数列项与和的关系、等比等差数列定义、基本量运算一．解答题（共40小题）1．已知数列{a n}的前n项和为S n，且，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令，求数列{b n}的前n项和．2．已知数列{a n}前n项和，（1）求数列{a n}的通项公式（2）求数列{|a n|}的前20项和T20；3．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝a n•2n，求数列{b n}的前n项和T n．4．若数列{a n}的前n项和S n，且S n＝n2+n，等比数列{b n}的前n项和T n，且T n＝2n+m （1）求{a n}和{b n}的通项公式（2）求数列{a n•b n}的前n项和Q n5．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，点（a n，S n）都在函数f（x）＝2x﹣2的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列b n＝（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n；6．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2＝4，2S n＝（n+1）a n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．7．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（1）求a1，a2，a3的值；（2）证明{a n+2}是等比数列，并求a n；8．已如各项均为正数的数列{a n}的前项和为S n，且a1＝1，a n＝，（n∈N*，且n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：当n≥2时，．9．已知数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当时，求数列的前n项和T n．10．已知正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝a+a n﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣2；数列{b n}满足b1＝1，b n+1＝b n+3．n∈N*．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n＝a n b n，n∈N*．求数列{c n}的前n项和T n．12．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝3，＝1（n≥2）．（1）求a2，a3的值；（2）证明：数列{a n}为等差数列，并求出其通项公式；13．己知函数f（x）＝，数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝f（），n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝（n≥2），b1＝3，S n＝b1+b2+…+b n，若S n＜对一切n∈N*成立求最小正整数m．14．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3a n+1，n∈N+（1）证明：数列{a n}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对于∀n∈N+，有15．在数列{a n}中，（1）设，证明：数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}的前n项和．16．已知数列{a n}满足a n+1＝a n+2n+2，a1＝3．（1）证明：数列{a n﹣2n}为等差数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．17．数列{a n}满足．（1）证明：数列是等差数列，并求数列{a n}的通项公式．（2）令，求数列{b n}的前n项和S n．18．已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝（n∈N*）．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；19．己知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝4a n+3n﹣1，b n＝a n+n．（1）证明：数列{b n}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和．20．已知数列{a n}满足na n+1＝2a n（n+1），a1＝2，设．（1）证明数列{b n}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．已知数列{a n}，a1＝1，a2＝8，且．设b n＝a n+1﹣2a n，证明数列{b n﹣2}是等比数列，并求数列{a n}的通项．22．已知正项数列{a n}满足a1＝1，2a n2﹣a n﹣1a n﹣6a n﹣12＝0（n≥2，且n∈N*）设b n＝log2a n．（1）求b1，b2b3；（2）判断数列{b n}是否为等差数列，并说明理由；23．已知数列{a n}是等差数列，其公差d＞0，a2，a3是方程x2﹣8x+15＝0的两根．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n＝，求{b n}的前n项和S n．24．已知公差大于零的等差数列{a n}满足：a3a4＝48，a3+a4＝14．（1）求数列{a n}通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．25．在等差数列{a n}中，已知a2＝3，a7＝8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为S n，若S n＝，求n的值．26．在等比数列{a n}中，公比q∈（0，1），且满足a3＝2，a1a3+2a2a4+a3a5＝25．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，当取最大值时，求n的值．27．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，满足（1）求数列{a n}的通项公式及S n（2）设数列的前n项和为T n，若，求正整数n的取值范围28．设等比数列{a n}满足a1+a3＝20，a2+a4＝10，（Ⅰ）令T n＝a1a2a3…a n，求T n的最大值；（Ⅱ）令b n＝log2a n，求数列{a n b n}的前n项和S n．29．已知公差不为零的等差数列{a n}中，a2＝3，a1，a3，a7顺次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．30．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3+a5＝18，S3+S5＝50．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝，其前n项和为T n，求T n．31．已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝12，且2a1，a2，a3+1成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及S n；（Ⅱ）记，求数列{b n}的前n项和T n．32．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且为a2，a3的等比中项，a3+1为a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）设b n＝a n+1+（﹣1）n，（n∈N*），数列{}的前项和为S n，求证：S n＜．33．已知数列{a n}为等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，且a5＝5，S3＝6，数列{b n}满足a1b1+a2b2+…+a n b n＝（2n ﹣2）b n+2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令，证明：c1+c2+…+c n＜2．34．已知等差数列{a n}与等比数列{b n}都是递增数列，且满足a3＝b3＝5，a1a5＝9，b1+b5＝2a7（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝b2n﹣1，求数列|c n|的前n项和S n35．已知公差不为0的等差数列{a n}与等比数列{b n}满足a1＝b1＝1，a2＝b2，a4＝b3．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设T n＝a1b n+a2b n﹣1+…+a n b1，求T n．36．等差数列{a n}中，公差d≠0，a5＝14，a32＝a1a11．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．37．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且S3＝2S2+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为递增数列，数列{b n}满足，求数列b n的前n项和T n．38．在等差数列{a n}中，2a9＝a12+13，a3＝7，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n，并证明T n＜．39．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，满足S4＝5a22，且S1，S3，S2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足a1b1﹣a2b2+a3b3﹣…+（﹣l）n+1a n b n＝10n﹣n2（n∈N*），记数列{b n}的前n项和为T n，求T n的最大值．40．已知等差数列{a n}满足a1＝1，a3+a5＝8．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．数列项与和的关系、等比等差数列定义、基本量运算参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．已知数列{a n}的前n项和为S n，且，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令，求数列{b n}的前n项和．【解】：（1），可得n＝1时，a1＝S1＝2，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n，对n＝1也成立，则a n＝2n；（2）b n＝＝＝（﹣），可得数列{b n}的前n项和为（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．2．已知数列{a n}前n项和，（1）求数列{a n}的通项公式（2）求数列{|a n|}的前20项和T20；【解】：（1）因为，所以数列{a n}是等差数列，n＝1时，数列的首项为a1＝﹣26，a1+a2＝﹣50，所以a2＝﹣24，所以公差：d＝2，∴a n＝2n﹣28．（2）当n＜14时，a n＜0；n≥14时；a n≥0；T20＝（|a1|+|a2|+…+|a13|）+（a14|+…+|a20|）＝﹣（a1+a2+…+a13）+a14+a15+…+a20＝﹣S13+S20﹣S13＝S20﹣2S13＝224．3．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝a n•2n，求数列{b n}的前n项和T n．【解】：（1）S n＝n2+n﹣1，可得n＝1时，a1＝S1＝1；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+n﹣1﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）+1＝n+1，则a n＝；（2）b n＝a n•2n＝，当n＝1时，T1＝b1＝2；当n≥2时，T n＝2+3×22+4×23+…+（n+1）•2n，2T n＝4+3×23+4×24+…+（n+1）•2n+1，相减可得﹣T n＝10+23+24+…+2n﹣（n+1）•2n+1＝10+﹣（n+1）•2n+1，化简可得T n＝n•2n+1﹣2．（n≥2），上式对n＝1也成立，综上可得T n＝n•2n+1﹣2．4．若数列{a n}的前n项和S n，且S n＝n2+n，等比数列{b n}的前n项和T n，且T n＝2n+m（1）求{a n}和{b n}的通项公式（2）求数列{a n•b n}的前n项和Q n【解】：（1）S n＝n2+n，可得a1＝S1＝2；当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n，上式对n＝1也成立，则a n＝2n，n∈N*；等比数列{b n}的前n项和T n，且T n＝2n+m，可得b1＝T1＝2+m，n≥2时，b n＝T n﹣T n﹣1＝2n+m﹣2n﹣1﹣m＝2n﹣1，由等比数列{b n}，可得2+m＝1，即m＝﹣1，则b n＝2n﹣1，n∈N*；（2）设c n＝a n•b n＝n•2n，前n项和Q n＝1•2+2•4+3•8+…+n•2n，2Q n＝1•4+2•8+3•16+…+n•2n+1，两式相减可得﹣Q n＝2+4+8+…+2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1，化简可得Q n＝2+（n﹣1）•2n+1．5．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，点（a n，S n）都在函数f（x）＝2x﹣2的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列b n＝（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n；【解】：（1）点（a n，S n）都在函数f（x）＝2x﹣2的图象上，可得S n＝2a n﹣2，n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2﹣2a n﹣1+2，化为a n＝2a n﹣1，可得a n＝2n，对n＝1也成立，则a n＝2n，n∈N*；（2）b n＝（2n﹣1）a n＝（2n﹣1）•2n，前n项和T n＝1•2+3•4+5•8+…+（2n﹣1）•2n，2T n＝1•4+3•8+5•16+…+（2n﹣1）•2n+1，相减可得﹣T n＝2+2（4+8+…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1＝2+2•﹣（2n﹣1）•2n+1，化为T n＝6+（2n﹣3）•2n+1；6．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2＝4，2S n＝（n+1）a n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【解】：（Ⅰ）数列{a n}前n项和为S n，满足a2＝4，2S n＝（n+1）a n（n∈N*）．当n＝2时，2S2＝3a2，整理得a1＝2．所以2S n＝（n+1）a n，故2S n﹣1＝（n+1﹣1）a n﹣1，两式相减得（n﹣1）a n＝na n，所以＝2n（首项符合通项）．故a n＝2n．（Ⅱ）由于a n＝2n，所以b n＝＝．故T n＝b1+b2+…+b n＝＝4n+1﹣．7．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（1）求a1，a2，a3的值；（2）证明{a n+2}是等比数列，并求a n；【解】：（1），a1＝S1＝2a1﹣2，可得a1＝2；由a1+a2＝2a2﹣4，可得a2＝6；由a1+a2+a3＝2a3﹣6，可得a3＝14；（2）证明：n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2n﹣2a n﹣1+2n﹣2，化简可得a n＝2a n﹣1+2，则a n+2＝2（a n﹣1+2），可得{a n+2}是首项为4，公比为2的等比数列，a n+2＝4•2n﹣1，则a n＝2n+1﹣2；8．已如各项均为正数的数列{a n}的前项和为S n，且a1＝1，a n＝，（n∈N*，且n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：当n≥2时，．【解答】解：（1）由，得，即（n≥2），所以数列{S n}是以为首项，以1为公差的等差数列，所以，即，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣1，当n＝1时，a1＝S1＝1，也满足上式，所以a n＝2n﹣1；（2）证明：当n≥2时，，所以．9．已知数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当时，求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）由．可得a2＝S1＝a1＝，可得a n+1＝S n，又a n＝S n﹣1，n≥2，相减可得a n+1﹣a n＝（S n﹣S n﹣1）＝a n，即为a n+1＝a n，可得{a n}为从第二项起，公比q为的等比数列，可得a n＝a2q n﹣2＝（）n﹣1；可得a n＝；（2）＝log（）n＝n，可得＝＝﹣，则前n项和T n＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．10．已知正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝a+a n﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝a+a n﹣2．可得n＝1时，a1＝S1＝，解得a1＝2（﹣1舍去），n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣﹣，化为a n+a n﹣1＝a n2﹣a n﹣12＝（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1），由a n＞0，可得a n﹣a n﹣1＝1，则a n＝2+n﹣1＝n+1；（Ⅱ）b n＝＝＝﹣，则数列{b n}的前n项和T n＝﹣+﹣+﹣+…+﹣＝﹣2．【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣2；数列{b n}满足b1＝1，b n+1＝b n+3．n∈N*．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n＝a n b n，n∈N*．求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）S n＝2a n﹣2，可得n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，即a1＝2；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2﹣2a n﹣1+2，化为a n＝2a n﹣1，可得a n＝2n，对n＝1也成立，则a n＝2n，n∈N*，b1＝1，b n+1＝b n+3，可得b n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；（2）c n＝a n b n＝（3n﹣2）•2n，前n项和T n＝1•2+4•4+7•8+…+（3n﹣2）•2n，2T n＝1•4+4•8+7•16+…+（3n﹣2）•2n+1，相减可得﹣T n＝2+3（4+8+…+2n）﹣（3n﹣2）•2n+1＝2+3•﹣（3n﹣2）•2n+1，化简可得T n＝10+（3n﹣5）•2n+1．12．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝3，＝1（n≥2）．（1）求a2，a3的值；（2）证明：数列{a n}为等差数列，并求出其通项公式；【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝3，＝1（n≥2）．当n＝2时，，整理得：S2＝2（a1+1）＝8，所以a2＝S2﹣a1＝8﹣3＝5．当n＝3时，，整理得S3＝3（4+1）＝15，所以a3＝S3﹣a1﹣a2＝15﹣8＝7．证明：（2）由于，所以数列{}是以为首项，1为公差的等差数列．则：，整理得①，当n≥2时②，①﹣②得：a n＝S n﹣S n﹣1＝2n+1（首项符合通项）．故数列{a n}为等差数列，且a n＝2n+1．13．己知函数f（x）＝，数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝f（），n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝（n≥2），b1＝3，S n＝b1+b2+…+b n，若S n＜对一切n∈N*成立求最小正整数m．【解答】解：（1）函数f（x）＝，数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝f（），可得a n+1＝＝a n+，则{a n}为公差为，首项为1的等差数列，可得a n＝1+（n﹣1）＝；（2）n≥2时，b n＝＝＝（﹣），b1＝3＝（1﹣），则S n＝b1+b2+…+b n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝，S n＜，即为＜对一切n∈N*成立，由（1﹣）＝递增，可得（1﹣）＜，则≥，可得m≥2010，可得m的最小整数为2010．14．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3a n+1，n∈N+（1）证明：数列{a n}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对于∀n∈N+，有【解】：（1）由a n+1＝3a n+1得a n+1+＝3（a n）．又a1+＝，所以{a n}是首项为，公比为3的等比数列，所以a n+＝，因此数列{a n}的通项公式为a n＝．（2）证明：由（1）知＝．因为当n≥1时，3n﹣1≥2×3n﹣1，所以，即＝≤．于是++…+≤1++…+＝（1﹣）＜．所以++…+＜．15．在数列{a n}中，（1）设，证明：数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}的前n项和．【解】：（1）证明：由，可得，∴数列{b n}是公差为2，首项为1的等差数列；（2）由（1）可知b n＝2n﹣1，，所以数列{a n}的前n项和，①，②由①+②，得．16．已知数列{a n}满足a n+1＝a n+2n+2，a1＝3．（1）证明：数列{a n﹣2n}为等差数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【解】：（1）证明：a n+1＝a n+2n+2，a1＝3．可得a n+1﹣2n+1＝a n﹣2n+2，即有数列{a n﹣2n}为首项为1，公差为2的等差数列；（2）a n﹣2n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，即为a n＝2n+2n﹣1，可得前n项和S n＝（2+4+…+2n）+（1+3+…+2n﹣1）＝+n（1+2n﹣1）＝2n+1﹣2+n2．17．数列{a n}满足．（1）证明：数列是等差数列，并求数列{a n}的通项公式．（2）令，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）证明：数列{a n}满足．可得＝+3，即﹣＝3，可得是以1为首项，3为公差的等差数列．∴＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，a n＝n（3n﹣2）；（2）b n＝﹣4n＝3n﹣2﹣4n＝﹣n﹣2，可得前n项和S n＝n（﹣3﹣n﹣2）＝﹣．18．已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝（n∈N*）．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；【解】：（1）证明：∵a n+1＝（n∈N*），a1＝2，∴a n≠1，，∴＝，即，又a1＝2，∴，∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列；（2）由（1）知，，∴，∴数列{a n}的通项公式为；19．己知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝4a n+3n﹣1，b n＝a n+n．（1）证明：数列{b n}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和．【证明】：（1）数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝4a n+3n﹣1，b n＝a n+n．所以b n+1＝a n+1+n+1＝4a n+3n﹣1+n﹣1＝4（a n+n），故数列（常数），所以数列{b n}是以b1＝a1+1＝2为首项，4为公比的等比数列．解：（2）由于数列{b n}是以b1＝a1+1＝2为首项，4为公比的等比数列，所以．所以，故T n＝a1+a2+…+a n＝（21+23+…+22n﹣1）﹣（1+2+…+n）＝＝．20．已知数列{a n}满足na n+1＝2a n（n+1），a1＝2，设．（1）证明数列{b n}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【解】：（1）数列{a n}满足na n+1＝2a n（n+1），整理得，所以数列{b n}是以2为首项，2为公比的等比数列．（2）由于数列{}为等比数列，所以，所以，故①，②，①﹣②得．21．已知数列{a n}，a1＝1，a2＝8，且设b n＝a n+1﹣2a n，证明数列{b n﹣2}是等比数列，并求数列{a n}的通项；【解】：（1）证明：，而b1﹣2＝4∴{b n﹣2}是以4为首项2为公比的等比数列，即，累加法可求出∴；22．已知正项数列{a n}满足a1＝1，2a n2﹣a n﹣1a n﹣6a n﹣12＝0（n≥2，且n∈N*）设b n＝log2a n．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等差数列，并说明理由；【解】：（1）a1＝1，2a n2﹣a n﹣1a n﹣6a n﹣12＝0，a n＞0，可得（2a n+3a n﹣1）（a n﹣2a n﹣1）＝0，则a n＝2a n﹣1，数列{a n}为首项为1，公比为2的等比数列，可得a n＝2n﹣1；b n＝log2a n＝n﹣1，b1＝0，b2b3＝1×2＝2；（2）数列{b n}为等差数列，理由：b n+1﹣b n＝n﹣（n﹣1）＝1，则数列{b n}为首项为0，公差为1的等差数列；23．已知数列{a n}是等差数列，其公差d＞0，a2，a3是方程x2﹣8x+15＝0的两根．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n＝，求{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）数列{a n}是等差数列，其公差d＞0，a2，a3是方程x2﹣8x+15＝0的两根，可得a2＝3，a3＝5，即有d＝a3﹣a2＝2，a1＝1，则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（Ⅱ）b n＝＝＝（﹣），可得前n项和S n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．24．已知公差大于零的等差数列{a n}满足：a3a4＝48，a3+a4＝14．（1）求数列{a n}通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．【解】：（1）由设公差为d＞0的等差数列及a3a4＝48，a3+a4＝14．所以，解得a3＝6，a4＝8，所以d＝a4﹣a3＝2，所以通项公式为a n＝a3+（n﹣3）d＝2n．（2）由（1）有，所以数列{b n}的前n项和．25．在等差数列{a n}中，已知a2＝3，a7＝8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为S n，若S n＝，求n的值．【解】：（1）设公差为d的等差数列{a n}中，已知a2＝3，a7＝8．所以a7﹣a2＝5d＝5，解得d＝1，由于a2＝a1+d，所以a1＝2．故a n＝n+1．（2）由于a n＝n+1，所以，则＝，整理得，解得n＝10．26．在等比数列{a n}中，公比q∈（0，1），且满足a3＝2，a1a3+2a2a4+a3a5＝25．（1）求数列{a n}通项公式；（2）设b n＝log2a n，数列{b n}前n项和为S n，当取最大值时，求n值．【解】：（1）a1a3+2a2a4+a3a5＝25，可得a22+2a2a4+a42＝（a2+a4）2＝25，由a3＝2，即a1q2＝2，①，可得a1＞0，由0＜q＜1，可得a n＞0，可得a2+a4＝5，即a1q+a1q3＝5，②由①②解得q＝（2舍去），a1＝8，则a n＝8•（）n﹣1＝24﹣n；（2）b n＝log2a n＝log224﹣n＝4﹣n，可得S n＝n（3+4﹣n）＝，＝，则＝3++…+＝n（3+）＝＝﹣（n﹣）2+，可得n＝6或7时，取最大值．则n的值为6或7．27．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，满足（1）求数列{a n}的通项公式及S n（2）设数列的前n项和为T n，若，求正整数n的取值范围【解】：（1）等比数列{a n}的公比设为q，前n项和为S n，满足，则a1+a2＝3a1，即a2＝2a1，可得q＝2，＝15，解得a1＝1，则a n＝2n﹣1，S n＝＝2n﹣1；（2）＝＝2n﹣2﹣n，则T n＝（2+4+…+2n）﹣（2﹣1+2﹣2+…+2﹣n）＝﹣＝2n+1+2﹣n﹣3，若，则2n+1+2﹣n＞，即为22n+1＞32，解得n＞2，则正整数n的取值范围为n≥3，n∈N*．28．设等比数列{a n}满足a1+a3＝20，a2+a4＝10，（Ⅰ）令T n＝a1a2a3…a n，求T n的最大值；（Ⅱ）令b n＝log2a n，求数列{a n b n}的前n项和S n．【解】：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比设为q，a1+a3＝20，a2+a4＝10，可得q＝＝，由a1+a1q2＝20，可得a1＝16，则a n＝16•（）n﹣1＝25﹣n（n∈N*）；1≤n≤4时a n＞1，n＝5时a n＝1，n≥6时，0＜a n＜1，则n＝4或5时，T n＝a1a2…a n最大值为16×8×4×2＝1024；（Ⅱ）b n＝log2a n＝5﹣n，a n b n＝（5﹣n）•25﹣n，前n项和S n＝4•24+3•23+…+（5﹣n）•25﹣n，S n＝4•23+3•22+…+（5﹣n）•24﹣n，相减可得S n＝4•24﹣23﹣22…25﹣n﹣（5﹣n）•24﹣n＝64﹣﹣（5﹣n）•24﹣n，化简可得S n＝96+（n﹣3）•25﹣n．29．已知公差不为零的等差数列{a n}中，a2＝3，a1，a3，a7顺次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由，得，即（3+d）2＝（3﹣d）（3+5d），解得d（d﹣1）＝0，∵d≠0，∴d＝1．∴a n＝a2+（n﹣2）×d＝3+（n﹣2）×1＝n+1．即a n＝n+1．（2）．∴T n＝b1+b2+b3+…+b n＝＝＝．30．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3+a5＝18，S3+S5＝50．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝，其前n项和为T n，求T n．【解】（1）：设等差数列{a n}的公差为d，根据条件，可列出方程组：；解得：；故数列{a n}的通项公式为：a n＝3+（n﹣1）×2＝2n+1（2）解：由（1）可得，；∴＝＝．31．已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝12，且2a1，a2，a3+1成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及S n；（Ⅱ）记，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（I）设正项等差数列{a n}的公差为d，则d＞0．∵S3＝12，即a1+a2+a3＝12，∴3a2＝12，∴a2＝4．又2a1，a2，a3+1成等比数列，∴，即42＝2（4﹣d）•（4+d+1），解得d＝3或d＝﹣4（舍去），∴a1＝a2﹣d＝1，故{a n}的通项公式为a n＝a1+（n﹣1）d＝3n﹣2，且．（II）由（I）知，∴，且，∴数列{b n}是以b1＝1为首项，为公差的等差数列，∴数列{b n}的前n项和为．32．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且为a2，a3的等比中项，a3+1为a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）设b n＝a n+1+（﹣1）n，（n∈N*），数列{}的前项和为S n，求证：S n＜．【解】（Ⅰ）：由题意，，即，解得q＝2；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，则，当n＝1时，＜；当n≥2时，．故S n＜．综上，S n＜．33．已知数列{a n}为等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，且a5＝5，S3＝6，数列{b n}满足a1b1+a2b2+…+a n b n＝（2n ﹣2）b n+2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令，证明：c1+c2+…+c n＜2．【解】：（1）设首项为a1，公差为d的数列{a n}为等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，且a5＝5，S3＝6，则：，解得a1＝d＝1，所以a n＝1+n﹣1＝n，数列{b n}满足a1b1+a2b2+…+a n b n＝（2n﹣2）b n+2．①所以当n≥2时a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1＝（2n﹣2﹣2）b n﹣1+2．②，①﹣②得（2n﹣4）b n﹣1＝（n﹣2）b n，整理得，当n＝1时，b1＝2，所以．证明：（2）由于，所以，故：①，②，①﹣②得，解得T n＝2﹣＜2．34．已知等差数列{a n}与等比数列{b n}都是递增数列，且满足a3＝b3＝5，a1a5＝9，b1+b5＝2a7（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝b2n﹣1，求数列|c n|的前n项和S n【解】：（Ⅰ）设公差为d的等差数列{a n}满足满足a3＝5，a1a5＝9，所以（a3﹣2d）（a3+2d）＝9，解得d＝2．所以a n＝a3+2（n﹣3）＝2n﹣1．（Ⅱ）设公比为q的等比数列{b n}是递增数列，所以q＞1．由于b1+b5＝2a7，所以，由于b3＝5，解得，所以＝．所以c n＝b2n﹣1＝，所以，故．35．已知公差不为0的等差数列{a n}与等比数列{b n}满足a1＝b1＝1，a2＝b2，a4＝b3．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设T n＝a1b n+a2b n﹣1+…+a n b1，求T n．【解】（1）设公差为d且不为0的等差数列{a n}与公比为q的等比数列{b n}满足a1＝b1＝1，a2＝b2，a4＝b3．故a n＝a1+（n﹣1）d，，所以，解得d＝1，q＝2．故．（2）由于，所以①，②①﹣②得：＝．所以．36．等差数列{a n}中，公差d≠0，a5＝14，a32＝a1a11．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．【解】：（1）∵{a n}是等差数列，公差d≠0，a5＝14，，可得a1+4d＝14，（a1+2d）2＝a1（a1+10d），解得a1＝2，d＝3，所以{a n}的通项公式；a n＝a1+（n﹣1）d＝3n﹣1；（2）b n＝＝＝（），数列{b n}的前n项和S n＝＝＝．37．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且S3＝2S2+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为递增数列，数列{b n}满足，求数列b n的前n项和T n．【解】：（1）等比数列{a n}的公比设为q，前n项和为S n，a1＝1，且S3＝2S2+1，可得1+q+q2＝2（1+q）+1，解得q＝﹣1或q＝2，则a n＝（﹣1）n﹣1；或a n＝2n﹣1；（2）数列{a n}为递增数列，可得a n＝2n﹣1，数列{b n}满足，即为b n＝（2n﹣1）•（）n，前n项和T n＝1•+3•+…+（2n﹣1）•（）n，T n＝1•+3•+…+（2n﹣1）•（）n+1，相减可得T n＝+2（++…+（）n）﹣（2n﹣1）•（）n+1＝+2•﹣（2n﹣1）•（）n+1，化为T n＝3﹣（2n+3）•（）n；38．在等差数列{a n}中，2a9＝a12+13，a3＝7，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n，并证明T n＜．【解】：（1）等差数列{a n}的公差设为d，2a9＝a12+13，a3＝7，可得2（a1+8d）＝a1+11d+13，a1+2d＝7，解得a1＝3，d＝2，则a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；（2）证明：S n＝n（3+2n+1）＝n（n+2），＝＝（﹣），前n项和T n＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）＝﹣（+）＜．39．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，满足S4＝5a22，且S1，S3，S2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足a1b1﹣a2b2+a3b3﹣…+（﹣l）n+1a n b n＝10n﹣n2（n∈N*），记数列{b n}的前n项和为T n，求T n的最大值．【解】：（1）由S1，S3，S2成等差数列，得2S3＝S1+S2，∴a2+2a3＝0，即q＝﹣．由S4＝5a22，得，则．∴；（2）由a1b1﹣a2b2+a3b3﹣…+（﹣l）n+1a n b n＝10n﹣n2（n∈N*），可知n＝1时，a1b1＝9；当n≥2时，（﹣l）n+1a n b n＝（10n﹣n2）﹣[10（n﹣1）﹣（n﹣1）2]＝11﹣2n，将n＝1代入得a1b1＝11﹣2＝9成立，∴（﹣l）n+1a n b n＝11﹣2n，则．当n≤5时，b n＞0，当n≥6时，b n＜0．∴（T n）max＝T5＝166．40．已知等差数列{a n}满足a1＝1，a3+a5＝8．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．【解】：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差设为d，a1＝1，a3+a5＝8．可得2a1+6d＝8，即2+6d＝8，解得d＝1，可得；（Ⅱ），．。