作业习题1、求下列函数的导数。

（1）223)1(-=x x y ； （2）xxy sin =； （3）bx e y ax sin =； （4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）xxx y )1(+=。

2、求下列隐函数的导数。

（1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。

3、求参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二阶导数22dxyd 。

4、求下列函数的高阶导数。

（1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。

5、求下列函数的微分。

（1）)0(,>=x x y x ； （2）21arcsin xx y -=。

6、求双曲线12222=-by a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。

7、用定义求)0(f '，其中⎪⎩⎪⎨⎧=,0,1sin )(2xx x f .0,0=≠x x 并讨论导函数的连续性。

作业习题参考答案：1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222⋅-+-= )37)(1(222--=x x x 。

（2）解：2sin cos )sin (xxx x x x y -='='。

（3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。

（4）解：][1])[ln(222222'++++='++='a x x a x x a x x y])(211[1222222'+++++=a x a x a x x]2211[12222x ax ax x ⋅++++=]1[12222ax x ax x ++++=221ax +=。

（5）解：)11()11(11)11(arctan2'-+-++='-+='x x x x x x y 11)1()1()1()1(2)1(2222+-=-+--⋅+-=x x x x x x 。

（6）解：)(])1[(1ln '='+='+x xx xe xx y ]1ln )1()1()1([)1(2x x x x x x x x x x x +-+-+⋅++= )1ln 11()1(xx x x x x +-++=。

2、（1）解：两边直接关于x 求导得0)1)(sin(cos sin ='++++'y y x x y x y )sin(sin )sin(cos y x x y x x y y ++++-='。

（2）解：将0=x 代入原方程解得,1=y原方程两边直接关于x 求导得 0='++'y x y y e y ， 上方程两边关于x 再次求导得 ,02)(2=''+'+''+'y x y y e y e y y 将0=x ，,1=y 代入上边第一个方程得1)0(--='e y ，将0=x ，,1=y 1)0(--='e y 代入上边第二个方程得2)0(-=''e y 。

3、解：),cos 1(t a dt dx -=t a dtdy sin =； 2cot )cos 1(sin tt a t a dt dx dt dy dx dy =-==； 2csc 41)cos 1(1)212csc ()(4222t a t a t dxdt dx dy dt d dx y d -=-⋅-=⋅=。

4、（1）解：1-='ααx y ；2)1(--=''αααx y ；……依此类推)1(,)1()1()(≥+--=-n x n y n n αααα 。

（2）解：设,,2sin 2x v x u ==则)50,,2,1)(22sin(2)( =⋅+=k k x u k k π，),50,,4,3(0,2,2)( ===''='k v v x v k代入萊布尼茨公式，得2)2482sin(2!249502)2492sin(250)2502sin(2)2sin (4849250)50(2)50(⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+==πππx x x x x x x y )2sin 212252cos 502sin (2250x x x x x ++-=。

5、（1）解：),1(ln )(ln +='='x x e y x x x dx x x dy x )1(ln +=. （2）解：]122arcsin 111[112222xx x x x x y --⋅----='2322)1(arcsin 1x x x x -+-=；='=dx y dy dx x x x x 2322)1(arcsin 1-+-。

6、解：首先把点)3,2(b a 代入方程左边得1343422222222=-=-=-b b a a b y a x ，即点)3,2(b a 是切点。

对双曲线用隐函数求导得,,0222222ya xb y b y y a x ='⇒='-过点)3,2(b a 的切线的斜率为,3232)3,2(22ab ba ab b a y =='故过点)3,2(b a 的切线方程为)2(323a x ab b y -=-；过点)3,2(b a 的法线方程为)2(233a x bab y --=-。

7、解：,01sin 1sin0)0()()0(lim lim lim200===--='+++→→→+x x x x x x f x f f x x x 同理0)0(='-f ；故0)0(='f 。

显然xx x x x x x x x f 1cos 1sin 211cos 1sin2)(22-=⋅-='在0≠x 点连续，因此只需考查)(x f '在0=x 点的连续性即可。

但已知x 1cos 在0=x 点不连续，由连续函数的四则运算性质知)(x f '在0=x 点不连续。

讨论习题： 1、 设,)3()(-=x x x x f 求)(x f '。

2、 求和n n x n x x x S 2322232++++= 。

3、设函数)(x f 在]1,1[-上有定义，且满足,11,)(3≤≤-+≤≤x x x x f x证明)0(f '存在，且1)0(='f 。

讨论习题参考答案：1、解：因为⎪⎩⎪⎨⎧---=),3(),3(),3()(222x x x x x x x f .0,30,3<<≤≥x x x易知)(x f 在开区间),3()3,0()0,(+∞⋃⋃-∞内都是可导的；又 对于分段点0=x ，3=x ，有00)3(0)0()()0(200lim lim=--=--='++→→+x x x x f x f f x x ，00)3(0)0()()0(200lim lim=--=--='--→→-x x x x f x f f x x ，即0)0(='f ；930)3()3(2323lim lim ==---='++→→+x x x x f x x ，9)(30)3()3(2323lim lim -=-=---='--→→-x x x x f x x ，即)3(f '不存在；所以除3=x 之外)(x f 在区间),3()3,(+∞⋃-∞內均可导，且有⎪⎩⎪⎨⎧--=',36,0,63)(22x x x x x f ).3,0(,0),,3()0,(∈=+∞⋃-∞∈x x x 2、解：因为xx x x x n n--=+++++11112，212)1()1(1)1(x nx x n x x x n n n-++-='++++⇒+ ， 2112)1()1(1321x nx x n nxx x n n n -++-=++++⇒+- ； ]1)1()122([)1(])1()1([})1()1(1[])321([)32()321(3221222322121123212132223222--++-+--='-++-='-++-⋅='++++='++++=++++=++++=⇒+++++---x x n x n n x n x x x nx x n x x x nx x n x x nx x x x x nx x x x x x n x x x x n x x x S nn n n n n n n n n n n3、证：由,11,)(3≤≤-+≤≤x x x x f x 可知当0=x 时，0)0(0≤≤f ， 即0)0(=f 。

又)0,11(,0)0()()(3≠≤≤-+≤--=≤x x xx x x f x f x x f x x ；已知1300limlim =+=→→x xx x x x x ，由两边夹定理可得 10)0()()0(lim=--='→x f x f f x 。

思考题： 1、若)(u f 在0u 不可导，)(x g u =在0x 可导，且)(00x g u =，则)]([x g f 在0x 处（ ）（1） 必可导，（2）必不可导，（3）不一定可导。

2、设)(x g '连续，且)()()(2x g a x x f -=，求)(a f ''。

思考题参考答案：1、 解：正确选择是（3）例如：u u f =)(在0=u 处不可导；若取x x g u sin )(==在0=x 处可导，则x x g f sin )]([=在0=x 处不可导；即（1）不正确。

又若取4)(x x g u ==在0=x 处可导，则有44)]([x x x g f ==在0=x 处可导。

即（2）也不正确。

2、解：因为)(x g 可导，所以)()()()(2)(2x g a x x g a x x f '-+-=' 又因为)(x g ''不一定存在，故用定义求)(a f ''，)(2)]()()(2[)()0)(()()()(lim limlima g x g a x x g ax x f a f ax a f x f a f ax a x ax ='-+=-'=='-'-'=''→→→。