椭圆标准方程典型例题（参考答案）例1已知椭圆mx 23y 2 6m 0的一个焦点为（0, 2）求m 的值. 解：方程变形为x 22y 2m1•因为焦点在y 轴上，所以2m 6，解得m 3 . 又c 2，所以2m 5适合.故m 5.例2已知椭圆的中心在原点，且经过点P 3,0 ,a 3b ，求椭圆的标准方程.解：当焦点在x 轴上时，设其方程为2与 1 a b 0 .b 29 0由椭圆过点P 3,0，知冷 2a b3b , 代入得b 21 当焦点在y 轴上时，设其方程为2y 2 ax 2 2a 9，故椭圆的方程为99 由椭圆过点P 3,0，知弓a0 3b , 联立解得 a 281,八9，故椭圆的方程为右2x-1.9 例3 ABC 的底边BC 16 , AC 和AB 两边上中线长之和为 30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹.解：（1）以BC 所在的直线为x 轴,BC 中点为原点建立直角坐标系.设G 点坐标为x , y ，由GC GB 20,知G 点的轨迹是以B 、 C 为焦点的椭圆, 且除去轴上两点.a 10,c 8，有 b 6 ,2故其方程为— 100 2y36(2)设 A x , y2，则—100 2y 361yx由题意有x3代入①，得A 的轨迹方程为 y 32 x900 2y324，其轨迹是椭圆（除去 x 轴上两点）.例4已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上, 点P 到两焦点的距离分别为 4.5 2 5空和 3，过P 点作焦点所在轴的垂线,3它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程. 解：设两焦点为 F 1、F 2，且PF 1从 PF 1 PF 2 知 PF 2 4.5 3三5 .从椭圆定义知3垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt PF 2F 1 中, 2a sin PF 1 PF 2 2/ 5 .即 a PF 1F 2PF 2PF1可求出 PF 1F 2 —, 2c PF 1 cos —6 -2 5，从而b 26 31(4)椭圆上有两点P 、Q , O 为原点，且有直线 OP 、OQ 斜率满足k OP k oQ -,2求线段PQ 中点M 的轨迹方程.解：设弦两端点分别为 M x-i , y 1 , N X 2, y ，线段MN 的中点R x , y ，则x 2 2y 2 2, ① ①一②得 x 1 x 2 x 1 x 2 2 y 1 y 2 y 1 y 2 0 .x f 2y | 2,② V 1 V 2 由题意知X 1 X 2，则上式两端同除以 X 1 X 2，有X 1 X 2 2 y 1 y 2x x 2 2x , ③x 1 x 2y y 2 2y ,④将③④代入得X 2yh^i 0 .⑤x < x 2(1)将x 丄,y 1代入⑤，得必^21，故所求直线方程为：2x 4y 3 0 •⑥2 2x-i x 2 2•••所求椭圆方程为2x 3y 2 1或 3x 22y 1 • 5 10105X 2 例5已知椭圆方程弋 a 2y1 a b 0 , 长轴端点为A , A 2，焦点为F 1 , F 2,上一点， A 1PA 2 ,F 1PF 2求:F 1PF 2的面积(用a 、b 、表示).解：如图，设P x , ,由椭圆的对称性,不妨设P x , y ,由椭圆的对称性,不妨设P在第一象限•由余弦定理知: 由椭圆定义知: PF i F 1PF 2例6已知动圆(2) F 1F 222PF i |PF 2 2PF I 「PF ?CO S4c 2 •①|PF 2 2a12〔PFi ||PF 2 sin②，则②2—①得PFi | |PF 22b 2 1 cos1 2b2 sin2 1 cosP 过定点A 3,0，且在定圆B ： x 3 2y 2 64的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程.解：如图所示，设动圆 P 和定圆B 内切于点M •动点P 到两定点, 即定点A 3,0和定圆圆心 B 3,0距离之和恰好等于定圆半径,即PA半长轴为 已知椭圆 求斜率为 PB |PM PB4,半短轴长为b2f y 2 1 ,(1)B M 8.「.点P 的轨迹是以A ,B 为两焦点,,42 32求过点P2的平行弦的中点轨迹方程; 2-7的椭圆的方程：—16 1 1丄，丄 且被P 平分的弦所在直线的方程;2 2(3)过A 2,引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程;36将⑥代入椭圆方程2 2 21x 2y 2 得 6y 6y - 40符合题意，2x 4y 3 0为所求.(2) 将X 1 X 22代入⑤得所求轨迹方程为:x 4y0 .（椭圆内部分）(3)将匕丄X 1 X 2y丄代入⑤得所求轨迹方程为:2(4) 由①+②得x ； x ； 4x 22 2x ,x 2 22 2y 1 y 22，⑦,将⑧⑨代入⑦得:2X 1X 2,⑧,2 y12 y24x 2 2x ,x 24y 22y 2 2x2y 0 .（椭圆内部分）将③④平方并整理得4y 2 2yM ,1 再将y 〃2 NX ?代入⑩式得:2 2x 2x 1 x 2 4y 1 ^x 2 2 x 22匕1. 1 2例8已知椭圆4x 2 y 21及直线y x m . （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点? （2）若直线被椭圆截得的弦长为 ，求直线的方程. 5 解: (1) 把直线方程y x m 代入椭圆方程4x 2 y 2 1得 4x 2 即5x 2 2mx m 2 1 0 2m 2 4 m 2 1 16m 2 20 05m ——2（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x 1 , x 2，由（1 ）x 1 x 22m 5mx 2根据弦长公式得 ：.11222m5m 2 1 5m 0 .方程为y x .2 2例9以椭圆-—1的焦点为焦点，过直线12 39 0上一点M在何处？并求出此时的椭圆方程. 解：如图所示，椭圆 2 x 12 2 工 1的焦点为F 1 3 3,0 , F 2 3,0 .点F 1关于直线 y 9 0的对称点F 的坐标为（一9, 6）,直线 x 2y 3 0.解方程组x 2yx y3 0得交点M的坐标为（一5, 4）・此时9 0 MF1 [MF?最小.所求椭圆的长轴: 2a MF1 MF2 FF26j5 , • a 3.5 ，又c 3,例10—23.5 3236 •因此，所求椭圆的方程为2x452匕1 •36解：由例11已知方程已知x2解：方程可化为2 2x yk:53k0,0,得3 k3k,;iny2 cos2 2x y1 11 .因为焦点在1表示椭圆，求k的取值范围.5，且k 4 ••••满足条件的k的取值范围是3k 5，且k 4 •1 (0 ）表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围.y轴上，所以cos sinsin cos因此sin 0 且tan3 1从而( ----------2 ' 4例12求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A（ .3, 2）和B（ 23,1）两点的椭圆方程.解：设所求椭圆方程为mx2 ny21( m 0, n 0).由A( . 3 , 2）和B（ 23 ,1）两点在椭圆上可得m (,3)2 n ( m ( 2、3)2 n22) 1,旳3m 4n 1, 1即所以m —, n12 1, 12m n 1, 151•故所求的椭圆方程为/5 152y_5例13 知圆x2 y21，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段, 求线段中点M的轨迹.解：设点M的坐标为（x , y）,点P的坐标为（x0, y0）,x0，y因为P(x0, y0)在圆x2 y2 2 21上，所以X0 y。
将x02x , y0y代入方程 1 •所以点M的轨迹是一个椭圆4x2y2 1•例14已知长轴为12,短轴长为6, 焦点在X轴上的椭圆, 过它对的左焦点片作倾斜解为一的直线交椭圆于A,3点，求弦AB的长.解：（法1）利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.AB V1 k2|x1X2,(1 k2)[(x1 x2)24x1x2] •因为a 6, b 3，所以c 3 3 .因为焦点在x轴上,2 2所以椭圆方程为x y 1，左焦点F（3、3,0），从而直线方程为y36 93x 9 •36解：方法一：设所求直线方程为y 2 k （x 4）.代入椭圆方程，整理得所以m —— .同理在 BF 1F 2中，用余弦定理得 n4 <3（法3）利用焦半径求解.4 22•••所求椭圆方程为竺 y 115 32止 1所截得的线段的中点，求直线 I 的方程.9由直线方程与椭圆方程联立得:13x 2 72.3x 36 80 .设X i , X 2为方程两根，所以X i X 272, 3 13，36 8 , ,k 3 ,13（法2）利用椭圆的定义及余弦定理求解.X i X 2从而AB2 2 由题意可知椭圆方程为乞乞 1,设369 AF 1 &―|x i X 2k 2)[(x i X 2)24x i X 2]48 13n ,则 AF 2 12 m , BF 2 12 n •2在 AF 1F 2 中，AF 2AF i|F i F 22 AF ^|F 1 F 2 COS —，即(12 m)2先根据直线与椭圆联立的方程 13x 2 72 ..3x 36 8 0求出方程的两根x 1,X 2，它们分别是 A ， B的横坐标.再根据焦半径AF i a ex , BR a e 冷，从而求出 AB AR BR .2 2例15椭圆X L 25 91上的点M 到焦点F 1的距离为2, N 为MF 1的中点，贝U ON （ O 为坐标原点）的值为 A . 4B . 2C . 8解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为F 2 ,由椭圆第一定义得|MFJ |MF 2| 2a io ,所以 |MF 2| io |MF J i0 2 8,又因为ON 为MhF 2的中位线，所以ON1—I MF ^4，故答案为A .1例16在面积为1的PMN 中，tanM §，tanN2，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程.解: 则以MN 的中点为原点， MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设y 5------- 2, X —X C 3C y 1 X C 2 cy 1 .5 2 4日门即P扃寫• y - C 且 C - 3 225 412a 2 3b 2 223 a b -,4P(x, y).1,215a — 得 4b 2 3.厂厉，所以AB48 n13例i7已知P （4, 2）是直线I 被椭圆2x2 2 2(4k 1)x 8k(4k 2)x 4(4k 2) 36 0 ①设直线与椭圆的交点为A(X1 , yj , B(X2 , y2)，则人、x?是①的两根，•X1 x?8k (4 k 2) 4k2 1:P(4,2)为AB中点」4宁他4」,k4k2 1 1.•••所求直线方程为2方法二：设直线与椭圆交点A(x1,yj , B(X2,y2). P(4,2)为AB中点，• X1X2 8, y1 y2 4.又••• A, B在椭圆上，• x12 4y12 36, x22 24y2 36两式相减得(洛2 2X2 ) 2 24( y i y2 )即(X i X2)(X1 X2)4( % y2)(y i y?) 0.y1 y2 (捲 X2)X1 X2 4( y1 y2)1.•••直线方程为x22y 8 0.方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x , y)，另一个交点B(8 x , 4 y).•/ A、B 在椭圆上，• x2 4y236①。