含有平方项
含有x1的项配方
解 f x 1 2 2 x 2 2 5 x 3 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 6 x 2 x 3
x1 22x1x22x1x32x2 25x3 26x2x3
(x1x2x3)2x22x322x2x3 2x225x326x2x3 (x 1 x 2 x 3 )2 x 2 2 4 x 3 2 4 去x 2 掉x 3配方后多出来的项
x3 0 0 1 y3
标准形为 f y12y22.
所用变换矩阵为
1 C 0
1 1
0 0
1 2 , 1
(C 10)
例2 用配方法化二次型
f 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 6 x 2 x 3
为标准形，并写出对应的可逆线性变换。
解 所给二次型中无平方项，所以先作线性变换
x1 3 y 3
即
x1 x2
1 1
1 1
0 y1 0 y2
x2 0 0 1 y3
原二次型化为
f 2 y 1 2 2 y 2 2 4 y 1 y 3 8 y 2 y 3.
f 2 y 1 2 2 y 2 2 4 y 1 y 3 8 y 2 y 3.
再配方，得
f 2 (y 1 y 3 ) 2 2 (y 2 2 y 3 ) 2 6 y 3 2 ,
第二节
本节讨论的主要问题是：如何通过可逆线性变换XCY，
把二次型f(x1,x2,,xn)XTAX化为y1, y2,, yn 的平方和 d1y12 d2y22 dnyn2 ，称之为二次型的标准形。从前面分
析可以看出， 要把一个二次型化为标准形， 只要找一个可逆阵C， 使CTAC成为对角阵，即A与一个对角阵合同。
z3
.
x3
z3
2、用正交变换法化二次型为标准形 由 上 节 定 理 可 知 ， 对 实 对 称 阵 A ， 总 可 找 到 正 交
阵 P ， 使 P 1A为 P 对 角 阵 ， 而由正交阵性质可知，
P 1 P T ， 故 P 1 A P T A。 P 因此这样的正交
阵 P 正 好 用 来 作 为 变 换 X C 中 的 Y 矩 阵 C 。
(x 1 x 2 x 3 )2 (x 2 2 x 3 )2,
f (x 1 x 2 x 3 )2 (x 2 2 x 3 )2,
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
y3
y3 x3
x3 y3
x1 1 1 1 y1 x20 1 2y2
4.将 特征 1,2, 向 ,n正 量交 ,单化 位 ,得化 1,2,,n,记 C(1,2,,n);
5. 作正交 X 变 C换 Y ,则得 f的标准形
f 1y12nyn 2.
例3 用正交变换将二次型
f 1 x 1 2 7 1 x 2 2 4 1 x 3 2 4 4 x 1 x 2 4 x 1 x 3 8 x 2 x 3
一、二次型的标准形
定义 如果二次型
f (x1, x2, , xn) XTAX 通过可逆线性变换X CY，化为二次型
YTBY d1y12 d2 y22 dn yn2 ，
则称之为原二次型的标准形。
实 际 上 ， 二 次 型 f(x 1,x 2, ,x n )X T A化 X 为 标 准 形 的 问 题 ， 等 价 于 该 二 次 型 的 矩 阵 A 合 同 于 一 个 对 角 矩 阵 的 问
2 4 5 0 0 0
2
1 2 2 1 2 2
2,3 18, 18E A 2 4 4 0 0 0 ,
2
2 2 4 4 0 0 0
2 1 , 3 0 ,
0
1
1
2
2
1 2 , 2 1 , 3 0 ,
2
x x
i j
yi yi
yj yj
xk yk
(k 1 ,2 , ,n 且 ki,j)
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法
配方.
例1 用配方法化二次型
f x 1 2 2 x 2 2 5 x 3 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 6 x 2 x 3
为标准形，并写出对应的可逆线性变换。
化为标准形，并求所作的正交变换。
解 二次型的矩阵
17 2 2
A 2 14 4
2 4 14
17 2 2
EA 2 14 4 (1)82(9),
2 4 14
17 2 2
EA 2 14 4 (1)82(9),
2 4 14
8 2 2 2 5 4
1
1 9, 9EA 2 5 4 0 1 1 , 1 2 ,
令
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
y3
z3
即
y1 1 y2 0
0 1
1 z1 2 z2
y3 0 0 1z3
标准形为
f2z1 22z2 26z3 2.
x1 1 1 0 y1
x2 1 1 0 y2
x2 0
0
1
y3
y1 1 0 1 z1 y2 0 1 2 z2 y3 0 0 1 z3
所用变换矩阵为
1 1 01 0 1 1 1 3 C1 1 00 1 2 1 1 1 , (C20)
0 0 10 0 1 0 0 1
对应的线性变换为
x1 z1 z2 3z3
x2
z1
z2
当 C 是 正 交 阵 时 ， 我 们 称 X C 是 一 个 Y 正 交 变 换 。
定理 任何二次型都可以通过正交变换化为标准形。
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩 f 阵 XTA 形X,式 求出 A;
2. 求A 出 的所有1 特 ,2, 征 ,n值 ;
3. 求出对应于特 征征 向值 1量 ,2的 ,,特 n;
题 。
下面介绍二次型化为标准形的方法。
1、用拉格朗日配方法化二次型为标准形
拉格朗日配方法的基本步骤：
1. 若二次型含有 x i 的平方项，则先把含有 x i 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同
样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形;
2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0 (i j),则先作可逆线性变换