椭圆1．椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ．②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．(2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的 ，定直线l 是 ，常数e 是 ． 2．椭圆的标准方程(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222=+b y a x ，其中( > >0，且=2a )(2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12222=+bx ay ，其中a ，b 满足： ．（3）焦点在哪个轴上如何判断 3．椭圆的几何性质(对12222=+b y a x ,a > b >0进行讨论)(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．(3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： ．(4) 离心率：=e ( 与 的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越 ；e 越接近0，椭圆越接近于 ．(5) 焦半径公式：设21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上一点，则=1PF ，122PF a PF -== 。

4．焦点三角形应注意以下关系（老师补充画出图形）：(1) 定义：r 1＋r 2＝2a(2) 余弦定理：21r ＋22r －2r 1r 2cos θ＝(2c )2(3) 面积：21F PF S ∆＝21r 1r 2 sin θ＝21·2c | y 0 |(其中P(00,y x )为椭圆上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)基础过关变式训练2：已知P （x 0,y 0）是椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）上的任意一点，F 1、F 2是焦点，求证：以PF 2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.证明 设以PF 2为直径的圆心为A ，半径为r .∵F 1、F 2为焦点，所以由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PF 2|=2r∴|PF 1|+2r =2a ，即|PF 1|=2（a －r ）连结OA ，由三角形中位线定理，知|OA |=.)(221||211r a r a PF -=-⨯=故以PF 2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.评注 运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。

例3. 如图，椭圆的中心在原点，其左焦点1F 与抛物线24y x =-的焦点重合，过1F 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，与抛物线交于C 、D 两点．当直线l 与x 轴垂直时，22CDAB=．（1）求椭圆的方程；（2）求过点O 、1F ，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（3）求22F A F B ⋅的最大值和最小值．解：（1）由抛物线方程，得焦点1(1,0)F -．设椭圆的方程：)0(12222>>=+b a by a x ．解方程组241y xx ⎧=-⎨=-⎩得C （-1，2），D （1，-2）．由于抛物线、椭圆都关于x 轴对称，∴11||||22||||FC CD F A AB ==，12||2F A =， ∴2(1,)2A ． …………2分∴221112a b+=又1222==-c b a ，因此，2211112b b+=+，解得21b =并推得22a =．典型例题故椭圆的方程为2212x y += ． …………4分（2）2,1,1a b c ===，圆过点O 、1F ，∴圆心M 在直线12x =-上．设1(,),2M t -则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，∴13()(2).22r =---=由,OM r =3,2=解得t =∴所求圆的方程为2219()(.24x y ++=…………………………8分（3） 由12(1,0),(1,0)F F -点 ①若AB 垂直于x 轴，则)22,1(),22,1(---B A ，222(2,),(2,22F A F B ∴=-=--， 2217422F A F B ⋅=-=…………………………………………9分 ②若AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为 )1(+=x k y由⎩⎨⎧=-++=022)1(22y x x k y 得 0)1(24)21(2222=-+++k x k x k0882>+=∆k ，∴方程有两个不等的实数根．设),(11y x A ，),(22y x B .2221214k k x x +-=+, 222121)1(2k k x x +-=⋅………………………………11分),1(),,1(222112y x B F y x A F -=-=∴v1.0 可编辑可修改)1)(1()1)(1()1)(1(21221212122+++--=+--=⋅x x k x x y y x x B F A F22122121))(1()1(k x x k x x k +++-++=22222221)214)(1(21)1(2)1(k kk k k k k +++--++-+= =)21(29272117222k kk +-=+- 12110,121,0222≤+<≥+≥kk k ]27,1[22-∈⋅∴B F A F ，所以当直线l 垂于x 轴时，B F A F 22⋅取得最大值27当直线l 与x 轴重合时，B F A F 22⋅取得最小值1-变式训练3：在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-1, 0)、B (1, 0), 动点C 满足条件：△ABC 的周长为2＋2 2.记动点C 的轨迹为曲线W . (1)求W 的方程；(2)经过点（0, 2）且斜率为k 的直线l 与曲线W 有两个不同的交点P 和Q ， 求k 的取值范围；（3）已知点M （2，0），N （0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与MN 共线如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由. 解：(Ⅰ) 设C （x , y ）,∵ 222AC BC AB +=+＋2AB =, ∴ 222AC BC +=>,∴ 由定义知，动点C 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为22的椭圆除去与x 轴的两个交点. ∴ 2, =1a c =. ∴ 2221b a c =-=.∴ W : 2212x y += (0)y ≠. … (2) 设直线l 的方程为2y kx =+22(2)12x kx +=.整理，得221()22102k x kx +++=. ①因为直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于 222184()4202k k k ∆=-+=->，解得2k <2k >∴ 满足条件的k 的取值范围为2,(,)22k ∈-∞-+∞（ （3）设P （x 1,y 1）,Q (x 2,y 2),则OP OQ +＝（x 1+x 2，y 1+y 2), 由①得12x x +=. ②又1212()y y kx x +=++③因为 0)M ，(0, 1)N ， 所以( 1)MN =-.………所以OP OQ +与MN 共线等价于1212)x xy y ++. 将②③代入上式，解得k所以不存在常数k ，使得向量OP OQ +与MN 共线.例4. 已知椭圆W 的中心在原点，焦点在x 轴上，两条准线间的距离为6. 椭圆W 的左焦点为F ，过左准线与x 轴的交点M 任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆W 交于不同的两点A 、B ，点A 关于x 轴的对称点为C . （1）求椭圆W 的方程；（2）求证：CF FB λ= (λ∈R )； （3）求MBC ∆面积S 的最大值.解：（1）设椭圆W 的方程为22221x y a b+=，由题意可知22223,26,c a a b c a c ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪⋅=⎪⎩解得a =2c =，b =， 所以椭圆W 的方程为22162x y +=．……………………………………………4分 （2）解法1：因为左准线方程为23a x c=-=-，所以点M 坐标为(3,0)-.于是可设直线l 的方程为(3)y k x =+．v1.0 可编辑可修改22(3),162y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(13)182760k x k x k +++-=. 由直线l 与椭圆W 交于A 、B 两点，可知2222(18)4(13)(276)0k k k ∆=-+->，解得223k <． 设点A ，B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ,则21221813k x x k -+=+，212227613k x x k-=+，11(3)y k x =+，22(3)y k x =+． 因为(2,0)F -，11(,)C x y -，所以11(2,)FC x y =+-，22(2,)FB x y =+. 又因为1221(2)(2)()x y x y +-+-1221(2)(3)(2)(3)x k x x k x =+++++ 1212[25()12]k x x x x =+++2222541290[12]1313k k k k k--=++++ 2222(5412901236)013k k k k k --++==+，所以CF FB λ=． ……………………………………………………………10分解法2：因为左准线方程为23a x c=-=-，所以点M 坐标为(3,0)-. 于是可设直线l 的方程为(3)y k x =+，点A ，B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y , 则点C 的坐标为11(,)x y -，11(3)y k x =+，22(3)y k x =+． 由椭圆的第二定义可得22113||||||3||x y FB FC x y +==+, 所以B ，F ，C 三点共线，即CF FB λ=．…………………………………10分(3)由题意知1211||||||||22S MF y MF y =+ 121||||2MF y y =⋅+121|()6|2k x x k =++23||13k k =+313||||k k =≤=+， 当且仅当213k =时“=”成立， 所以MBC ∆面积S 的最大值为32． 变式训练4：设1F 、2F 分别是椭圆22154x y 的左、右焦点.（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ⋅的最大值和最小值；（2）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（1）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===设P （x ，y ），则1),1(),1(2221-+=--⋅---=⋅y x y x y x PF PF3511544222+=--+x x x ]5,5[-∈x ，0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ⋅有最小值3；当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ⋅有最大值4（2）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y由方程组2222221(54)5012520054(5)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪+-+-=⎨⎪=-⎩，得v1.0 可编辑可修改依题意25520(1680)055k k ∆=->-<<，得 当5555<<-k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则45252,4550222102221+=+=+=+k k x x x k k x x .4520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k kk k k x k y又|F 2C|=|F 2D|122-=⋅⇔⊥⇔R F k k l R F12042045251)4520(0222222-=-=+-+--⋅=⋅∴k k k k k kk k k RF ∴20k 2=20k 2－4，而20k 2=20k 2－4不成立， 所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D| 综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D| 1．在解题中要充分利用椭圆的两种定义，灵活处理焦半径，熟悉和掌握a 、b 、c 、e 关系及几何意义，能够减少运算量，提高解题速度，达到事半功倍之效．2．由给定条件求椭圆方程，常用待定系数法．步骤是：定型——确定曲线形状；定位——确定焦点位置；定量——由条件求a 、b 、c ，当焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，要防止遗漏．3．解与椭圆的焦半径、焦点弦有关的问题时，一般要从椭圆的定义入手考虑；椭圆的焦半径的取值范围是],[c a c a +-．4．“设而不求”，“点差法”等方法，是简化解题过程的常用技巧，要认真领会． 5．解析几何与代数向量的结合，是近年来高考的热点，应引起重视．小结归纳。