x~
x2 y2 1
4 20 见图所示.
定义1：含有n个变量 x1, x2 , , xn 的二次齐次多项式
f ( x1, x2 , , xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3
a22 x22 2a23 x2 x3
2a1n x1 xn 2a2n x2 xn
二. 化二次型为标准形 目标： 二次型 f X T AX
1. 正交变换法（重点） 2. 配方法
可逆线性变换X CY
标准形 f Y T (C T AC )Y
k1
y2 1
k2
y2 2
kn
y2 n
Y TY
问题转化为： 求可逆矩阵C，使得 CT AC 为对角矩阵
称为二次型的标准形(或法式)。
平方项系数只在 1,1,0 中取值的标准形
f
x12
x
2 p
x
2 p1
xr2
称为二次型的规范形。(注：这里规范形要求系数为1的项排
在前面，其次排系数为-1的项。)
目的：对给定的二次型
n
f x1, x2 ,, xn aij xi x j (1)
i, j1
找可逆的线性变换(坐标变换)：
a2n xn ) ann xn )
( x1, x2 ,
a11 x1 a12 x2
,
xn
)
a21 x1
a22
x2
an1 x1 an2 x2
a1n xn
a2n xn
ann xn
a11 a12
( x1, x2 ,
,
xn
)
a21
a22
an1
an2
a1n x1
(1) B CT AC 仍是对称矩阵 (2) r(B) r( A)
(1) BT (CT AC)T CT AT (CT )T CT AC B (2) B CT AC 因为C可逆
所以 r(B) r(A)
注：合同仍然是一种等价关系
矩阵合同的性质：(1) 反身性 (2) 对称性 (3) 传递性
f (x, y) x2 y2 5 不是二次型。
f (x, y) 2x2 y2 2x
取 aij a ji 则 2aij xi x j aij xi x j a ji xi x j
则（1）式可以表示为
f a11 x12 a12 x1 x2 a21 x2 x1 a22 x22
的图形为双曲线。
对于一般二次曲线 ax2 bxy cy2 d 的图形是什么？
引言 判别下面方程的几何图形是什么？
2x2 3xy y2 10 n( ) y
y
sin(
)x
cos(
)
y
6
代入(1)左边，化为：
y
~y
x
5 x2 1 y2 10 22
3、 xi x j 的系数的一半分给 a ji. 可保证 aij a ji.
例如：二次型 f ( x1, x2 , x3 ) x12 3x32 4x1x2 x2 x3
1 -2 0 x1
(
x1
,
x2
,
x3
)
-2 0
0 1/2
1/2 -3
x2 x3
注：二次型
对称矩阵
定义2： 二次型 f X T AX 把对称矩阵 A称为二次型 f 的矩阵； 也把二次型 f 称为对称矩阵 A 的二次型 对称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩。
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn
x2c21 y1 c22y2c2n yn ( 其中C (cij ) 可逆 )
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
代入(1)式，使之成为标准形
f k1 y12 k2 y22 kn yn2
称上面过程为化二次型为标准形。
例1 写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。
1 2 3 x1
f ( x1, x2 , x3 ) [ x1, x2 , x3 ]4
5
6
x2
xT
Bx
7 8 9 x3
解 f x12 5 x22 9 x33 6 x1 x2 10x1 x3 14x2 x3
1 3 5 x1
a x2 n1,n1 n1
2an1,n xn1 xn
ann xn2
称为二次型。（1）
例如： f ( x, y) x2 4xy 5 y2
f ( x, y, z) 2x2 y2 xz yz
都是二次型。
f ( x1, x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x2 x3 x2 x4
a1n x1 xn a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
x1(a11 x1 a12 x2 a1n xn )
二次型用和号表示
n
aij xi x j i , j1
x2 (a21 x1 a22 x2
xn (an1 x1 an2 x2
[ x1, x2 , x3 ]3
5
7
x2
xT
Ax
5 7 9 x3
r( f ) r( A) 2
问： 在二次型 f xT Ax 中,如不限制 A对称, A唯一吗?
定义 只含平方项的二次型 f k1 x12 k2 x22 kn xn2
k1
x1
[ x1,, xn ]
kn xn
第六章 二次型及其标准型
§6.1 二次型及其矩阵表示 §6.2 化二次型为标准型 §6.3 正定二次型与正定矩阵
§6.1 二次型及其矩阵表示
在平面解析几何中，我们知道标准方程
Ax2 B y2 1 中
x2 y2 R2 的图形为圆。
x2 a2
y2 b2
1
的图形为椭圆。
x2 y2 a2 b2 1
a2n
x2
ann
xn
a11 a12
令
A
a21
a22
an1
an2
a1n
a2n
ann
x1
X
x2
xn
则 f X T AX
二次型的矩阵表示（重点）
其中A为对称矩阵。
注 1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。
2、其对角线上的元素
aii
恰好是
x
2 i
i
1,2,, n
的系数。
§6.2 化二次型为标准型
一、 非退化线性变换（可逆线性变换） 设
若
简记
当C 是可逆矩阵时, 称 当C是正交矩阵时，称
为可逆线性变换。 为正交变换。
矩阵的合同：两个 n 阶方阵A、B,若存在可逆矩阵 C, 使得 B CT AC,则称 A 合同于 B.
记作 A B
定理 证明
设A为对称矩阵，且A与B合同，则