等差、等比数列基本量的运算法宝
典例解析：
题型一 等差、等比数列的基本运算
例1 已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m .
题型二 等差、等比数列的性质及应用
例2 (1)已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是( ) A ．25 B ．50 C ．100 D ．不存在
(2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 013，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 10
10＝2，则S 2 013的值为( )
A ．－2 011
B ．－2 012
C ．－2 010
D ．－2 013 题型三 等差、等比数列的综合应用
例3 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件2S n ＝3(a n －1)，其中n ∈N *. (1)证明：数列{a n }为等比数列；
(2)设数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，若c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和．
跟踪训练
1．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( ) A ．－110 B ．－90C ．90 D ．110
2．(2014·课标全国Ⅱ)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( )
A ．n (n ＋1)
B ．n (n －1) C.n (n ＋1)2 D.n (n －1)2
3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S 4＝S 5＋S 6，则数列{a n }的公比q 的值为( ) A ．－2或1 B ．－1或2 C ．－2 D ．1
4．(2014·大纲全国)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3
5．(2014·大纲全国)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64
6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n
b n 为整数
的正整数n 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
7．(2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1
3，则{a n }的通项公式是a n ＝________.
8．(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．
9．(2014·安徽)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.
10．在数列{a n }中，如果对任意n ∈N *都有a n ＋2－a n ＋1
a n ＋1－a n
＝k (k 为常数)，则称数列{a n }为等差比
数列，k 称为公差比．现给出下列问题： ①等差比数列的公差比一定不为零； ②等差数列一定是等差比数列；
③若a n ＝－3n ＋2，则数列{a n }是等差比数列； ④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比． 其中正确命题的序号为________．
11．(2014·课标全国Ⅰ)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根． (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{a n
2
n }的前n 项和．
12．(2014·北京)已知{a n}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{b n}满足b1＝4，b4＝20，且{b n－a n}为等比数列．
(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；
(2)求数列{b n}的前n项和．。