乐经良
背景知识
衍生证券 — 期权 ()
无风险利率
约定价格
看涨期权( )；购进标的物
看跌期权( )：卖出标的物
欧式()期权；美式()期权
期权价格：一种未定权益的价格 — 方程
乐经良
简单分析
股票的现价为,由于股票价格的波动率,到 期时价格可能上扬为,也可能下跌为. 为简 单计,暂且假定涨跌幅均为％ ,则有 ％
故有
Sert pSu (1 p)Sd
乐经良
确定有关常数
利用概率论的知识，可以导出
ud 1 u e t d e t
p ad ud
(其中a ert )
乐经良
股票价格二叉树图
这是一个
的二叉树图
乐经良
计算期权的价格
期权的预期收益率也应该等于无风险利率,
故
Vert pVu (1 p)Vd
乐经良
有关数据
若将 分成五段,每段长度个月, 则 ＝(年),利用已知数据可以求出
u e0.4 t 1.1224, a e0.1t 1.0084,
d 1 0.8909 u
p a d 0.5076 ud
乐经良
用二叉树计算
注意第二 行的数字
乐经良
用前列相应两个数字和公式
V ert[ pVu (1 p)Vd ]
期权的计算将从树图
的末端( 时刻)开始向后 倒推进行.时刻 的期权价
值是已知的,可倒推出前
一个时刻的期权价格
乐经良
计算的实例
乐经良
算得期权价格
当 当然
ห้องสมุดไป่ตู้
, 得到 $ 越小，可得越精确的结果
利用
编制 文件后可以取 充分小，例如取 , 求得期权价格＝ $
()
V

1

[ pVu
(1
p)Vd ]
()
4.454
乐经良
– 方程
利用股票价格的波动遵循几何布朗运动可以
导出
V t

1 2S2
2
2V 2S 2
rS
V S
rV

0
对于欧式期权，这个方程可以求出解的公式
方程虽然影响巨大,但是它的
数学推导和求解过程在金融界较难被广泛接受和 掌握.尤其令人遗憾的是:对于美式期权,由于方
乐经良
另一方面，如前面分析，这组合在期权满日
时价格
T
ST
VT

Su Sd

Vu Vd
股价上涨时 股价下落时
由于组合无风险，故
Su Vu Sd Vd
Vu Vd
S(u d )
T

u
d
d
Vu

u
u
d
Vd
V

1

[ d
ud
Vu
乐经良
程序
() *; ; (*()); ; (*); ()();
()*^*^(); ()(());
() ()(*)*(()*()*());
; [ ];
;
乐经良
美式期权的例子
股票现价＝(美元),该股票的年波动率 为 ,市场的无风险年利率 ;敲定价 格 (美元),美式看跌期权的有效期为五个 月,即 (年)意味着期权持有者有权在 五月内的任何一天执行期权,即他可以用敲定价 格出售股票给期权提供者;当然他也可以放弃 这种权利.那么这种期权的定价应为多少?
V ert[ pVu (1 p)Vd ]
（不提前执行时的期权价 格）股票约定价格与当时价 格的差
（提前执行时的期权价格）
比较之：应取较大的数字
由 和 算出 , 差价为，故取 由和算出, 差价为,故取
乐经良
实验任务 选择本实验必须至少完成 任务、
乐经良
谢谢各位！
乐经良
个人整理，仅供交流学习！
， ％＝ ($)
($)
($)
显然前一情况客户会执行期权，后一情
况会放弃期权
乐经良
期权价格
在股票价格为$时,客户必定以敲定价格
$ 购进股票.这时期权的价格应为 (美元)
在股票价格为$ 时,客户必定放弃这约
定的股票购买权,这时期权的价格应为
(美元)
在期满日 时,期权价格为
(–, )
()
反问题：由 求
? ()
数学实验
期权定价问题的方程和 二叉树法
上海交通大学数学科学学院
实际问题
在世界大多数证券市场上,有一种期权 ()的交易.例如,某种股票的现价为
美元,该股票的年波动率 ,市场的无 风险年利率 ;若客户希望拥有在六个月即 年后以约定价格(美元)购进这种股票 的权利,而届时他也可以放弃这种权利.试问:为 拥有这种购买的选择权,客户该付多少钱? 换言 之,这种期权的价格为多少?

u
ud
Vd ]
将数据代入 ρ ×, , , 得到
乐经良
再作分析
公式
V

1

[ d
ud
Vu

u u


d
Vd
]
记
那么
p d
ud
1 p u
ud
注意 正是股票价格上扬的概率
是股票价格下跌的概率，于是
V

1

[ pVu
(1
p)Vd ]
乐经良
这意味着可以由 和 来导出
程的定解问题更为复杂,不可能求出解的表达式.
乐经良
二叉树
在简单分析中.有一个显然的问题,例子中
到期满日股价只有两种可能以及涨跌幅％的 假定都是很粗略的
事实上股票时刻都有可能涨跌，因此我们
将 分为很多小的时间间隔,而在每一个,
股票价格变化由 到或.若价格上扬的概率
为,那么下跌的概率为
如前所述,股票预期收益率等于无风险利率
乐经良
如何定价的思路
基本思路是套期保值,即交易者为减少风险而 采取的投资组合()的策略.假定现在套 利者卖出一份股票期权,价格为 ,再以价格 买进
份这种股票,那么该组合的价格为
S V
组合的目的是使之不具有风险,从而可获得无 风险利率，那么在期权期满日,组合增值后价值为
T (S V ) 其中 erT