二叉树期权定价法
摘要上世纪七十年代以来金融衍生品得到了蓬勃的发展，在这之中，期权的地位尤为受到重视，居于核心地位，很多的新创的衍生品，都包含了期权的成分。

所以一直以来，期权的定价问题受到了大量经济学家的探索。

实物期权的定价模式的种类较多，理论界和实务界尚未形成通用的定价模型，主要估值方式有两种：一是B l a c k-S c h o l e s期权定价模型；二是二叉树期权定价模型。

1973年，布莱克和斯科尔斯(B l a c k a n d C s c h o l e s)提出了
B l a c k-S c h o l e s期权定价公式，对标的资产的价格服从正态分布的期权进行定价。

随后，罗斯开始研究标的资产的价格服从非正态分布的期权定价理论。

1976年，约翰·考克斯(J o h n
C a r r i n g t o n C o x)、斯蒂芬·罗斯(S t e p h e n A.R o s s)在《金融经济学杂志》上发表论文“基于另类随机过程的期权定价”，提出了风险中性定价理论。

1979年，约翰·考克斯(J o h n C a r r i n g t o n C o x)、斯蒂芬·罗斯(S t e p h e n A.R o s s)、马克·鲁宾斯坦（M a r k R u b i n s t e i n）在《金融经济学杂志》上发表论文“期权定价：一种简单的方法”，该文提出了一种简单的对离散时间的期权的定价方法，被称为C o x-R o s s-R u b i n s t e i n二项式期权定价模型。

关键词
B l a c k-S c h o l e s期权定价模型虽然有许多优点,但是它的推导过程却是难以为人们所接受；二叉树期权定价模型假设股价波动只有
向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，股价每次向上(或向下)波动的概率和幅度不变。

模型将考察的存续期分为若干阶段，根据股价的历史波动率模拟出正股在整个存续期内所有可能的发展路径，并对每一路径上的每一节点计算权证行权收益和用贴现法计算出的权证价格。

一、单期二叉树模型
该定价模型假设资本市场是完全竞争和无摩擦的（不存在交易费用和税收），不存在无风险套利机会，股票和期权是无限可分的。

假设把期权的有效期分为很多很小的时间间隔，那么证券在下一期的价格只会有两种可能：
1：从开始的S上升到原先的u倍，即到达S u，且上升的概率为q;2：下降到原先的d倍，即S d,下降的概率为1-q,。

其中u>1,d<1
q S u(f u)
S(f)
1-q S d(f d)
其中股票当前价格为S,期权当前价格为f。

我们可以构造一个由股的股票多头和一份该股票期权的空头∆来组成无风险证券组合，期损益状态如下：
当股票价格上升时，股票价格为S u ,期权价值为f u ，组合的价值为S u -f u ;当股票价格下降时，股票价格为S d ,期权价值为f d ，组合∆的价值为S d -f d .要求两种情况下组合的价值相等，则有
∆S u -f u =S d -f d ∆∆
解得∆=f u -f d S u -S d
由于该组合的收益率一定是无风险收益率，故期期末收益的现值
为（S u -f u ）,构造该组合的成本为S -f ,所以有
∆e -r T ∆（S u -f u ）S -f ∆=∆
e -r T 从而求得该期权的价格为
f =[p f u +(1-p )f d ],其中p =e -r t e r T -d u -d。