3 2
Z4
O
2
x
Z5
2
3. 复数的模
复数 z a bi 所对应的点 Z a, b 到坐标原点的距离
叫做 复数 z 的模（或绝对值），记作 z .
y
由复数模的定义：z a2 b2 z 0
注：当 b 0时，复数 z a bi是一个实数a， b
Z：a bi
它的模等于 a 即实数a的绝对值 .
思考 若 a b 呢,复数 z a bi 共有多少个？
10 9 90 个
2.复数的向量表示
y
平面直角坐标系内点 Z a,b
一一对应
b
uuur
位置向量OZ a,b
O
Z：a bi
Hale Waihona Puke ax所以一个复数 z a bi
一一对应
位置向量
uuur OZ
a,
b
uuur
即，我们可以用向量 OZ a,b 表示复数 z a bi
解：
t2 2t 0
t 1 2t 1
0
1 t2 2
uuur
复数 z 对应的点 Z 到原点的距离等于4, 即 OZ 4
满足 z 4的复数 z 对应的点 Z
y
所组成的集合(轨迹）： 是以原点为圆心，半径为4的圆.
Z：x yi 4
或设z x yi x, y R
O
4x
z x2 y2 4 即 x2 y2 16
同理，满足 2 z 4 的复数 z 对应的点Z所组成的集合：
复数的坐标表示方法
➢ x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴 y
➢ 表示实数的点都在x 轴上，
表示纯虚数的点都在y轴上. b
Z：a b i
➢ 原点表示实数 0
O
a
x
➢ 复数集C和复平面内所有点组成的集合之间元素一一对应.
例1 已知集合A 0，1，2，L ，8，9,设复数 z a bi , a, b A 1 复数 z a bi共有多少个？ 1010 100 个 2 复数 z a bi共有多少个实数？ b 0 10 个 3 复数 z a bi共有多少个纯虚数？a 0, b 0 9 个
哪些命题正确的：_______②___③______ .
① z 所对应的点在左半平面； ② z 所对应的点在上半平面；
③ z 不可能为实数；
④ z 不可能为纯虚数.
z 2t 1t 3 t 12 1 i
例5 复数 z t2 2t t 1 i t R 表示的点 Z在第二象限内，
2t 1 则t的取值范围是 ________________ .
15.2 复数的坐标表示 —— 复数的几何解释
1.复平面
一个复数 z a bi 一一对应 一个有序实数对a,b
而一个有序实数对a,b 一一对应 在平面直角坐标系内点Z a,b
所以，一个复数 a bi 一一对应 点Z a,b
➢ 这就意味着, 可以用直角坐标平面内的点来表示复数.
建立了直角坐标系来表示复数的平面称为复平面
O
a
x
可见，复数模的概念是实数绝对值概念的推广.
根据复数模的定义：
uuur
uuur
复数 z a bi 模与其对应的向量 OZ 的模相一致,即 z OZ .
所以复数的模也可以说成其对应向量的模.
复数模的几何意义
由复数模定义可知： z a a 0 的几何意义
如：复数 z 满足 z 4 就是：
是以原点为圆心， 以 2 和 4 半径的两个圆之间的圆环.
y
Z：x yi
O 24 x
例3 求下列复数的模:
1
z1
1 2
3
z3
3 5
2i
z1
4 i
5
3 2 z2 i z2 1
2
4 z4 cos15 i sin15
z3 1
z4 1
例4 复数 z 2t2 5t 3 t2 2t 2 i t R , 试问下列
规定： 相等向量表示同一个复数.
y
ur a : a bi
b
Z：a bi
O
a
x
➢ 所以，任何向量都唯一地对应了一个复数.
例2 在复平面上作出 表示下列复数的向量
z1 2 2i z5 3 2i
z2 2 2i z6 3 2i
y
z3 2i
z4 2
Z6 Z2
2 Z3
Z1 : 2 2i