9
2 2 即 ai2 a a , 1 i2 in 1 ai1a j1 ai 2 a j 2 ain a jn 0 (i j ),
即
a
k 1
n
ik
a jk
1, i j; (正交条件） 0, i j.
2
n阶方阵A为正交矩阵
它的行（或列）向量组是两两正交的单位向量组.
7
0 1 1 例1 设实对称矩阵A 1 0 1 1 1 0
求一个正交矩阵P, 使P 1 AP为对角阵.
例2 已知3阶实对称矩阵 A的特征值为
1,1,2, 且A的对应于 2的特征向量
为1， 1， 1 , 求A.
T
8
三、施密特正交化方法
定理 设 1 , 2 ,, s 是线性无关向量组，
则 1 , 2 , , s 是与 1 , 2 ,, s 等价的正交向量组，
其中：
2 , 1 2 2 1 1 , 1

1 1
s , 1 s , 2 s , s 1 s s 1 2 s 1 . 1 , 1 2 , 2 s 1 , s 1
则 Ax x .
因此正交矩阵 A作ຫໍສະໝຸດ 于向量x不改变向量长度 .5
二、 实对称阵的对角化
实对称阵的特征值与特征向量有重要性质：
定理 4 实对称阵的特征值都是实数.
定理 5 实对称阵的不同的特征值对应的特征向量是正交的.
定理 6 实对称阵一定可以对角化.
6
将实对称阵A化为对角阵的步骤 ( step)：
1)求出A的n个特征值 1，1， n；
2)对每个i 求出对应的线性无关的 特征向量 ,
并将它们正交化，单位 化，从而求出 A的n个
两两正交的特征向量 p1 , p2 , pn;
3)令P ( p1 , p2 , pn ), 则P 1 AP 为对角阵 .
1 1 2 即 P AP n
且 2 0, 1 1, 2 1, A为正交矩阵.
T 1
B
1 2 0 1 2
0 1 0

1 2 0 1 2
.
2) B不是正交矩阵.
4
例2 若A是正交矩阵，证明 A*也是正交矩阵 .
例3设A是n阶正交矩阵， x是n维列向量，
a11 a12 a1n a11 a21 an1 1 0 0 a a a a a a 0 1 0 T 21 22 2 n 12 22 n 2 AA a a a a a a 0 0 1 nn 1n 2n nn n1 n 2
§ 5.4 正交变换与二次型的标准形
一、 正交矩阵
1. 定义
T
如果实n阶方阵A满足
T
A A AA E 则称A为正交矩阵.
2.性质
(1)若A为正交矩阵，则 A 1;
(2)若A为正交矩阵，则 AT A1也是正交矩阵 ;
(3)若A, B都是n阶正交矩阵，则 AB也是正交矩阵 .
1
( 4)正交矩阵的元素之间的 关系 a11 a12 a1n a a a 22 2n 设 A 21 是正交矩阵，则 a a a n2 nn n1
iT i 1
iT j 0
3
例 1判定下列矩阵是否为正 交矩阵.
cos sin A sin cos
T
cos sin cos sin 1 0 1) AA 0 1 , sin cos sin cos A为正交矩阵. cos sin 或 设 1 , 2 cos sin