域内0)1(>x f 在x=b 的领域内0)2(<x f
函数()f x 在[,]a b 上连续所以在[x1 x2]内有一点是c 是
()0f c =即()f x 在(,)a b 内至少存在一点c ，使得 ()0f c =
同理当0)('<a f 0)('<b f 也一样。