x0
x
又 y x0 0
当 nN 时, 函数在在点 x = 0 处连续.
29
y
x n sin
1 x
,
0 ,
x0 x0
当
n
=1 时,
lim y
lim
x sin
1 x
lim sin
1
x x0
x0
x
x0 x
故 n =1 时, 函数在 x = 0 处不可导.
不存在,
当 n >1 时,
lim y
lim
x 0
|
x x
|
1
故 f (0) 不存在.
但
lim | x | 0
x0
y x0
,
故
y
| x | 在点
x
0 处连续 .
28
例4
讨论
y
xn
Байду номын сангаас
sin
1 x
,
x0 (n Z )
0 ,
x0
在点 x = 0 处的连续性和可导性.
解 | sin 1 | 1 ,
x
lim xn sin 1 0 (n Z )
(1) [u( x) v( x)] u( x) v( x);
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
(3)
[u( x)] v( x)
u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
(v( x) 0).
34
推论
n
n
(1) [ fi ( x)] fi( x);
13
3. 导函数
定义 若 x(a, b), 函数 f (x) 皆可导, 则说 f (x) 在
(a, b) 内可导. 这时 f (x) 是关于 x 的一个新函数,
称之为 f (x) 在 (a, b) 内的导函数. 通常我们仍称之
为 f (x) 在 (a, b) 内的导数：记为f (x).即
f
( x)
设函数 f (x) 在 (x0- ,x0], 内有定义, 若
且 lim y lim f ( x0 x ) f ( x0 ) a
x x 0
x 0
x
则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的左导数. 记为 f(x0 ) a
定理 f ( x0 ) a f( x0 ) f( x0 ) a
lim
x0
y x
lim
x0
f
(x
x) x
f
(x)
f 的导数还可记为 y, d y , d f (x) . dx dx
14
定义
若 f (x) 在 (a, b) 内可导, 且 f(a) , f(b) 存在,
则称 f (x )在 [a, b] 上可导, f (x) 称为 f (x) 在 [a, b] 上 的导函数, 简称为导数.
f (x) f (x0 ) ; x x0
f (x0 )
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
lim
x0
y x
11
注1. 若 lim f (x0 x) f (x0 ) 存在，则称
x0
x
f (x)在x0可导(或称f (x)在 x0 的导数存在). 否则，称 f (x)在x0不可导(或称 f (x)在 x0的导数不存在). 特别
故所求切线方程为： y –1= 2(x –1) , 即 y = 2x –1.
26
三 可导与连续的关系
设 f (x) 在点 x0 可导, 即有
f (x0 )
lim y x0 x
lim
x x0
f
(x) x
f (x0 ) x0
于是
y x
f ( x0 )
0 (x 0)
y f ( x0 )x x
若 lim x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
(不可导)，
也称f (x)在 x0 的导数 为无穷大.
12
2.左、右导数
定义 设函数 f (x) 在 [x0 , x0+ ) 内有定义, 若
lim
x0
y x
lim x0
f (x0
x) x
f (x0 )
a
则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的右导数. 记为 f ( x 0 ) a.
2 2
x
等价无穷小
lim
cos x
x
或重要极限
cos x
x0
2
(sin x) cos x
(cos x) sin x （仿照正弦函数的推导方法）
19
总 结 C 0 (xa ) axa1 (sin x) cos x (ex ) ex (ln x) 1 x
(cos x) sin x
解 y 3x 2 4 x cos x.
例2 求 y sin 2x ln x 的导数 . 解 y 2 sin x cos x ln x
y 2 cos x cos x ln x 2 sin x ( sin x) ln x 2 sin x cos x 1 x
2 cos 2x ln x 1 sin 2x. x
点 Q 沿曲线 L 趋向点 P 时
割线 PQ 的极限位置 PT
割线 PQ
L
切点 P
T
切线PT
7
定义 平面曲线 y = f (x) 的切线：
曲线在点 A(x0, y0) 处的切线 AT 为过曲线上 点 A 的任意一条割线 AA’ 当点 A’(x0+x, y0+ y) 沿曲线趋近于点 A 时的极限位置.
x0
x
x0 x
则称函数 f (x) 在点 x0 处可导, 极限值 a 称为 f (x) 在
点 x0 处的导数. 记为 f (x0 ) a， y'|xx0 a,
d
f (x0 ) dx
a， d y dx
x x0
a.
10
如果函数 f (x) 在点 x0 处可导, 则
f '(x0 )
lim
x x0
37
例4 求 y sec x 的导数 .
解
y (sec x) ( 1 ) cos x
(cos x) cos2 x
sin x cos2 x
sec x tan x.
(sec x) sec x tan x.
同理可得 (csc x) csc x cot x.
38
第二章 导数与微分
反函数的导数 复合函数的求导法则
y f (x0 x) f (x0 ) ;
x
x
(3) 求 x 0 的极限：
lim y lim f (x0 x) f (x0 ).
x0 x x0
x
9
二.导数的概念
1. 导数的定义
定义 设函数 f (x) 在 U(x0) 有定义, 且 x0+x U(x0).
如果极限 lim f ( x0 x) f ( x0 ) lim y 存在,
隐含数的导数
44
反函数的导数
定理 如果函数 x ( y)在某区间 I y内单调、可导
且 ( y) 0 , 那末它的反函数 y f ( x)在对应区间
I x内也可导 , 且有
f
(
x)
1 ( y
)
.
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
45
例例16 求函数 y arcsin x 的导数.
切线方程: y y0 k(x x0 ) , 其中,
k tan
lim tan x0
lim y . x0 x
y y f (x)
O
A T
y AB
x
x
8
小结
解决与速度变化或变化率相关问题的步骤: (1) 建立一个函数关系 y = f (x) xI .
(2) 求函数由 x0 到 x0+ x 的平均变化率：
2
m
(1 (x))r 1 ~ r(x) (r 0)
17
例1 求下列函数的导数.
1. y C(常数）.
f (x) lim f (x x) f (x)
x0
x
2. y sin x .y cos x 3. y xn (n z）. y xa (a 0）. 4. y ax (a 0, a 1) y ex
23
曲线 y = f (x) 在点 x0 处的切线可能平行于x 轴、 垂直于 x 轴、或不存在, 所反映出的导数值是：
切线平行于x 轴： f (x0 ) 0 切线垂直于x 轴： f (x0 ) （曲线为连续曲线） 在点 x0 处无切线： f (x0) 不存在.
24
f (x0) = 0 y
y=c
x
3.求极限
2. 算比值
16
设在某极限过程中, (x) 0, 则
sin(x) ~ (x) tan(x) ~ (x)
1 cos(x) ~ 2(x)
2
ln(1 (x)) ~ (x) e(x) 1 ~ (x) a(x) 1 ~ (x)ln a
(1 (x))n 1 ~ n(x)
1 (x) 1 ~ (x) m 1 (x) 1 ~ (x)
函数在点 x0 I 处的导数: f (x0 ) f (x) xx0
先求导、后代值.
15
4. 求函数的导数
由 f (x) lim y lim f (x x) f (x) 可知
x x0
x0
x
求导数可分为如下几步： 1.写出函数的增量 y
f (x) lim f (x x) f (x)