第三章 函数的导数与微分习题 3－11. 根据定义求下列函数的导数: (1)x y 1=(2)x y cos =(3)b ax y +=(a ,b 为常数) (4)x y =解 (1) 因为00()()'limlimx x y f x x f x y x x ∆→∆→∆+∆-==∆∆=x x x x x ∆-∆+→∆11lim 0=01lim ()x x x x ∆→-+∆=21x -所以21y x '=-.(2) 因为 00cos()cos 'limlimx x y x x x y x x ∆→∆→∆+∆-==∆∆02sin()sin22 limsin x x xx x x ∆→∆∆-+==-∆所以 sin y x '=-(3) 因为 00[()][]'limlimx x y a x x b ax b y x x ∆→∆→∆+∆+-+==∆∆ =x x a x ∆∆→∆0lim=a所以 y a '=(4) 因为00'limlimx x y y x ∆→∆→∆==∆=)(lim0x x x x xx +∆+∆∆→∆limx ∆→==所以y '=.2. 下列各题中假定)(0'x f 存在, 按照导数的定义观察下列极限, 指出A 表示什么? (1) Ax x f x x f x =∆-∆-→∆)()(lim000(2) A x x f x =→)(lim 0(其中0)0(=f 且)0('f )存在)(3) A x f tx f x =-→)0()(lim 0(其中)0('f 存在)(4) Ah h x f h x f h =--+→)()(lim000解（1）因为 x x f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000=x x f x x f x ∆--∆--→∆)()(lim 000=)(0'x f - 故)(0'x f A -=. (2) 因为x x f x )(lim→=0)0()(lim 0--→x f x f x =)0('f故)0('f A =. (3) 因为x f tx f x )0()(lim-→=tx f tx f t x )0()0(lim 0-+→=)0('tf故)0('tf A =.(4) 因为000()()limh f x h f x h h →+--00000000000()()()()lim[]()()()()lim lim ]h h h f x h f x f x h f x h hf x h f x f x h f x h h →→→+---=-+---=+-=)()(0'0'x f x f +=)(20'x f 故 )(20'x f A =.3.已知2,,x y x ⎧=⎨⎩11≥<x x , 求d d y x 解 由已知易得当1<x 时, x y 2'=, 当1x >时, 1'=y又1)1()(lim )1(1'--=+→+x f x f f x =11lim 1--+→x x x =11)1()(lim )1(1'--=-→-x f x f f x =11lim 21---→x x x =2 )1()1(''-+≠f f即)1('f 不存在.故'2,()1,x f x ⎧=⎨⎩ 11><x x . 4. 如果f (x )为偶函数，且(0)f '存在，证明(0)0f '=.证 由于f (x )为偶函数，所以 f (-x ) = f (x ) 则00()(0)()(0)(0)limlim00x x f x f f x f f x x →-→---'==----0()(0)lim '(0)0t f t f t x f t →-=--=--故 (0)0f '=.5.讨论下列函数在0=x 处的连续性和可导性：(1) 21sin ,0,x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 00=≠x x (2) cos y x =(3)2,,x y x ⎧=⎨-⎩ 00<≥x x 解 (1) 因为0()(0)'(0)lim0x f x f f x →-=-2001sin1limlim sin 0x x x x x x x →→===所以函数 21sin ,0,x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 00=≠x x 在0=x 处可导，从而也连续.(2) 因为0()(0)'(0)l i m 0x f x f f x →-=-cos cos0limx x x→-=2002sin cos 12limlimx x xx xx→→--===所以函数cos y x =在x = 0处可导，从而也连续. (3)因为200lim ()lim 0(0)x x f x x f ++→→===00lim ()lim ()0(0)x x f x x f --→→=-==所以函数)(x f 在0=x 处连续.又因为2'00()(0)0(0)lim lim 000x x f x f x f x x +++→→--===--'00()(0)0(0)limlim 100x x f x f x f x x ---→→---===---''(0)(0)f f +-≠故'(0)f 不存在, 即函数)(x f 在0=x 不可导.6. 设函数2, 1(), 1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩，为使函数f (x ) 在x = 1处连续且可导，a ,b 应取什么值？解 由题意， 有11lim ()lim ()(1)(1)(1)x x f x f x f f f -+→→-+==⎧⎪⎨''=⎪⎩首先可得 a+b = 1 即 b = 1－a又因为 211(1)lim 21x x f x --→-'==- 11111(1)lim lim 11x x ax b ax a f ax x +++→→+-+--'===--所以a = 2 ,于是b = －1.故当a = 2, b = －1时，函数f (x ) 在x = 1处连续且可导.7.求曲线2x y =在点（-1，1）处的切线方程.解 因1'2,'2x y x y =-==-故 曲线2x y =在点（-1，1）处的切线方程为12(1)y x -=-+即 21y x =--.8*.设曲线f (x ) = x n 在点 (1, 1) 处的切线与x 轴的交点为(a n ，0), 求lim ()n n f a →∞.解 因为1(1)nx f nx n ='==所以曲线()nf x x =在点（1, 1）处的切线方程为y －1 = n ( x －1)切线与x 轴的交点为1(1,0)n -，即11n a n =-从而1()(1)nn f a n =-习题 3－21 求下列函数的导数：（1）52423+-=x x y （2）x y xln 2= (3 )x x y sin 23= (4) 4tan 3-=x y(5) )32)(23(x x y -+= (6)x x x y ln 1ln +=(7)x x e y x 22+= (8) t ty cos 1sin 1++= 解 （1）x x y 4122'-=. (2)x x y x x2)2)(2(ln ln '+=. (3) x x x x y cos 2sin 632'+=. (4) x y 2'sec 3=.(5))3)(23()32(2'-++-=x x y =x 125--. (6)x xx x x x y 22'ln 1ln 1-+-==x x x x 22ln 1ln 1--.(7) 2'4222x x e x e x y x x -=-=42222x x xe e x x x --.(8)2')cos 1()sin )(sin 1()cos 1(cos t t t t t y t +-+-+==2cos sin 1(1cos )t t t +++.2. 求下列函数在给定点的导数：（1）xxe y =, 求0'|=x y（2）θθθρcos 21sin +=, 求0'|=θρ（3）553)(2x x x f +-=, 求)0('f 和)2('f . 解 (1) 因为xx xe e y +=', 所以 10|000'=+==e e y x(2) 因为'11sin cos sin sin cos 22θρθθθθθθθ=+-=+所以'211|sin cos 22222θπθπππρ==+=.(3) 因为 x x x x f 52)5()5(3)(2'+---==x x 5253+- 所以53)0('-=f , 51)2('-=f . 3. 求21123(1)n x x nx x -++++≠ 的和.解 注意到 1()n n x nx-'=，有1212121123(1)11(1) (1).(1)n n nn n x x x nxx x x x n x nx x x +-+'⎛⎫-'++++=+++= ⎪-⎝⎭-++=≠-4. 求曲线2sin x x y +=上横坐标为0=x 的点处的切线方程和法线方程.解 当0=x 时，0=y , 且有 x x y 2cos '+=则00cos |0'+==x y =1习题 3－31. 求下列函数的导数： （1）223x y -=（2）32x ey =（3）x y arcsin = (4))ln(22x a x y ++=（5）2cos ln x ey -= (6）x y 1arctan=解 (1))4(23212'x x y --==.(2) 33'2222(6)6x xy e x x e ==.(3)x x y 2111'-==)1(21x x -.(4)y '==. (5) 22222'1(sin )(2)2tan cos x x x x x y e e x xe e e -----=--=. (6) )1(1122'x x y -+==211x +-.2. 求下列函数的导数： （1）x ey x 2cos 2-= （2）)]ln[ln(ln x x y =（3）nx x y ncos sin = （4）x x y 22ln 2-= 解 （1）'221()cos 2(sin 2)22x xy e x e x --=-+-⋅()21cos 24sin 22xe x x -=-+.(2)[]1'ln[ln(ln )]ln(ln )ln y x x x -=+⋅. (3) nx x x n y n cos cos sin 1'-=n nx x n)sin (sin -+()1sin cos cos sin sin n n x x nx x nx -=- sin cos(1)n n x n x =+.(4) x x y 2'ln 22-=)ln 221(22x x -+x x 1)ln 2(- =xx 2ln 22-x xx 2ln 2ln --.3. 设f 可导，求下列函数的导数d d yx ：（1）)(e x x e f y += （2）)(sin 2cos 2x f x y -= （3）na x f y )]([2+= （4）)]ln ([x x f f y +=（5）)arctan 1(x xf ey +=解 （1）()'1dy()d x e x e f e x e ex x -=++.（2）'2d 2sin 2(sin )d yx f x x=--x x cos sin 2.=x x f x 2sin )(sin 2sin 22'--2sin 22(sin )x f x '⎡⎤=-+⎣⎦.(3) 212d [()]()2d n yn f x a f x a xx -'=+⋅+⋅1222()()n nx f x a f x a -'⎡⎤=+⋅+⎣⎦.(4) []d 1(1)(ln )(ln )dx y f f x x f x x x ''=+⋅+⋅+.(5) 1(arctan )d d f x xye x+=)arctan 1('x x f +)111(22x x ++- 1(arctan )2211arctan (1)f x x f x e x x x +⎛⎫'=-+ ⎪+⎝⎭.4设2ln(1), >0()0, 0 , ().sin , 0x x f x x f x x x x ⎧⎪+⎪⎪'==⎨⎪⎪<⎪⎩求解 当x > 0时，[]1()ln(1)1f x x x ''=+=+ 当x < 0时，222sin sin 2sin ()x x x xf x x x '⎛⎫-'== ⎪⎝⎭当x = 0时，由0()(0)ln(1)(0)lim lim 0x x f x f x f x x +++→→-+'==-10lim ln(1)ln 1x x x e +→⎡⎤=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦22000sin ()(0)sin (0)lim =lim lim 10x x x xf x f x x f x x x ----→→→-⎛⎫'=== ⎪-⎝⎭得(0)1f '=.故 221, 01()1, 0sin 2sin , 0x x f x x x x x x x ⎧<⎪+⎪⎪'==⎨⎪-⎪<⎪⎩ . 5. 设2()1 ()()ln f x y a f x f x a '==且，证明2y y '=. 证 由复合函数的求导法则，得2()ln 2()()fx y a a f x f x ''=⋅⋅将1()()ln f x f x a '=代入上式, 可得22()()1ln 2()=22()ln fx f x y a a f x a yf x a '=⋅⋅⋅=即 2y y '=.6. 设函数f 可导，且y = f (a + t ) －f (a － t ), 求0d d t yt =.解 因为 d ()()()()d yf a t a t f a t a t t ''''=+⋅+--⋅- ()()f a t f a t ''=++-故 0d ()()2()d t yf a f a f a t ='''=+=.*7 设()lim xx x t f t t x t →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求()f t '. 解 因为1lim lim 1xx x x t x t x t x t x →∞→∞⎛⎫+ ⎪+⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭ 2lim 1 lim 1xt x t xt x t e x e e t x →∞-→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭===⎛⎫- ⎪⎝⎭所以 2()l i m l i m xxt x x x t x t f t t t t e x t x t →∞→∞++⎛⎫⎛⎫==⋅=⋅ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭故22()()(12)t tf t t e e t ''=⋅=+.习题 3－41. 求下列函数的二阶导数：（1）x xe y 2= （2）)1ln(2x y -= （3）x y arctan = （4）)21(sin 2x y +=（5）)1ln(2x x y ++= （6）2(1)arctan y x x =+解 (1)2222(12)xx x y exe e x '=+=+2222(12)24(1)x x x y e x e e x ''=⋅++⋅=+.(2) 因为 )1ln(2x y -==)1ln()1ln(x x ++-所以 ='y x x --+1111=''y 22222112(1)(1)(1)(1)x x x x -+-=-+--. (3) ='y 211x +, =''y 22)1(2x x +-.(4) ()2sin(12)cos(12)22sin212)y x x x '=++⋅=+()()2cos21248cos212y x x ''=+⋅=+. (5) ='y =()3221x y x ''==-+.(6)='y 2211arctan 2x x x x +++=1arctan 2+x x =''y 22"2arctan .1x y x x=++2. 已知)(''x f 存在，且0)(≠x f ，求22d d yx .（1）)(2a x f y += （2）)](ln[x f y = 解 (1) '22d ()22()d yf x a x xf x a x '=+⋅=+2'222d 2()2()2d y f x a xf x a x x ''=+++⋅2222()4()f x a x f x a '''=+++.(2) 'd 1()d ()y f x x f x =2'''''''2222d ()()()()()()[()]d ()()y f x f x f x f x f x f x f x x f x f x --==. 3. 设f (x ) 的n 阶导数存在，求 []()()n f ax b +.解 因[]()()()f ax b f ax b a af ax b '''+=+⋅=+[][]2()()()f ax b af ax b a f ax b ''''''+=+=+………………………………故 []()()()()n n n f ax b a f ax b +=+.4. 验证函数x e y x sin =满足关系式022'''=+-y y y . 解 因 x e y xsin '=x e xcos +''sin x y e x =x e xc o s+x e x c o s +x e x s i n -=x e x cos 2 故 '''22y y y -+=x e x cos 2x e xsin (2-)cos x e x+x e xsin 2+=0.5.求下列函数的n 阶导数的一般表达式：(1)ln y x x = (2) 3xy =解 (1) 因(4)23112ln 1,, , ,y x y y y x x x ''''''=+==-=故()1(1)(2)!(2)n n n n yn x --⋅-=≥.（2）23ln3,3ln 3, xx y y '''=⋅=⋅故 ()3(ln3)n x ny =⋅. *6 设22411x y x -=-，求y (100). 解2224133114411211x y x x x x -⎛⎫==+=+- ⎪---+⎝⎭ 而(100)(100)1011011100!1100!, 11(1)(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭(100)10110110110121013100!100! 2(1)(1)3100!(1)(1) .2(1)y x x x x x ⎡⎤=-⎢⎥-+⎣⎦⎡⎤⨯+--=⎢⎥-⎣⎦故习题 3－51. 求由下列方程确定的隐函数的导数'y ： （1）y x exy += （2）)arctan(2xy xy x =+ （3）1=-yxe y （4）033=-+a y x （a 为常数）解 （1）方程两边同时对x 求导, 得)1(''y e xy y y x +=++解方程得 ='y yx y x e x y e ++--.(2) 方程两边同时对x 求导，得=++'2xy y x 22'1y x xy y ++解方程得 3222222xy x y y x y ++'=-.(3) 方程两边同时对x 求导, 得0''=--y xe e y yy解方程得 ='y yyxe e -1.(4) 方程两边同时对x 求导, 得033'22=+y y x解方程得='y 22y x -. 2. 求曲线2ln ()cot2yy x x e π-+-=在点（e , 1）处的切线方程。